11.1

Инварианты. Общие свойства поверхностей второго порядка (11.1-11.18)

[18/78%]
Показать
LaTeX
Задача 11.1

Перечислить поверхности второго порядка, для которых:

?
(1)

R=4R = 4

(2)

R=3R = 3

(3)

R=2R = 2

(4)

R=1R = 1

(5)

r=3r = 3

(6)

r=2r = 2

(7)

r=1r = 1.

Задача 11.2

Охарактеризовать с помощью инвариантов «основную》 группу вещественных поверхностей второго порядка: эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды.

?
Задача 11.3

Охарактеризовать с помощью инвариантов следующие группы поверхностей второго порядка:

?
(1)

параболоиды и параболические цилиндры

(2)

поверхности, состоящие из плоскостей

(3)

«мнимые» поверхности: «мнимые эллипсоиды», «мнимые конусы», «мнимые эллиптические цилиндры», «пары мнимых пересекающихся плоскостей», «пары мнимых параллельных плоскостей».

Задача 11.4
?
(1)

Какие из «мнимых» поверхностей второго порядка (см. задачу 11.3,3)11. 3, 3)) не имеют вещественных точек? Охарактеризовать с помощью инвариантов эту группу поверхностей.

(2)

Какие из «мнимых» поверхностей второго порядка имеют вещественные точки и как эти поверхности выглядят? Охарактеризовать с помощью инвариантов эту группу поверхностей.

Задача 11.5

Охарактеризовать с помощью инвариантов поверхности второго порядка, не вырождающиеся в пустое множество, в точку, прямую, плоскость или пару плоскостей.

?
Задача 11.6

Охарактеризовать с помощью инвариантов вещественные поверхности, имеющие:

?
(1)

два семейства прямолинейных образующих

(2)

одно семейство прямолинейных образующих.

Задача 11.7

Перечислить поверхности второго порядка, канонические уравнения которых содержат ненулевой свободный член. Охарактеризовать эти поверхности с помощью инвариантов.

?
Задача 11.8

Пусть уравнение поверхности записано в матричной форме (2), преобразованное — в форме (4) (см. введение к § 11). Выразить коэффициенты A′,a′,k′A^{\prime }, \mathbf{a}^{\prime }, k^{\prime } через A,a,kA, \mathbf{a}, k, если:

?
(1)

ξ=ξ′+b\xi = \xi^{\prime } + \mathbf{b}

(2)

ε=Sξ′+b\varepsilon = S\xi^{\prime } + \mathbf{b}.

Задача 11.9
?
(1)

Проверить, что существуют такие уравнения второй степени, в которых с помощью перехода к новой декартовой системе координат нельзя уничтожить все члены с первыми степенями переменных. Перечислить все типы таких поверхностей и охарактеризовать их с помощью инвариантов.

(2)

Проверить, что существуют такие уравнения второй степени, в которых с помощью перехода к новой декартовой системе координат можно уничтожить все члены ниже второй степени. Перечислить все типы таких поверхностей и охарактеризовать их с помощью инвариантов.

Задача 11.10
?
(1)

Какие вещественные поверхности второго порядка имеют центр симметрии?

(2)

Сколько центров симметрии может иметь поверхность второго порядка?

(3)

Доказать, что для поверхности второго порядка осуществимы только следующие возможности. Поверхность:

(1) не имеет центра симметрии;

(2) имеет единственный центр симметрии;

(3) имеет прямую, состоящую из центров симметрии;

(4) имеет плоскость, состоящую из центров симметрии.

Задача 11.11

Перечислить и охарактеризовать через инварианты типы поверхностей второго порядка:

?
(1)

не имеющих центра

(2)

имеющих единственный центр

(3)

имеющих бесконечно много центров.

Задача 11.12

Доказать утверждения:

?
(1)

если поверхность второго порядка имеет центр, и он расположен в начале координат, то уравнение поверхности не содержит линейных членов

(2)

если уравнение поверхности второго порядка не содержит линейных членов, то поверхность имеет центр, расположенный в начале координат.

Задача 11.13
?
(1)

Пользуясь результатами задач 11. 8 и 11. 12, получить систему уравнений для центра поверхности второго порядка (т. е. уравнение (10) из введения к § 11).

(2)

Как изменится свободный член уравнения (2), если начало координат поместить в центр поверхности второго порядка?

Задача 11.14

Доказать, что условие det⁡A≠0\operatorname {det} A \neq 0 необходимо и достаточно для существования единственного центра у поверхности второго порядка, заданной уравнением (2).

?
Задача 11.15

Обосновать второй способ упрощения уравнения поверхности второго порядка, изложенный во введении к § 11, т. е. доказать каждое из утверждений пунктов а) и б).

?
Задача 11.16
?
(1)

Уравнение поверхности второго порядка записано в развернутой форме (1) и в матричной форме (2). Все коэффициенты развернутого уравнения умножены на число μ≠0\mu \neq 0. Что произойдет с матрицей AA? Как изменятся при этом корни характеристического уравнения ∣A−λE∣=0\left|A - \lambda E\right| = 0?

(2)

Уравнение поверхности второго порядка записано в прямоугольной системе координат, и в нем совершен переход к другой прямоугольной системе. Доказать, что при этом не изменится характеристическое уравнение ∣A−λE∣=0\left|A - \lambda E\right| = 0, а поэтому не изменятся его корни. Изменится ли det⁡A\operatorname {det} A?

Задача 11.17
?
(1)

Дано уравнение второго порядка в матричной форме (2). Выразить матрицу BB большой квадратичной формы поверхности, заданной этим уравнением, через A,a,kA, \mathbf{a}, k.

(2)

В уравнении поверхности совершена замена координат ξ=Sξ′+b\xi = S\xi^{\prime } + \mathbf{b}. Выписать матрицу TT, с помощью которой преобразуется большая квадратичная форма поверхности, и доказать, что при переходе от одной прямоугольной системы координат к другой det⁡B\operatorname {det} B не меняется.

(3)

Доказать, что при ортогональной замене координат, оставляющей начало координат на месте, не изменяется характеристическое уравнение ∣B−λE∣=0\left|B - \lambda E\right| = 0, а потому не изменяются его коэффициенты и корни.

Задача 11.18

Пусть в некоторой общей декартовой системе координат уравнение поверхности второго порядка по форме совпадает с одним из канонических уравнений. Доказать, что существует декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение этой поверхности будет каноническим того же типа.

?