13

Понятие о группах

[27/70%]
Показать
LaTeX
Задача 13.1

Образует ли группу относительно операции умножения данное множество преобразований плоскости:

?
(1)

множество всех параллельных переносов

(2)

множество всех параллельных переносов на ненулевые векторы

(3)

множество всех поворотов вокруг фиксированной точки

(4)

множество всех поворотов

(5)

множество всех ортогональных преобразований

(6)

множество всех ортогональных преобразований второго рода

(7)

множество всех ортогональных преобразований, имеющих общую неподвижную точку

(8)

множество всех аффинных преобразований

(9)

множество всех линейных преобразований

(10)

множество, состоящее из тождественного преобразования и симметрии относительно данной прямой

(11)

множество поворотов плоскости вокруг центра правильного nn — угольника, совмещающих этот nn — угольник с самим собой (вращения правильного nn — угольника)

(12)

множество всех преобразований подобия?

Задача 13.2

Образует ли группу относительно операции умножения множество преобразований плоскости, заданньгх формулами:

?
(1)

x∗=λx,y∗=λyx^{ * } = \lambda x, y^{ * } = \lambda y

(2)

x∗=λy,y∗=λ−1x,λ≠0x^{ * } = \lambda y, y^{ * } = \lambda^{ - 1} x, \lambda \neq 0

(3)

x∗=λx,y∗=y,λ≠0x^{ * } = \lambda x, y^{ * } = y, \lambda \neq 0

(4)

x∗=x,y∗=λx+yx^{ * } = x, y^{ * } = \lambda x + y

(5)

x∗=ax+by,y∗=cx+dyx^{ * } = ax + by, y^{ * } = cx + dy

(6)

x∗=ax+by,y∗=cx+dy,ad−bc≠0x^{ * } = ax + by, y^{ * } = cx + dy, ad - bc \neq 0

(7)

x∗=ax−by,y∗=bx+ay,a2+b2≠0x^{ * } = ax - by, y^{ * } = bx + ay, a^{2} + b^{2} \neq 0

(8)

x∗=r(xcos⁡φ−ysin⁡φ),y∗=r(xsin⁡φ+ycos⁡φ),r>0x^{ * } = r(x\cos \varphi - y\sin \varphi ), \quad y^{ * } = r(x\sin \varphi + y\cos \varphi ), \quad r > 0

(9)

x∗=a1x+b1y+c1,y∗=a2x+b2y+c2,a1b2−a2b1=1x^{ * } = a_{1} x + b_{1} y + c_{1}, y^{ * } = a_{2} x + b_{2} y + c_{2}, a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 1?

Задача 13.3

Образует ли группу относительно операции сложения:

?
(1)

множество всех действительных чисел

(2)

множество всех неотрицательньх действительньх чисел

(3)

множество всех рациональных чисел

(4)

множество всех целых чисел

(5)

множество всех четных чисел

(6)

множество всех нечетных чисел

(7)

множество всех комплексных чисел

(8)

множество всех чисто мнимых комплексных чисел

(9)

множество из одного числа 0?

Задача 13.4

Образует ли группу относительно операции умножения:

?
(1)

множество всех действительных чисел

(2)

множество всех положительных действительных чисел

(3)

множество всех рациональных чисел

(4)

множество всех натуральных чисел

(5)

множество всех ненулевых комплексных чисел

(6)

множество всех комплексных чисел, по модулю равных 1

(7)

множество всех ненулевых чисто мнимых комплексных чисел

(8)

множество комплексных корней nn — й степени из 1(n1(n — натуральное число)?

Задача 13.5

Доказать, что в любой группе:

?
(1)

единичный элемент ee единственен

(2)

для любого элемента aa обратный элемент a−1a^{ - 1} единственен

(3)

равенство ax=bax = b равносильно x=a−1bx = a^{ - 1} b, а равенство xa=bxa = b равносильно x=ba−1x = ba^{ - 1}

(4)

для любых элементов aa и bb выполняется равенство (ab)−1=b−1a−1(ab)^{ - 1} = b^{ - 1} a^{ - 1}.

Задача 13.6

Доказать, что если квадрат любого элемента групшы равен единичному элементу, то группа абелева.

?
Задача 13.7

Доказать, что все аффинные преобразования плоскости, при которых данный треугольник переходит в себя, образуют неабелеву группу. Найти порядок этой группы.

?
Задача 13.8

Доказать, что две групшы изоморфны:

?
(1)

группа комплексных чисел относительно операции сложения и группа параллельных переносов плоскости относительно операции умножения (композиции)

(2)

группа комплексных чисел, по модулю равных 1, относительно операции умножения и группа поворотов плоскости вокруг фиксированной точки относительно огерации умножения

(3)

группа ненулевых действительных чисел относительно операции умножения и группа гомотетий с центром в данной точке относительно операции умножения (коэффициент гомотетии отличен от нуля)

(4)

группа ненулевых комплексных чисел относительно операции умножения и группа преобразований плоскости, заданных формулами x∗=ax−by,y∗=bx+ay(a2+b2>0)x^{ * } = ax - by, y^{ * } = bx + ay\left(a^{2} + b^{2} > 0\right), относительно операции умножения

(5)

группа действительных чисел относительно операции сложения и группа положительных действительных чисел относительно операции умножения

(6)

группа CnC_{n} врашений правильного nn — угольника относительно операции умножения и группа UnU_{n} комплексных корней nn — й степени из 1 относительно операции умножения.

Задача 13.9

Доказать, что существуют только две неизоморфные группы, содержащие четыре элемента. Привести примеры для обоих случаев.

?
Задача 13.10

Доказать, что данная группа является циклической, и найти ее образующий элемент:

?
(1)

группа всех целых чисел относительно сложения

(2)

группа nZn\mathbb {Z} целых чисел, кратных данному натуральному числу nn, относительно сложения

(3)

группа UnU_{n} комплексных корней степени nn из 1 относительно умножения

(4)

группа CnC_{n} вращений правильного nn — угольника.

Задача 13.11

Найти все подгрупшы групп из задачи 13.10:

?
(1)

группа всех целых чисел относительно сложения

(2)

группа nZn\mathbb {Z} целых чисел, кратных данному натуральному числу nn, относительно сложения

(3)

группа UnU_{n} комплексных корней степени nn из 1 относительно умножения

(4)

группа CnC_{n} вращений правильного nn — угольника.

Задача 13.12

Доказать, что:

?
(1)

всякая бесконечная циклическая группа изоморфна группе целых чисел

(2)

все конечные циклические группы одинакового порядка изоморфны друг другу.

Задача 13.13

Доказать, что:

?
(1)

всякая подгрупша џиклической грушшы сама циклическая

(2)

порядок любой подгрупшы конечной циклической группы является делителем порядка групшы.

Задача 13.14

Пусть HH — непустое подмножество группы GG. Доказать, что HH является подгруппой в GG тогда и только тогда, когда выполняются два условия:

(1) если h1,h2∈Hh_{1}, h_{2} \in H, то h1h2∈Hh_{1} h_{2} \in H,

(2) если h∈Hh\in H, то h−1∈Hh^{ - 1} \in H.

?
Задача 13.15

Пусть HH — непустое подмножество групшы GG, замкнутое относительно умножения (т. е. выполнено условие а) задачи 13. 14). Доказать, что при любом из следующих условий HH будет подгруппой в GG:

?
(1)

HH конечное множество;

(2)

все элементы из HH имеют конечные порядки.

Задача 13.16

Показать, что:

?
(1)

группа всех ортогональных преобразований, сохраняющих данный правильный nn — угольник (называемая его группой симметрии, а также әруппой диэдра степени n,Dnn, D_{n}), содержит 2n2n преобразований

(2)

группа CnC_{n} вращений правильного nn — угольника является нормальной подгруппой в DnD_{n}.

Задача 13.17

Пусть ∣G∣=2n\left|G\right| = 2n и HH — подгруппа в GG порядка nn. Доказать, что HH — нормальная подгруппа группы GG.

?
Задача 13.18

Доказать при помощи теоремы Лагранжа, что:

?
(1)

порядок конечной группы делится на порядок любого ее элемента

(2)

группа простого порядка является циклической.

Задача 13.19

Пусть G=D3G = D_{3} — группа симметрии правильного треугольника (см. задачу 13. 16), а H\mathrm{H} — ее подгруппа, состоящцая из тождественного преобразования 2 и симметрии относительно одной из высот треугольника. Найти разбиение группы GG на левые и правые смежные классы по HH и убедиться в том, что HH не является нормальной подгруппой в GG.

?
Задача 13.20

Доказать, что:

?
(1)

параллельные переносы образуют нормальную подгруппу групты ортогональных преобразований плоскости

(2)

преобразования, имеющие общую неподвижную точку, образуют подгруппу группы ортогональных преобразований плоскости, но она не является нормальной.

Задача 13.21

Доказать, что:

?
(1)

если конечное множество аффинных преобразований плоскости образует группу, то все преобразования из этого множества имеют общую неподвижную точку

(2)

всякая конечная группа ортогональных преобразований плоскости является группой симметрии или группой вращений некоторого правильного многоугольника.

Задача 13.22

Найти (с точностью до изоморфизма) факторгруппу G/HG / H, если:

?
(1)

GG — группа всех комплексных чисел с операцией сложения, HH — подгруппа всех вещественных чисел.

(2)

GG — группа ненулевых комплексных чисел с операцией умножения, HH — подгруппа положительньх вещественньхх чисел.

(3)

GG — группа ненулевых комплексных чисел с операцией умножения, HH — подгруппа чисел, по модулю равных 1.

(4)

GG — группа всех вещественных чисел с операцией сложения, HH — подгруппа целых чисел.

(5)

G=ZG = \mathbb {Z} — группа целых чисел с операцией сложения, H=nZH = n\mathbb {Z} — подгруппа чисел, кратных данному натуральному числу nn.

(6)

GG — группа всех ортогональных преобразований плоскости первого рода с операцией умножения преобразований, H\mathrm{H} — подгруппа параллельных переносов.

Задача 13.23
?
(1)

Доказать, что множество SnS_{n} всех подстановок степени nn является группой относительно операции умножения преобразований (симметрической группой степени nn). Найти порядок этой групшы.

(2)

Доказать, что групшы SnS_{n} некоммутативны при n⩾3n \geqslant 3.

Задача 13.24

Вычислить:

?
(1)

(1221)2\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right)^{2}

(2)

(123213)⋅(123231)\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1\end{array}\right)

(3)

(123231)⋅(123312)\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2\end{array}\right)

(4)

(12342341)⋅(12344321)\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1\end{array}\right) и (12344321)⋅(12342341)\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1\end{array}\right).

Задача 13.25

Доказать, что все четные перестановки (см. введение к §14)\S 14) образуют нормальную подгруппу AnA_{n} в SnS_{n}, и найти ее порядок.

?
Задача 13.26

Пусть VV — нециклическая подгруппа четвертого порядка в S4S_{4}. Доказать, что:

?
(1)

V⊂A4V \subset A_{4}

(2)

VV нормальна в S4S_{4}

(3)

S4/V≅S3S_{4} / V \cong S_{3}.

Задача 13.27

Найти:

?
(1)

все подгрупшы в S3S_{3}

(2)

все нормальные подгруппы в S4S_{4}.