§ 15

Операции с матрицами

[141/60%]
Показать
LaTeX
Подпараграф
15.1 · Основные операции с матрицами: умножение на число, сложение и умножение матриц (15.1-15.24)[24/83%]
Задача 15.1

Сформулировать требования, которые надо предъявить к матрицам для того, чтобы их можно было сложить.

?
Задача 15.2

Вычислить линейную комбинацию матриц:

?
(1)

3[1212]−[3232]−4[0101]3\left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2\end{smallmatrix}\right] -\left[\begin{smallmatrix} 3 & 2 \\ 3 & 2\end{smallmatrix}\right] - 4\left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1\end{smallmatrix}\right]

(2)

2[[l∣∣l∣l]221]−3[056]2\left[\begin{smallmatrix} [l||l|l]2 \\ 2 \\ 1\end{smallmatrix}\right] - 3\left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 5 \\ 6\end{smallmatrix}\right]

(3)

2[187−151−5−611]−[524−7−1−1−273]2\left[\begin{smallmatrix} 1 & 8 & 7 & - 15 \\ 1 & - 5 & - 6 & 11\end{smallmatrix}\right] -\left[\begin{smallmatrix} 5 & 24 & - 7 & - 1 \\ - 1 & - 2 & 7 & 3\end{smallmatrix}\right]

(4)

A18+A40\mathbf{A}_{18} + \mathbf{A}_{40}. A18=[1234],A40=[4−2−31]\mathbf{A}_{18} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{40} = \left[\begin{smallmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(5)

A28−A12\mathbf{A}_{28} - \mathbf{A}_{12}. A28=[1331],A12=[1111]\mathbf{A}_{28} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(6)

2A573−A5712\mathbf{A}_{573} - \mathbf{A}_{571}. A573=[0011101001],A571=[1011101111]\mathbf{A}_{573} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{571} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(7)

12(c51+c52)\frac{1}{2}\left(\mathbf{c}_{51} + \mathbf{c}_{52}\right). c51=[11−1],c52=[1−11]\mathbf{c}_{51} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{52} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

Задача 15.3

Описать условия, при которых верны следующие тождества, и доказать эти тождества (A,B,C(A, B, C — матрицы, α,β\alpha , \beta — числа):

?
(1)

A+B=B+AA + B = B + A

(2)

A+(B+C)=(A+B)+CA + (B + C) = (A + B) + C

(3)

α(βA)=(αβ)A\alpha (\beta A) = (\alpha \beta ) A

(4)

α(A+B)=αA+αB\alpha (A + B) = \alpha A + \alpha B

(5)

(α+β)A=αA+βA(\alpha + \beta ) A = \alpha A + \beta A.

Задача 15.4
?
(1)

Можно ли умножить строку длины mm на столбец высоты nn?

(2)

Можно ли умножить столбец высоты nn на строку длины mm?

Задача 15.5

Вычислить произведение матриц:

?
(1)

[2−30][431]\left[\begin{smallmatrix} 2 & - 3 & 0\end{smallmatrix}\right]\left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 3 \\ 1\end{smallmatrix}\right]

(2)

[431][2−30]\left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 3 \\ 1\end{smallmatrix}\right] \left[\begin{smallmatrix} 2 & -3 & 0 \end{smallmatrix}\right]

(3)

[1111][3559]\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1\end{smallmatrix}\right]\left[\begin{smallmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9\end{smallmatrix}\right]

(4)

A1A12\mathbf{A}_{1} \mathbf{A}_{12}. A1=[10],A12=[1111]\mathbf{A}_{1} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(5)

A4A395\mathbf{A}_{4} \mathbf{A}_{395}. A4=[0100],A395=[143032010021]\mathbf{A}_{4} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{395} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(6)

A442c168\mathbf{A}_{442} \mathbf{c}_{168}. A442=[33−4−3061154212332],c168=[0100]\mathbf{A}_{442} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 3 & -4 & -3 \\ 0 & 6 & 1 & 1 \\ 5 & 4 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 3 & 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{168} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{smallmatrix}\right].

(7)

A110A12\mathbf{A}_{110} \mathbf{A}_{12}. A110=[312110],A12=[1111]\mathbf{A}_{110} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(8)

A3A205\mathbf{A}_{3} \mathbf{A}_{205}. A3=[111],A205=[123234345]\mathbf{A}_{3} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{205} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{smallmatrix}\right].

(9)

A436c166\mathbf{A}_{436} \mathbf{c}_{166}. A436=[1111101100100011],c166=[1111]\mathbf{A}_{436} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{166} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

(10)

A601A602\mathbf{A}_{601} \mathbf{A}_{602}. A601=[λ100⋯000λ20⋯0000λ3⋯00⋮⋮⋮⋱⋮⋮000⋯λn−10000⋯0λn],A602=[1/λ100⋯0001/λ20⋯00001/λ3⋯00⋮⋮⋮⋱⋮⋮000⋯1/λn−10000⋯01/λn]\mathbf{A}_{601} = \left[\begin{smallmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_{n} \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{602} = \left[\begin{smallmatrix} 1/\lambda_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1/\lambda_2 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1/\lambda_3 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1/\lambda_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1/\lambda_{n} \end{smallmatrix}\right].

(11)

A601A605\mathbf{A}_{601} \mathbf{A}_{605}. A601=[λ100⋯000λ20⋯0000λ3⋯00⋮⋮⋮⋱⋮⋮000⋯λn−10000⋯0λn],A605=[00⋯00λ100⋯0λ2000⋯λ300⋮⋮\iddots⋮⋮⋮0λn−1⋯000λn0⋯000]\mathbf{A}_{601} = \left[\begin{smallmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_{n} \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{605} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \lambda_1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_3 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \iddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \lambda_{n-1} & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \lambda_n & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(12)

A605A601\mathbf{A}_{605} \mathbf{A}_{601}. A605=[00⋯00λ100⋯0λ2000⋯λ300⋮⋮\iddots⋮⋮⋮0λn−1⋯000λn0⋯000],A601=[λ100⋯000λ20⋯0000λ3⋯00⋮⋮⋮⋱⋮⋮000⋯λn−10000⋯0λn]\mathbf{A}_{605} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \lambda_1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_3 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \iddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \lambda_{n-1} & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \lambda_n & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{601} = \left[\begin{smallmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_{n} \end{smallmatrix}\right].

(13)

(A206)2\left(\mathbf{A}_{206}\right)^{2}. A206=[−111−521176−26−21]\mathbf{A}_{206} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & 1 & 1 \\ -5 & 21 & 17 \\ 6 & -26 & -21 \end{smallmatrix}\right].

(14)

(A200)2\left(\mathbf{A}_{200}\right)^{2}. A200=[001010100]\mathbf{A}_{200} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(15)

(A617)2\left(\mathbf{A}_{617}\right)^{2}. A617=[111…11011…11………………000…11000…01]\mathbf{A}_{617} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(16)

(A645)2\left(\mathbf{A}_{645}\right)^{2} при ε=e2πi/n\varepsilon = e^{2\pi i / n}. A645=[111…11εε2…εn−11ε2ε4…ε2(n−1)…………………………1εn−1ε2(n−1)…ε(n−1)2]\mathbf{A}_{645} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\ 1 & \varepsilon & \varepsilon^2 & \ldots & \varepsilon^{n-1} \\ 1 & \varepsilon^2 & \varepsilon^4 & \ldots & \varepsilon^{2(n-1)} \\ \ldots \ldots \ldots \ldots & \ldots \ldots & \ldots \ldots & \ldots \ldots \\ 1 & \varepsilon^{n-1} & \varepsilon^{2(n-1)} & \ldots & \varepsilon^{(n-1)^2} \end{smallmatrix}\right].

Задача 15.6

Каким условиям должны удовлетворять матрицы AA и BB, чтобы:

?
(1)

существовало произведение ABAB

(2)

существовало произведение BABA

(3)

существовали произведения ABAB и BABA?

Задача 15.7

Выразить размеры матриџы ABAB через размеры AA и BB.

?
Задача 15.8

Матрицы A,CA, C имеют размеры соответственно m×nm \times n и p×qp \times q, и существует произведение ABCABC. Каковы размеры матриц B,ABCB, ABC?

?
Задача 15.9

Проверить справедливость тождества (A,B,C,DA, B, C, D — матрицы, α\alpha - — число):

?
(1)

α(AB)=(αA)B\alpha (AB) = (\alpha A) B

(2)

(AB)C=A(BC)(AB) C = A(BC)

(3)

A(B+C)=AB+ACA(B + C) = AB + AC

(4)

(A+B)C=AC+BC(A + B) C = AC + BC

(5)

A(B+C+D)=AB+AC+ADA(B + C + D) = AB + AC + AD.

Задача 15.10

Проверить, существует ли произведение, и если да, то вычислить его:

?
(1)

[1234][12][21]\left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{smallmatrix}\right]\left[\begin{smallmatrix} 1 & 2\end{smallmatrix}\right]\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 1\end{smallmatrix}\right]

(2)

[24][12][21]\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 4\end{smallmatrix}\right]\left[\begin{smallmatrix} 1 & 2\end{smallmatrix}\right]\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 1\end{smallmatrix}\right]

(3)

[122][21][24]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{smallmatrix}\right]\left[\begin{smallmatrix} 2 & 1\end{smallmatrix}\right]\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 4 \end{smallmatrix}\right]

(4)

A2A8c8A2\mathbf{A}_{2} \mathbf{A}_{8} \mathbf{c}_{8} \mathbf{A}_{2}. A2=[−1213],A8=[13574136472842328523],c8=[−11],A2=[−1213]\mathbf{A}_{2} = \left[\begin{smallmatrix} -12 & 13 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{8} = \left[\begin{smallmatrix} 13574 & 13647 \\ 28423 & 28523 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{8} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{2} = \left[\begin{smallmatrix} -12 & 13 \end{smallmatrix}\right].

Задача 15.11

Вычислить:

?
(1)

[1111]n\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1\end{smallmatrix}\right]^{n}

(2)

[111000000]n\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{smallmatrix}\right]^{n}

(3)

[0100001000010000]3\left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{smallmatrix}\right]^{3}

(4)

(A5)n\left(\mathbf{A}_{5}\right)^{n}. A5=[1−11−1]\mathbf{A}_{5} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right].

(5)

(A13)n\left(\mathbf{A}_{13}\right)^{n}. A13=[1101]\mathbf{A}_{13} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(6)

(A14)n\left(\mathbf{A}_{14}\right)^{n}. A14=[1010]\mathbf{A}_{14} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(7)

(A77)n\left(\mathbf{A}_{77}\right)^{n}. A77=[cos⁡α−sin⁡αsin⁡αcos⁡α]\mathbf{A}_{77} = \left[\begin{smallmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{smallmatrix}\right].

(8)

(A601)n\left(\mathbf{A}_{601}\right)^{n}. A601=[λ100⋯000λ20⋯0000λ3⋯00⋮⋮⋮⋱⋮⋮000⋯λn−10000⋯0λn]\mathbf{A}_{601} = \left[\begin{smallmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_{n} \end{smallmatrix}\right].

(9)

(A614)n\left(\mathbf{A}_{614}\right)^{n}. A614=[010…0001…0………….000…1100…0]\mathbf{A}_{614} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & . \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 \\ 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \end{smallmatrix}\right].

(10)

(A613)n\left(\mathbf{A}_{613}\right)^{n}. A613=[010…00001…00………………000…01000…00]\mathbf{A}_{613} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right].

Задача 15.12

Транспонировать матрицу:

?
(1)

[7−4−53]\left[\begin{smallmatrix} 7 & - 4 \\ - 5 & 3\end{smallmatrix}\right]

(2)

[0λ1λn0]\left[\begin{smallmatrix} 0 & & \lambda_{1} \\ \lambda_{n} & & 0\end{smallmatrix}\right]

(3)

[123]\left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3\end{smallmatrix}\right]

(4)

[1234]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{smallmatrix}\right]

(5)

A9\mathbf{A}_{9}. A9=[9−5−53]\mathbf{A}_{9} = \left[\begin{smallmatrix} 9 & -5 \\ -5 & 3 \end{smallmatrix}\right].

(6)

A390\mathbf{A}_{390}. A390=[211301]\mathbf{A}_{390} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(7)

A544\mathbf{A}_{544}. A544=[1230023400111000001200034]\mathbf{A}_{544} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 4 \end{smallmatrix}\right].

(8)

A632\mathbf{A}_{632}. A632=[011…111−101…111−1−10…111…………………−1−1−1…−1−10]\mathbf{A}_{632} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & \ldots & 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 0 & \ldots & 1 & 1 & 1 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ -1 & -1 & -1 & \ldots & -1 & -1 & 0 \end{smallmatrix}\right].

Задача 15.13

Проверить справедливость тождества:

?
(1)

(αA)T=αAT(\alpha A)^{T} = \alpha A^{T}

(2)

(AB)T=BTAT(AB)^{T} = B^{T} A^{T}

(3)

(ABC)T=CTBTAT(ABC)^{T} = C^{T} B^{T} A^{T}; 1)(A+B)T=AT+BT)(A + B)^{T} = A^{T} + B^{T}.

Задача 15.14

Вычислить матрицу P=E−(ei−ek)T(ei−ek)P = E - \left(\mathbf{e}_{i} - \mathbf{e}_{k}\right)^{T}\left(\mathbf{e}_{i} - \mathbf{e}_{k}\right) (через e2\mathbf{e}_{2} обозначена ii — я строка единичной матрицы E)\left. E\right).

?
Задача 15.15

Пусть a,b\mathbf{a}, \mathbf{b} — столбцы одинаковой высоты и H=abTH = \mathbf{ab}^{T}. Доказать, что H2=λHH^{2} = \lambda H для некоторого числа λ\lambda.

?
Задача 15.16

Всегда ли верно матричное равенство AB=BAAB = BA? Привести примеры коммутирующих и некоммутирующих матриц.

?
Задача 15.17

Что можно сказать о размерах матриц A,BA, B, если AB=BA?AB = BA?

?
Задача 15.18

Вычислить матрицу [A,B]=AB−BA\left[A, B\right] = AB - BA (коммутатор матриц A,BA, B), если:

?
(1)

A=A12,B=A5A = \mathbf{A}_{12}, B = \mathbf{A}_{5}. A12=[1111],A5=[1−11−1]\mathbf{A}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{5} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right].

(2)

A=A20,B=A16A = \mathbf{A}_{20}, B = \mathbf{A}_{16}. A20=[0−110],A16=[1−111]\mathbf{A}_{20} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{16} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

Задача 15.19

Проверить справедливость тождества (см. задачу 15. 18):

?
(1)

[A,B]=−[B,A]\left[A, B\right] = - \left[B, A\right]

(2)

[A,A]=O\left[A, A\right] = O

(3)

[A,E]=[E,A]=O\left[A, E\right] = \left[E, A\right] = O

(4)

[A,(B+C)]=[A,B]+[A,C]\left[A, (B + C)\right] = \left[A, B\right] + \left[A, C\right]

Задача 15.20

Вычислить матрицу {A,B}=12(AB+BA)\left\{ A, B\right\} = \frac{1}{2}(AB + BA) (произведение Йордана матриц A,B)A, B), если:

?
(1)

A=A12,B=A5A = \mathbf{A}_{12}, B = \mathbf{A}_{5}. A12=[1111],A5=[1−11−1]\mathbf{A}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{5} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right].

(2)

A=A20,B=A16A = \mathbf{A}_{20}, B = \mathbf{A}_{16}. 15.20)15. 20):. A20=[0−110],A16=[1−111]\mathbf{A}_{20} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{16} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

Задача 15.21

Проверить справедливость тождества (см. задачу

?
(1)

{A,B}={B,A}\left\{ A, B\right\} = \left\{ B, A\right\}

(2)

{A,A}=A2\left\{ A, A\right\} = A^{2}

(3)

{A,E}=A\left\{ A, E\right\} = A

(4)

{A,(B+C)}={A,B}+{A,C}\left\{ A, (B + C)\right\} = \left\{ A, B\right\} + \left\{ A, C\right\}.

Задача 15.22

Вычислить f(A)f(A), если:

?
(1)

f(t)=t2−2t+1,A=[1111]f(t) = t^{2} - 2t + 1, A =\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1\end{smallmatrix}\right]

(2)

f(t)=t2−2t+1,A=[1101]f(t) = t^{2} - 2t + 1, A =\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{smallmatrix}\right]

(3)

f(t)=t2−3t+2,A=A11f(t) = t^{2} - 3t + 2, A = \mathbf{A}_{11}. A11=[0−213]\mathbf{A}_{11} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 3 \end{smallmatrix}\right].

(4)

f(t)=(t−ε)2,A=A78f(t) = (t - \varepsilon )^{2}, A = \mathbf{A}_{78}. A78=[ε1−1ε]\mathbf{A}_{78} = \left[\begin{smallmatrix} \varepsilon & 1 \\ -1 & \varepsilon \end{smallmatrix}\right].

(5)

f(t)=t2+t+1,A=A206f(t) = t^{2} + t + 1, A = \mathbf{A}_{206}. A206=[−111−521176−26−21]\mathbf{A}_{206} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & 1 & 1 \\ -5 & 21 & 17 \\ 6 & -26 & -21 \end{smallmatrix}\right].

Задача 15.23

Разложив многочлен f(t)f(t) на множители, вычислить f(A)f(A), если:

?
(1)

f(t)=t2−t,A=A230f(t) = t^{2} - t, A = \mathbf{A}_{230}. A230=[−143−2532−4−2]\mathbf{A}_{230} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & 4 & 3 \\ -2 & 5 & 3 \\ 2 & -4 & -2 \end{smallmatrix}\right].

(2)

f(t)=t2+2t−3,A=A214f(t) = t^{2} + 2t - 3, A = \mathbf{A}_{214}. A214=[131616−5−7−6−6−8−7]\mathbf{A}_{214} = \left[\begin{smallmatrix} 13 & 16 & 16 \\ -5 & -7 & -6 \\ -6 & -8 & -7 \end{smallmatrix}\right].

Задача 15.24

Проверить, справедливы ли матричные тождества:

?
(1)

(A+B)2=A2+2AB+B2(A + B)^{2} = A^{2} + 2AB + B^{2}

(2)

(A+B)(A−B)=(A−B)(A+B)(A + B)(A - B) = (A - B)(A + B)

(3)

A2−B2=(A+B)(A−B)A^{2} - B^{2} = (A + B)(A - B)

(4)

(A+E)3=A3+3A2+3A+E(A + E)^{3} = A^{3} + 3A^{2} + 3A + E.

Подпараграф
15.2 · Связь умножения матриц и элементарных преобразований (15.25-15.38)[14/79%]
Задача 15.25

Доказать, что kk — й столбец матрицы ABAB равен произведению матрицы AA на kk — й столбец BB.

?
Задача 15.26

Сформулировать и доказать предложение, аналогичное 15. 25, для строк.

?
Задача 15.27

Доказать, что kk — й столбец матрицы ABAB равен линейной комбинации столбцов матрицы AA с коэффициентами из элементов kk — го столбца матрицы BB.

?
Задача 15.28

Сформулировать и доказать аналог предложения 15. 27 для строк.

?
Задача 15.29

Доказать, что:

?
(1)

при перестановке двух строк матрицы AA соответствующие строки в ABAB также переставляются

(2)

если kk — ю строку матрицы AA умножить на число λ\lambda, то kk — я строка ABAB также умножится на λ\lambda

(3)

если к kk — й строке матрицы AA прибавить ее jj — ю строку, то с матрицей ABAB произойдет то же элементарное преобразование.

Задача 15.30

Сформулировать и доказать аналоги предложений 15.29 для столбцов. А именно, доказать, что

?
(1)

при перестановке двух столбцов матрицы AA соответствующие столбцы в ABAB также переставляются

(2)

если kk — й столбец матрицы AA умножить на число λ\lambda, то kk — й столбец ABAB также умножится на λ\lambda

(3)

если к kk — му столбцу матрицы AA прибавить ее jj — й столбец, то с матрицей ABAB произойдет то же элементарное преобразование.

Задача 15.31
?
(1)

Доказать, что прибавление к строке матрицы линейной комбинации остальных ее строк может быть осуществлено при помощи последовательного применения основных элементарных преобразований строк.

(2)

Доказать аналогичное утверждение для преобразования, состоящего в перестановке двух строк матрицы.

Задача 15.32

Вычислить произведение eiAekT\mathbf{e}_{i} A\mathbf{e}_{k}^{T} для произвольной матрицы AA (через ei\mathbf{e}_{i} обозначена ii — я строка единичной матрицы подходящего размера).

?
Задача 15.33

Для произвольной матрицы AA и матричной единицы EijE_{ij} подходящего размера вычислить произведение:

?
(1)

EijAE_{ij} A

(2)

AEijAE_{ij}.

Задача 15.34

Пусть матрицы AA и BB таковы, что для произвольных столбцов ξ\xi и η\eta подходящей высоты выполнено равенство ξTAη=ξTBη\xi^{T} A\eta = \xi^{T} B\eta. Доказать, что A=BA = B.

?
Задача 15.35

Пусть AA — матрица размеров m×n,Emm \times n, E_{m} и EnE_{n} — единичные матрицы порядка mm и nn соответственно. Доказать, что EmA=AEn=AE_{m} A = AE_{n} = A.

?
Задача 15.36

На какую матрицу следует умножить матрицу AA, чтобы в результате получить:

?
(1)

первый столбец AA;

(2)

первую строку AA?

Задача 15.37

Подобрать элементарную матрицу KK так, чтобы матрица KAKA получалась из AA:

?
(1)

перестановкой двух первых строк AA

(2)

прибавлением первой строки ко второй

(3)

умножением первой строки AA на число λ≠0\lambda \neq 0.

Задача 15.38

Подобрать элементарную матрицу KK так, чтобы произведение AKAK получалось из AA при помощи заданного элементарного преобразования столбцов.

?
Подпараграф
15.3 · Обратная матрица (15.39-15.65)[27/56%]
Задача 15.39

Привести примеры вырожденных и невырожденных матриц.

?
Задача 15.40

Пусть AA — вырожденная матрица второго порядка, mm — натуральное число. Доказать, что существует число λ\lambda такое, что Am=λm−1AA^{m} = \lambda^{m - 1} A для всех mm.

?
Задача 15.41

Обратима ли прямоугольная матрица?

?
Задача 15.42

Доказать, что если матрица BB, обратная к AA, существует, то det⁡A≠0,det⁡B≠0,det⁡B=(det⁡A)−1\operatorname {det} A \neq 0, \operatorname {det} B \neq 0, \operatorname {det} B = (\operatorname {det} A)^{ - 1}.

?
Задача 15.43
?
(1)

Доказать, что если A,B,CA, B, C — квадратные матрицы и AB=E,AC=EAB = E, AC = E, то B=CB = C.

(2)

Возможно ли равенство AB=EAB = E для прямоугольных матриц? Справедливо ли утверждение 1) для прямоугольных матриц?

Задача 15.44

Дана квадратная матрица A=∥aij∥A = \left\| a_{ij}\right\|. Выписать систему уравнений, которой удовлетворяют элементы jj — го столбца матрицы A−1A^{ - 1}.

?
Задача 15.45

Вычислить:

?
(1)

[3559]−1\left[\begin{smallmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9\end{smallmatrix}\right]^{ - 1}

(2)

[2−1002−1−1−11]−1\left[\begin{smallmatrix} 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 1\end{smallmatrix}\right]^{ - 1}

(3)

[0λ1λn0]−1\left[\begin{smallmatrix} 0 & & \lambda_{1} \\ \lambda_{n} & & 0\end{smallmatrix}\right]^{ - 1}

(4)

(A34)−1\left(\mathbf{A}_{34}\right)^{ - 1}. A34=[2111]\mathbf{A}_{34} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(5)

(A77)−1\left(\mathbf{A}_{77}\right)^{ - 1}. A77=[cos⁡α−sin⁡αsin⁡αcos⁡α]\mathbf{A}_{77} = \left[\begin{smallmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{smallmatrix}\right].

(6)

(A6)−1\left(\mathbf{A}_{6}\right)^{ - 1}. A6=[3457]\mathbf{A}_{6} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 7 \end{smallmatrix}\right].

(7)

(A207)−1\left(\mathbf{A}_{207}\right)^{ - 1}. A207=[12025−20−25]\mathbf{A}_{207} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & -2 \\ 0 & -2 & 5 \end{smallmatrix}\right].

(8)

(A203)−1\left(\mathbf{A}_{203}\right)^{ - 1}. A203=[22−12−12−122]\mathbf{A}_{203} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(9)

(A202)−1\left(\mathbf{A}_{202}\right)^{ - 1}. A202=[12221−22−21]\mathbf{A}_{202} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ 2 & -2 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(10)

(A227)−1\left(\mathbf{A}_{227}\right)^{ - 1}. A227=[111122234]\mathbf{A}_{227} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 4 \end{smallmatrix}\right].

Задача 15.46

Доказать, что матрица, обратная к элементарной, есть элементарная матрица.

?
Задача 15.47

Вычислить обратную к данной элементарной матрице:

?
(1)

[−2001]\left[\begin{smallmatrix} - 2 & 0 \\ 0 & 1\end{smallmatrix}\right]

(2)

[0110]\left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{smallmatrix}\right]

(3)

[1031]\left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1\end{smallmatrix}\right]

(4)

[1−20010001]\left[\begin{smallmatrix} 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{smallmatrix}\right]

(5)

[300010001]\left[\begin{smallmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{smallmatrix}\right]

(6)

[100010201]\left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1\end{smallmatrix}\right]

(7)

[1000−10001]\left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{smallmatrix}\right]

(8)

[100001010]\left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{smallmatrix}\right]

(9)

A13\mathbf{A}_{13}. A13=[1101]\mathbf{A}_{13} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(10)

A43\mathbf{A}_{43}. A43=[1n01]\mathbf{A}_{43} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(11)

A200\mathbf{A}_{200}. A200=[001010100]\mathbf{A}_{200} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right].

Задача 15.48

Проверить, справедливо ли тождество:

?
(1)

(AT)−1=(A−1)T\left(A^{T}\right)^{ - 1} = \left(A^{ - 1}\right)^{T}

(2)

(αA)−1=α−1A−1(\alpha A)^{ - 1} = \alpha^{ - 1} A^{ - 1}

(3)

(AB)−1=B−1A−1(AB)^{ - 1} = B^{ - 1} A^{ - 1}

(4)

(ABC)−1=C−1B−1A−1(ABC)^{ - 1} = C^{ - 1} B^{ - 1} A^{ - 1}

(5)

(A−1)k=(Ak)−1\left(A^{ - 1}\right)^{k} = \left(A^{k}\right)^{ - 1}

(6)

(A+B)−1=A−1+B−1(A + B)^{ - 1} = A^{ - 1} + B^{ - 1}.

Задача 15.49
?
(1)

Доказать, что квадратную матрицу с помощью элементарных преобразований строк можно перевести в единичную тогда и только тогда, когда она невырождена.

(2)

Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для элементарных преобразований столбцов матрицы.

Задача 15.50

Доказать, что всякая невырожденная матрица есть произведение элементарных матриц.

?
Задача 15.51

Разложить данную матрицу в произведение элементарных матриц:

?
(1)

(p)[110−2](\mathrm{p})\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & - 2\end{smallmatrix}\right]

(2)

[1−111]\left[\begin{smallmatrix} 1 & - 1 \\ 1 & 1\end{smallmatrix}\right]

(3)

[0−213]\left[\begin{smallmatrix} 0 & - 2 \\ 1 & 3\end{smallmatrix}\right]

(4)

[100112113]\left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 3\end{smallmatrix}\right].

Задача 15.52
?
(1)

Пусть A,BA, B — матрицы одного порядка и матрица AA с помощью цепочки элементарных преобразований строк переведена в единичную матрицу EE. В какую матрицу переведет та же цепочка элементарных преобразований матрицу EE? Матрицу BB?

(2)

Ответить на те же вопросы для цепочки элементарных преобразований столбцов матрицы AA, переводящих AA в EE.

Задача 15.53
?
(1)

Описать и обосновать способ вычисления матрицы A−1A^{ - 1}, использующий элементарные преобразования строк матрицы ∥BE∥□\left\| BE\right\|^{\square }.

(2)

Описать и обосновать способ вычисления матрицы A−1A^{ - 1}, использующий элементарные преобразования столбцов матрицы [AE]□\left[\begin{smallmatrix} A \\ E\end{smallmatrix}\right]^{\square }.

Задача 15.54

Вычислить:

?
(1)

[00−10000110000−100]−1\left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0\end{smallmatrix}\right]^{ - 1}

(2)

[1110−121014100003]−1\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3\end{smallmatrix}\right]^{ - 1}

(3)

[11…101…1……….00…1]−1\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ 0 & 1 & \ldots & 1 \\ \ldots & \ldots & \ldots & . \\ 0 & 0 & \ldots & 1\end{smallmatrix}\right]^{ - 1}

(4)

(A430)−1\left(\mathbf{A}_{430}\right)^{ - 1}. A430=[000−100−1001001000]\mathbf{A}_{430} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(5)

(A432)−1\left(\mathbf{A}_{432}\right)^{ - 1}. A432=[0−1001000000−10010]\mathbf{A}_{432} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(6)

(A433)−1\left(\mathbf{A}_{433}\right)^{ - 1}. A433=[1−21001−21001−20001]\mathbf{A}_{433} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(7)

(A434)−1\left(\mathbf{A}_{434}\right)^{ - 1}. A434=[1222212222122221]\mathbf{A}_{434} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(8)

(A439)−1\left(\mathbf{A}_{439}\right)^{ - 1}. A439=[0111−1011−1−101−1−1−10]\mathbf{A}_{439} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(9)

(A601)−1\left(\mathbf{A}_{601}\right)^{ - 1}. A601=[λ100⋯000λ20⋯0000λ3⋯00⋮⋮⋮⋱⋮⋮000⋯λn−10000⋯0λn]\mathbf{A}_{601} = \left[\begin{smallmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_{n} \end{smallmatrix}\right].

(10)

(A614)−1\left(\mathbf{A}_{614}\right)^{ - 1}. A614=[010…0001…0………….000…1100…0]\mathbf{A}_{614} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & . \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 \\ 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \end{smallmatrix}\right].

(11)

(A609)−1\left(\mathbf{A}_{609}\right)^{ - 1}. A609=[1−10…0001−1…00………………000…1−1000…01]\mathbf{A}_{609} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(12)

(A608)−1\left(\mathbf{A}_{608}\right)^{ - 1}. A608=[110…00011…00⋯⋯⋯⋯⋯⋯000…11000…01]\mathbf{A}_{608} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(13)

(A618)−1\left(\mathbf{A}_{618}\right)^{ - 1}. A618=[123…n012…n−1……………000…1]\mathbf{A}_{618} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & \ldots & n \\ 0 & 1 & 2 & \ldots & n-1 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 \end{smallmatrix}\right].

Задача 15.55

Пусть A2+A+E=OA^{2} + A + E = O. Доказать, что матрица AA невырождена, и указать простейший способ вычисления A−1A^{ - 1}.

?
Задача 15.56

Пусть Am=OA^{m} = O. Доказать, что (E−A)−1=E+A+⋯+Am−1(E - A)^{ - 1} = E + A + \cdots + A^{m - 1}.

?
Задача 15.57

Матрица AA коммутирует с BB. Доказать, что тогда A−1A^{ - 1} коммутирует с B−1B^{ - 1} (предполагается, что матрицы обратимы).

?
Задача 15.58

Проверить формулу (S−1AS)m=S−1AmS\left(S^{ - 1} AS\right)^{m} = S^{ - 1} A^{m} S.

?
Задача 15.59

Пусть S−1AS=BS^{ - 1} AS = B и f(t)f(t) — многочлен. Доказать, что f(B)=S−1f(A)Sf(B) = S^{ - 1} f(A) S.

?
Задача 15.60

Пусть a,b\mathbf{a}, \mathbf{b} — столбцы одинаковой высоты, 1/μ=1+bTa≠0,B=E+abT1 / \mu = 1 + \mathbf{b}^{T} \mathbf{a} \neq 0, B = E + \mathbf{ab}^{T}. Проверить справедливость равенства B−1=E−μabTB^{ - 1} = E - \mu \mathbf{ab}^{T}.

?
Задача 15.61

Пусть a,b\mathbf{a}, \mathbf{b} — столбцы высоты n,An, A — обратимая матрица порядка n,1/μ=1+bTA−1a≠0n, 1 / \mu = 1 + \mathbf{b}^{T} A^{ - 1} \mathbf{a} \neq 0 и B=A+abTB = A + \mathbf{ab}^{T}. Проверить справедливость равенства B−1=A−1−μA−1abTA−1B^{ - 1} = A^{ - 1} - \mu A^{ - 1} \mathbf{ab}^{T} A^{ - 1}.

?
Задача 15.62
?
(1)

Описать и обосновать способ вычисления произведения A−1BA^{ - 1} B, использующий элементарные преобразования строк матрицы ∥BE∥□\left\| BE\right\|^{\square }.

(2)

Описать и обосновать способ вычисления произведения AB−1AB^{ - 1}, использующий элементарные преобразования столбцов матрицы [AE]□\left[\begin{smallmatrix} A \\ E\end{smallmatrix}\right]^{\square }.

Задача 15.63

Вычислить произведения матриц:

?
(1)

[1101]−1⋅[2513]\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{smallmatrix}\right]^{ - 1} \cdot \left[\begin{smallmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3\end{smallmatrix}\right]

(2)

A205A203−1\mathbf{A}_{205} \mathbf{A}_{203}^{ - 1}. A205=[123234345],A203=[22−12−12−122]\mathbf{A}_{205} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{203} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(3)

A203−1A205\mathbf{A}_{203}^{ - 1} \mathbf{A}_{205}. A203=[22−12−12−122],A205=[123234345]\mathbf{A}_{203} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{205} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{smallmatrix}\right].

(4)

A210−1A205\mathbf{A}_{210}^{ - 1} \mathbf{A}_{205}. A210=[013235357],A205=[123234345]\mathbf{A}_{210} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 7 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{205} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{smallmatrix}\right].

(5)

A450−1A431\mathbf{A}_{450}^{ - 1} \mathbf{A}_{431}. A450=[1234012300120001],A431=[00−10000110000−100]\mathbf{A}_{450} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{431} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(6)

A618A617−1\mathbf{A}_{618} \mathbf{A}_{617}^{ - 1}. A618=[123…n012…n−1……………000…1],A617=[111…11011…11………………000…11000…01]\mathbf{A}_{618} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & \ldots & n \\ 0 & 1 & 2 & \ldots & n-1 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{617} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right].

Задача 15.64

Пусть матрицы A,CA, C невырожденные. Решить матричное уравнение:

?
(1)

AX=OAX = O

(2)

AX=BAX = B

(3)

XA=BXA = B

(4)

AXC=BAXC = B

(5)

A(X+C)=BA(X + C) = B.

Задача 15.65

Найти матрицу XX из уравнения:

?
(1)

[2513]X=[2111]\left[\begin{smallmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3\end{smallmatrix}\right] X =\left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1\end{smallmatrix}\right]

(2)

X[2513]=[2111]X\left[\begin{smallmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3\end{smallmatrix}\right] =\left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1\end{smallmatrix}\right]

(3)

[2111]X=[1017]\left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1\end{smallmatrix}\right] X =\left[\begin{smallmatrix} 10 \\ 17\end{smallmatrix}\right]

(4)

[12025−20−25]X=[100011010]\left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & - 2 \\ 0 & - 2 & 5\end{smallmatrix}\right] X =\left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{smallmatrix}\right]

(5)

X[22−12−12−122]=[55258−1]X\left[\begin{smallmatrix} 2 & 2 & - 1 \\ 2 & - 1 & 2 \\ - 1 & 2 & 2\end{smallmatrix}\right] =\left[\begin{smallmatrix} 5 & 5 & 2 \\ 5 & 8 & - 1\end{smallmatrix}\right]

(6)

X[1111]=[1−11−1]X\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1\end{smallmatrix}\right] =\left[\begin{smallmatrix} 1 & - 1 \\ 1 & - 1\end{smallmatrix}\right]

(7)

[1101]X=X[1101]\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{smallmatrix}\right] X = X\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{smallmatrix}\right]

(8)

A12X=A5\mathbf{A}_{12} X = \mathbf{A}_{5}. A12=[1111],A5=[1−11−1]\mathbf{A}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{5} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right].

(9)

XA12=A12X\mathbf{A}_{12} = \mathbf{A}_{12}. A12=[1111],A12=[1111]\mathbf{A}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(10)

X−1A12X=A21X^{ - 1} \mathbf{A}_{12} X = \mathbf{A}_{21}. A12=[1111],A21=[0002]\mathbf{A}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{21} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(11)

A111X=A228\mathbf{A}_{111} X = \mathbf{A}_{228}. A111=[111122],A228=[124124248]\mathbf{A}_{111} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{228} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & 8 \end{smallmatrix}\right].

(12)

A229X=A116\mathbf{A}_{229} X = \mathbf{A}_{116}. A229=[2−1002−1−1−11],A116=[1001−1−1]\mathbf{A}_{229} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{116} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{smallmatrix}\right].

(13)

A203X=c53\mathbf{A}_{203} X = \mathbf{c}_{53}. A203=[22−12−12−122],c53=[711]\mathbf{A}_{203} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{53} = \left[\begin{smallmatrix} 7 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

(14)

A126X=A230\mathbf{A}_{126} X = \mathbf{A}_{230}. A126=[3231−20],A230=[−143−2532−4−2]\mathbf{A}_{126} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 2 \\ 3 & 1 \\ -2 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{230} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & 4 & 3 \\ -2 & 5 & 3 \\ 2 & -4 & -2 \end{smallmatrix}\right].

(15)

A113X=A213\mathbf{A}_{113} X = \mathbf{A}_{213}. A113=[010110],A213=[111222333]\mathbf{A}_{113} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{213} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{smallmatrix}\right].

(16)

XA227=A229X\mathbf{A}_{227} = \mathbf{A}_{229}. A227=[111122234],A229=[2−1002−1−1−11]\mathbf{A}_{227} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 4 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{229} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

Подпараграф
15.4 · Другие операции с матрицами и специальные виды матриц (15.66-15.130)[65/45%]
Задача 15.66

Пусть A,BA, B — диагональные матрицы одного порядка, α\alpha — число. Доказать, что матрицы αA,A+B,AB,BA\alpha A, A + B, AB, BA тоже диагональные и AB=BAAB = BA.

?
Задача 15.67

Пусть A=diag⁡(λ1,…,λn)A = \operatorname {diag}\left(\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}\right). Доказать, что:

?
(1)

столбцы матрицы BABA получаются умножением столбцов матрицы BB на числа λ1,…,λn\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}

(2)

строки матрицы ABAB получаются умножением строк BB на числа λ1,…,λn\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}.

Задача 15.68

Пусть AA — диагональная матрица, f(t)f(t) — многочлен. Доказать, что тогда матрица f(A)f(A) также диагональна.

?
Задача 15.69

Пусть матрица AA диагональна, все ее диагональные элементы различны и AB=BAAB = BA. Доказать, что тогда и матрица BB диагональна.

?
Задача 15.70

Матрица AA перестановочна с любой диагональной матрицей порядка nn. Доказать, что AA — диагональная матрица порядка nn.

?
Задача 15.71

Матрица AA перестановочна со всеми матричными единицами порядка nn. Доказать, что AA — скалярная матрица.

?
Задача 15.72

Матрица AA перестановочна с любой матрицей порядка nn. Доказать, что AA — скалярная матрица.

?
Задача 15.73

Найти все матрицы, перестановочные с каждой невырожденной матрицей порядка nn.

?
Задача 15.74

Найти матрицу, эрмитово сопряженную данной матрице:

?
(1)

A82\mathbf{A}_{82}. A82=[i1−1i]\mathbf{A}_{82} = \left[\begin{smallmatrix} i & 1 \\ -1 & i \end{smallmatrix}\right].

(2)

A86\mathbf{A}_{86}. A86=[5i−i1]\mathbf{A}_{86} = \left[\begin{smallmatrix} 5 & i \\ -i & 1 \end{smallmatrix}\right].

(3)

A89\mathbf{A}_{89}. A89=[1−i2+i1−2i]\mathbf{A}_{89} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -i \\ 2+i & 1-2 i \end{smallmatrix}\right].

(4)

A81\mathbf{A}_{81}. A81=[1+i2311−i2]\mathbf{A}_{81} = \left[\begin{smallmatrix} 1+i \sqrt{2} & 3 \\ 1 & 1-i \sqrt{2} \end{smallmatrix}\right].

Задача 15.75

Проверить справедливость тождества:

?
(1)

(A+B)H=AH+BH(A + B)^{H} = A^{H} + B^{H}

(2)

(αA)H=αˉAH(\alpha A)^{H} = \bar{\alpha } A^{H}

(3)

(AH)H=A\left(A^{H}\right)^{H} = A

(4)

(A⋅B)H=BHAH(A \cdot B)^{H} = B^{H} A^{H}

(5)

(AH)−1=(A−1)H\left(A^{H}\right)^{ - 1} = \left(A^{ - 1}\right)^{H}.

Задача 15.76

Определить, является ли указанная матрица второго порядка диагональной, скалярной, треугольной, симметри — ческой, кососимметрической, эрмитовой, косоэрмитовой, унитарной, ортогональной или матрицей перестановки:

?
(1)

A82\mathbf{A}_{82}. A82=[i1−1i]\mathbf{A}_{82} = \left[\begin{smallmatrix} i & 1 \\ -1 & i \end{smallmatrix}\right].

(2)

A12\mathbf{A}_{12}. A12=[1111]\mathbf{A}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(3)

A87\mathbf{A}_{87}. A87=[11+i1−i3]\mathbf{A}_{87} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1+i \\ 1-i & 3 \end{smallmatrix}\right].

(4)

A86\mathbf{A}_{86}. A86=[5i−i1]\mathbf{A}_{86} = \left[\begin{smallmatrix} 5 & i \\ -i & 1 \end{smallmatrix}\right].

(5)

A77\mathbf{A}_{77}. A77=[cos⁡α−sin⁡αsin⁡αcos⁡α]\mathbf{A}_{77} = \left[\begin{smallmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{smallmatrix}\right].

(6)

A15\mathbf{A}_{15}. A15=[−1001]\mathbf{A}_{15} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(7)

A46\mathbf{A}_{46}. A46=[−4014]\mathbf{A}_{46} = \left[\begin{smallmatrix} -4 & 0 \\ 1 & 4 \end{smallmatrix}\right].

(8)

A23\mathbf{A}_{23}. A23=[02−20]\mathbf{A}_{23} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(9)

12A88\frac{1}{\sqrt{2}} \mathbf{A}_{88}. A88=[1ii1]\mathbf{A}_{88} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{smallmatrix}\right].

(10)

A22\mathbf{A}_{22}. A22=[0110]\mathbf{A}_{22} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(11)

12A16\frac{1}{\sqrt{2}} \mathbf{A}_{16}. A16=[1−111]\mathbf{A}_{16} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

Задача 15.77

Доказать, что:

?
(1)

все диагональные элементы кососимметрической матрицы равны 0

(2)

диагоналыные элементы эрмитовой матрицы вещественны

(3)

диагональные элементы косоэрмитовой матрицы мнимые.

Задача 15.78

Доказать, что:

?
(1)

если матрица AA эрмитова, то матрица iAiA косоэрмитова

(2)

если матрица AA косоэрмитова, то iAiA эрмитова.

Задача 15.79
?
(1)

Найти общий вид эрмитовых матриц второго порядка.

(2)

Найти общий вид косоэрмитовых матриц второго порядка.

(3)

Указать все матрицы перестановок второго порядка.

Задача 15.80

Доказать: если матрица AA диагональна и все ее диагональные элементы отличны от 0, то A−1A^{ - 1} существует и является диагональной.

?
Задача 15.81

Доказать: если матрица AA верхняя треугольная и все ее диагональные элементы отличны от 0, то A−1A^{ - 1} существует и является верхней треугольной.

?
Задача 15.82

Доказать: если AA — невырожденная симметрическая матрица, то A−1A^{ - 1} — также симметрическая матрица.

?
Задача 15.83

Доказать: если AA — невырожденная кососимметрическая матрица, то A−1A^{ - 1} — также кососимметрическая матрица.

?
Задача 15.84

Доказать: если AA — ортогональная матрица, то A−1A^{ - 1} существует и ортогональна.

?
Задача 15.85

Доказать: если AA — унитарная матрица, то A−1A^{ - 1} существует и унитарна.

?
Задача 15.86

Доказать: если AA — матрица перестановки, то A−1A^{ - 1} существует и также является матрицей перестановки.

?
Задача 15.87

Доказать, что данная матрица ортогональна и найти обратную к ней:

?
(1)

A77\mathbf{A}_{77}. A77=[cos⁡α−sin⁡αsin⁡αcos⁡α]\mathbf{A}_{77} = \left[\begin{smallmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{smallmatrix}\right].

(2)

A313\mathbf{A}_{313}. A313=[2/31/2−1/(32)1/304/(32)−2/31/21/(32)]\mathbf{A}_{313} = \left[\begin{smallmatrix} 2/3 & 1/\sqrt{2} & -1/(3\sqrt{2}) \\ 1/3 & 0 & 4/(3\sqrt{2}) \\ -2/3 & 1/\sqrt{2} & 1/(3\sqrt{2}) \end{smallmatrix}\right].

(3)

A318\mathbf{A}_{318}. A318=[1/101/22/101/10−1/22/10−2/501/5]\mathbf{A}_{318} = \left[\begin{smallmatrix} 1/\sqrt{10} & 1/\sqrt{2} & 2/\sqrt{10} \\ 1/\sqrt{10} & -1/\sqrt{2} & 2/\sqrt{10} \\ -2/\sqrt{5} & 0 & 1/\sqrt{5} \end{smallmatrix}\right].

(4)

A322\mathbf{A}_{322}. A322=[1/21/31/601/3−2/6−1/21/31/6]\mathbf{A}_{322} = \left[\begin{smallmatrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{3} & 1/\sqrt{6} \\ 0 & 1/\sqrt{3} & -2/\sqrt{6} \\ -1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{3} & 1/\sqrt{6} \end{smallmatrix}\right].

(5)

A445\mathbf{A}_{445}. A445=[1/101/21/22/102/101/2−1/2−1/101/10−1/2−1/22/102/10−1/21/2−1/10]\mathbf{A}_{445} = \left[\begin{smallmatrix} 1/\sqrt{10} & 1/2 & 1/2 & 2/\sqrt{10} \\ 2/\sqrt{10} & 1/2 & -1/2 & -1/\sqrt{10} \\ 1/\sqrt{10} & -1/2 & -1/2 & 2/\sqrt{10} \\ 2/\sqrt{10} & -1/2 & 1/2 & -1/\sqrt{10} \end{smallmatrix}\right].

Задача 15.88

Доказать, что данная матрица унитарна и найти обратную к ней:

?
(1)

A103\mathbf{A}_{103}. A103=[0i−i0]\mathbf{A}_{103} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & i \\ -i & 0 \end{smallmatrix}\right].

(2)

12A488\frac{1}{\sqrt{2}} \mathbf{A}_{488}. A488=[i0−i00i0−i01011010]\mathbf{A}_{488} = \left[\begin{smallmatrix} i & 0 & -i & 0 \\ 0 & i & 0 & -i \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right].

Задача 15.89

Пусть матрицы AA и BB — верхние треугольные. Выразить элементы матрицы ABAB через элементы матриц AA и BB.

?
Задача 15.90

Пусть матрицы AA и BB — верхние треугольные. Доказать, что матрицы A+BA + B и ABAB — также верхние треугольные.

?
Задача 15.91

Пусть матриџы AA и BB симметрические. Доказать, что:

?
(1)

A+BA + B — симметрическая матрица

(2)

AkA^{k} — симметрическая матрица при любом натуральном kk

(3)

матрица ABAB является симметрической тогда и только тогда, когда матрицы AA и BB перестановочны.

Задача 15.92

Пусть матрицы AA и BB кососимметрические. Доказать, что:

?
(1)

A+BA + B — кососимметрическая матрица

(2)

AkA^{k} — кососимметрическая матрица при нечетном kk и симметрическая матрица при четном kk

(3)

матрица ABAB является симметрической тогда и только тогда, когда AA и BB перестановочны.

(4)

Сформулировать и доказать необходимое и достаточное условие кососимметричности произведения матриц AA и BB.

Задача 15.93

Пусть AA — произвольная квадратная матрица. Доказать, что матрицы A+ATA + A^{T} и AATAA^{T} симметрические, матрица A−ATA - A^{T} кососимметрическая.

?
Задача 15.94

Доказать, что любую квадратную матрицу можно разложить в сумму симметрической и кососимметрической матриц. Единственно ли это разложение?

?
Задача 15.95

Разложить данную матрицу в сумму симметрической и кососимметрической матриц:

?
(1)

A49\mathbf{A}_{49}. A49=[4−312−8]\mathbf{A}_{49} = \left[\begin{smallmatrix} 4 & -3 \\ 12 & -8 \end{smallmatrix}\right].

(2)

A16\mathbf{A}_{16}. A16=[1−111]\mathbf{A}_{16} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(3)

A234\mathbf{A}_{234}. A234=[0220−1−200−2]\mathbf{A}_{234} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -2 \end{smallmatrix}\right].

Задача 15.96

Пусть SS — невырожденная матрица и STAS=BS^{T} AS = B. Доказать, что каждое из свойств: симметричность, кососимметричность — выполняется для матриц AA и BB одновременно (т. е. если оно выполнено для матрицы AA, то выполнено и для BB, и обратно).

?
Задача 15.97

Доказать утверждение: всякая эрмитова вещественная матрица является симметрической.

?
Задача 15.98

Пусть матрицы AA и BB эрмитовы. Доказать, что:

?
(1)

матрица A+BA + B эрмитова

(2)

матрица ABAB является эрмитовой тогда и только тогда, когда матрицы AA и BB перестановочны.

Задача 15.99

Пусть AA — эрмитова матрица и A=B+iCA = B + iC, причем BB и CC — вещественные матрицы. Доказать, что BB — симметрическая матрица, а CC — кососимметрическая.

?
Задача 15.100

Доказать, что любую квадратную матрицу можно разложить в сумму эрмитовой и косоэрмитовой. Единственно ли это разложение?

?
Задача 15.101

Доказать: вещественная унитарная матрица ортогональна.

?
Задача 15.102

Доказать: если матрицы AA и BB ортогональны, то ABAB ортогональна.

?
Задача 15.103

Доказать: если матрицы AA и BB унитарны, то ABAB унитарна.

?
Задача 15.104

Пусть AA — ортогональная матрица. Доказать, что тогда сумма квадратов элементов любой ее строки равна 1, а сумма попарных произведений соответствующих элементов двух различных строк равна 0. Являются ли эти свойства определяющими?

?
Задача 15.105

Сформулировать и доказать свойства столбцов ортогональной матрицы, аналогичные 15. 104.

?
Задача 15.106

Сформулировать и доказать свойства унитарной матрицы, аналогичные свойствам 15.104,15.10515. 104, 15. 105 ортогональной.

?
Задача 15.107

Доказать, что матрица перестановки ортогональна.

?
Задача 15.108

Доказать, что если AA и BB — матрицы перестановок, то ABAB — также матрица перестановки.

?
Задача 15.109

Известно, что матрица AA диагональна и ортогональна. Что можно сказать о ее диагональных элементах λ2\lambda_{2}?

?
Задача 15.110

Матрица AA диагональна и унитарна. Что можно сказать о ее диагональных элементах λi\lambda_{i}?

?
Задача 15.111

Проверить, является ли данная матрица периодичной, нильпотентной или стохастической; найти период, показатель нильпотентности:

?
(1)

A22\mathbf{A}_{22}. A22=[0110]\mathbf{A}_{22} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(2)

A14\mathbf{A}_{14}. A14=[1010]\mathbf{A}_{14} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(3)

12A12\frac{1}{2} \mathbf{A}_{12}. A12=[1111]\mathbf{A}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(4)

A5\mathbf{A}_{5}. A5=[1−11−1]\mathbf{A}_{5} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right].

(5)

A77\mathbf{A}_{77}. A77=[cos⁡α−sin⁡αsin⁡αcos⁡α]\mathbf{A}_{77} = \left[\begin{smallmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{smallmatrix}\right].

(6)

A243\mathbf{A}_{243}. A243=[100001010]\mathbf{A}_{243} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(7)

A235\mathbf{A}_{235}. A235=[121124−1−2−3]\mathbf{A}_{235} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ -1 & -2 & -3 \end{smallmatrix}\right].

(8)

A237\mathbf{A}_{237}. A237=[−11−23−362−24]\mathbf{A}_{237} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 3 & -3 & 6 \\ 2 & -2 & 4 \end{smallmatrix}\right].

(9)

A236\mathbf{A}_{236}. A236=[−253−2532−5−3]\mathbf{A}_{236} = \left[\begin{smallmatrix} -2 & 5 & 3 \\ -2 & 5 & 3 \\ 2 & -5 & -3 \end{smallmatrix}\right].

(10)

A430\mathbf{A}_{430}. A430=[000−100−1001001000]\mathbf{A}_{430} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(11)

A431\mathbf{A}_{431}. A431=[00−10000110000−100]\mathbf{A}_{431} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(12)

A457\mathbf{A}_{457}. A457=[100−1100−101−1001−10]\mathbf{A}_{457} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(13)

17A434\frac{1}{7} \mathbf{A}_{434}. A434=[1222212222122221]\mathbf{A}_{434} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(14)

A613\mathbf{A}_{613}. A613=[010…00001…00………………000…01000…00]\mathbf{A}_{613} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right].

Задача 15.112

Проверить свойство: нильпотентная матрица всегда вырождена, периодичная — невырождена.

?
Задача 15.113

Проверить свойство: если AA — нильпотентная матрица второго порядка, то A2=OA^{2} = O.

?
Задача 15.114

Проверить свойство: треугольная матрица нильпотентна тогда и только тогда, когда все ее диагональные элементы нулевые.

?
Задача 15.115

Проверить свойство: если матрицы A,BA, B нильпотентны и перестановочны, то A+BA + B и ABAB нильпотентны.

?
Задача 15.116

Проверить свойство: если матрицы AA и BB периодические и перестановочные, то ABAB — периодическая матрица. Выразить какойлибо ее период через периоды матриц A,BA, B.

?
Задача 15.117

Проверить свойство: пусть Am+Am−1+…+E=OA^{m} + A^{m - 1} + \ldots + E = O. Доказать, что AA — периодическая матрица.

?
Задача 15.118

Проверить свойство: всякая матрица перестановки периодична.

?
Задача 15.119

Проверить свойство: пусть матрица AA является одновременно унитарной и эрмитовой. Доказать, что AA периодична.

?
Задача 15.120

Пусть SS — невырожденная матрица и S−1AS=BS^{ - 1} AS = B. Проверить каждое из свойств: периодичность, нильпотентность выполняется для матриц AA и BB одновременно (т. е. если оно выполнено для матрицы AA, то выполнено и для BB, и обратно).

?
Задача 15.121

Пусть матрицы AA и BB неотрицательные. Проверить, что тогда A+B,ABA + B, AB — также неотрицательные матрицы.

?
Задача 15.122

Пусть II — столбец из единиц, и матрица AA неотрицательная. Доказать, что условие AI=IAI = I — необходимое и достаточное условие стохастичности AA.

?
Задача 15.123

Доказать, что если матрицы AA и BB стохастические, то матрица ABAB также стохастическая.

?
Задача 15.124

Пусть матрица AA стохастическая. Существует ли A−1A^{ - 1}? Будет ли A−1A^{ - 1} стохастической, если она существует?

?
Задача 15.125

В каком случае стохастическая матрица является ортогональной?

?
Задача 15.126

Доказать справедливость тождества:

?
(1)

tr⁡(A+B)=tr⁡A+tr⁡B\operatorname {tr}(A + B) = \operatorname {tr} A + \operatorname {tr} B

(2)

tr⁡AB=tr⁡BA\operatorname {tr} AB = \operatorname {tr} BA.

Задача 15.127

Пусть AA — треугольная матрица, mm — натуральное число. Вычислить след матрицы AmA^{m}.

?
Задача 15.128

Пусть AA — произвольная матрица. Вычислить:

?
(1)

tr⁡(ATA)\operatorname {tr}\left(A^{T} A\right)

(2)

tr⁡(AHA)\operatorname {tr}\left(A^{H} A\right)

(3)

Доказать, что если tr⁡(AHA)=0\operatorname {tr}\left(A^{H} A\right) = 0, то A=OA = O.

Задача 15.129

Доказать, что если AA — нильпотентная матрица второго порядка, то tr⁡A=0\operatorname {tr} A = 0.

?
Задача 15.130

Доказать, что не существует матриц AA и BB таких, что AB−BA=EAB - BA = E.

?
Подпараграф
15.5 · Блочные матрицы (15.131-15.141)[11/82%]
Задача 15.131

Пусть AA и BB — блочные матрицы второго порядка. Сформулировать условия, при которых эти матрицы можно перемножить. Доказать, что если существует произведение ABAB, то (AB)□=A□B□(AB)^{\square } = A^{\square } B^{\square }.

?
Задача 15.132

Пусть AA и BB — верхние блочно треугольные матрицы второго порядка и произведение ABAB существует. Получить формулу для вычисления матрицы A□B□A^{\square } B^{\square }.

?
Задача 15.133

Пусть AA — блочная матрица второго порядка, BB — блочная матрица — столбец из двух блоков.

?
(1)

Сформулировать условия, при которых определено произведение ABAB.

(2)

Доказать, что если ABAB существует, то (AB)□=A□B□(AB)^{\square } = A^{\square } B^{\square }.

(3)

Получить формулу для вычисления A□B□A^{\square } B^{\square }.

Задача 15.134

Пусть AA и BB — блочно диагональные матрицы. Сформулировать условия, при которых:

?
(1)

определено произведение ABAB

(2)

(AB)□=A□B□(AB)^{\square } = A^{\square } B^{\square }

(3)

определены произведения ABAB и BABA

(4)

AB=BAAB = BA.

Задача 15.135

Проверить справедливость тождеств (A+B)□=A□+B□,(AB)□=A□B□(A + B)^{\square } = A^{\square } + B^{\square }, (AB)^{\square } = A^{\square } B^{\square } для произвольных блочных матриц.

?
Задача 15.136

Разбивая данные матрицы на блоки, вычислить произведение:

?
(1)

A430A431\mathbf{A}_{430} \mathbf{A}_{431}. A430=[000−100−1001001000],A431=[00−10000110000−100]\mathbf{A}_{430} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{431} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(2)

A432A450\mathbf{A}_{432} \mathbf{A}_{450}. A432=[0−1001000000−10010],A450=[1234012300120001]\mathbf{A}_{432} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{450} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(3)

A450A433\mathbf{A}_{450} \mathbf{A}_{433}. A450=[1234012300120001],A433=[1−21001−21001−20001]\mathbf{A}_{450} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{433} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(4)

A451A452\mathbf{A}_{451} \mathbf{A}_{452}. A451=[2−310−202063−300002],A452=[0001000200031234]\mathbf{A}_{451} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & -3 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 2 & 0 \\ 6 & 3 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{452} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{smallmatrix}\right].

(5)

A436A437\mathbf{A}_{436} \mathbf{A}_{437}. A436=[1111101100100011],A437=[10−1−2−2−10112000−100]\mathbf{A}_{436} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{437} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 \\ -2 & -1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(6)

A530A531\mathbf{A}_{530} \mathbf{A}_{531}. A530=[1255534666001110012200123],A531=[1200034000001110012200123]\mathbf{A}_{530} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 5 & 5 & 5 \\ 3 & 4 & 6 & 6 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{531} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \end{smallmatrix}\right].

Задача 15.137

Найти матрицу (H□)−1\left(H^{\square }\right)^{ - 1}, если HH — блочная матрица:

?
(1)

H=[EAOE]H =\left[\begin{smallmatrix} E & A \\ O & E\end{smallmatrix}\right]

(2)

H=[ABOC]H =\left[\begin{smallmatrix} A & B \\ O & C\end{smallmatrix}\right] (матрицы AA и CC обратимы).

Задача 15.138

Пусть EE — единичная матрица порядка r;Dr; D — произвольная матрица размера r×s;o,b,xr \times s; \mathbf{o}, \mathbf{b}, \mathbf{x} — столбцы. Решить уравнение:

?
(1)

∥ED∥□x=o\left\| ED\right\|^{\square } \mathbf{x} = \mathbf{o}

(2)

∥ED∥□x=b\left\| ED\right\|^{\square } \mathbf{x} = \mathbf{b}.

Задача 15.139

Вычислить кронекеровское произведение матриц:

?
(1)

A17⊗c7\mathbf{A}_{17} \otimes \mathbf{c}_{7}. A17=[3559],c7=[4−2]\mathbf{A}_{17} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{7} = \left[\begin{smallmatrix} 4 \\ -2 \end{smallmatrix}\right].

(2)

c7⊗A17\mathbf{c}_{7} \otimes \mathbf{A}_{17}. c7=[4−2],A17=[3559]\mathbf{c}_{7} = \left[\begin{smallmatrix} 4 \\ -2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{17} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \end{smallmatrix}\right].

(3)

A18⊗c8\mathbf{A}_{18} \otimes \mathbf{c}_{8}. A18=[1234],c8=[−11]\mathbf{A}_{18} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{8} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

(4)

c8⊗A18\mathbf{c}_{8} \otimes \mathbf{A}_{18}. c8=[−11],A18=[1234]\mathbf{c}_{8} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{18} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right].

(5)

A17⊗A18\mathbf{A}_{17} \otimes \mathbf{A}_{18}. A17=[3559],A18=[1234]\mathbf{A}_{17} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{18} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right].

(6)

A18⊗A17\mathbf{A}_{18} \otimes \mathbf{A}_{17}. A18=[1234],A17=[3559]\mathbf{A}_{18} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{17} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \end{smallmatrix}\right].

(7)

A13⊗A19\mathbf{A}_{13} \otimes \mathbf{A}_{19}. A13=[1101],A19=[1112]\mathbf{A}_{13} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{19} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{smallmatrix}\right].

Задача 15.140

Пусть a=∥a1,…,an∥,b=∥b1,…,bm∥T\mathbf{a} = \left\| a_{1}, \ldots , a_{n}\right\| , \mathbf{b} = \left\| b_{1}, \ldots , b_{m}\right\|^{T}. Вычислить a⊗b,b⊗a\mathbf{a} \otimes \mathbf{b}, \mathbf{b} \otimes \mathbf{a} и сравнить с ba.

?
Задача 15.141

Проверить справедливость тождества:

?
(1)

(αA)⊗B=α(A⊗B)(\alpha A) \otimes B = \alpha (A\otimes B)

(2)

(A+B)⊗C=A⊗C+B⊗C(A + B) \otimes C = A\otimes C + B\otimes C

(3)

A⊗(B+C)=A⊗B+A⊗CA\otimes (B + C) = A\otimes B + A\otimes C

(4)

A⊗(B⊗C)=(A⊗B)⊗CA\otimes (B\otimes C) = (A\otimes B) \otimes C

(5)

AB⊗CD=(A⊗C)(B⊗D)AB\otimes CD = (A\otimes C)(B\otimes D)

(6)

(A⊗B)−1=A−1⊗B−1(A\otimes B)^{ - 1} = A^{ - 1} \otimes B^{ - 1}.