Банк задач по математике

Задача 16.1

Дать описание всех матриц ранга 0.

?

Задача 16.2

Дать описание всех матриц ранга 1.

?

Задача 16.3

Возможно ли, чтобы в матрице не было базисного минора?

?

Задача 16.4

Указать какой — нибудь базисный минор и определить ранг матрицы:

?

(1)

$\left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{smallmatrix}\right]$

(2)

$\left[\begin{smallmatrix} 1 & - 1 \\ 2 & - 2\end{smallmatrix}\right]$

(3)

$\left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{smallmatrix}\right]$

(4)

$\left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{smallmatrix}\right]$

(5)

$\left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{smallmatrix}\right]$

(6)

$\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 4\end{smallmatrix}\right]$

(7)

$\left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 & 3 \\ 4 & 2 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 1 & 1 & 1\end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 16.5

Указать базисные строки:

?

(1)

$\left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{smallmatrix}\right]$

(2)

$\left[\begin{smallmatrix} 1 & - 1 \\ 2 & - 2\end{smallmatrix}\right]$

(3)

$\left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{smallmatrix}\right]$

(4)

$\left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{smallmatrix}\right]$

(5)

$\left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{smallmatrix}\right]$

(6)

$\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 4\end{smallmatrix}\right]$

(7)

$\left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 & 3 \\ 4 & 2 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 1 & 1 & 1\end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 16.6

Указать базисные столбцы:

?

(1)

$\left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{smallmatrix}\right]$

(2)

$\left[\begin{smallmatrix} 1 & - 1 \\ 2 & - 2\end{smallmatrix}\right]$

(3)

$\left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{smallmatrix}\right]$

(4)

$\left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{smallmatrix}\right]$

(5)

$\left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{smallmatrix}\right]$

(6)

$\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 4\end{smallmatrix}\right]$

(7)

$\left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 & 3 \\ 4 & 2 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 1 & 1 & 1\end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 16.7

Указать базисный минор, базисные столбцы и базисные строки в квадратной матрице с определителем, отличным от 0. Чему равен ранг такой матрицы?

?

Задача 16.8

Доказать: ранг диагональной матрицы равен числу ее элементов, отличных от нуля.

?

Задача 16.9

Доказать: если в матрице равны нулю все миноры порядка $k$ , то и все миноры порядка $k + 1$ равны нулю.

?

Задача 16.10

Доказать: ранг матрицы не меньше ранга любой ее подматрицы.

?

Задача 16.11

Доказать: приписывание к матрице нулевого столбца не меняет ее ранга.

?

Задача 16.12

Доказать: приписывание к матрице столбца, равного линейной комбинации ее столбцов, не меняет ее ранга.

?

Задача 16.13

Доказать: если столбцы матрицы $B$ являются линейными комбинациями столбцов матрицы $A$ , то $\operatorname {rg} B\leqslant \operatorname {rg} A$ .

?

Задача 16.14

Оценить ранг матрицы $\left\| AB\right\|^{\square }$ через ранги матриц $A$ и $B$ .

?

Задача 16.15

Пусть матрицы $A$ и $B$ имеют одинаковую высоту, и ранг $A$ не меняется после приписывания к ней любого из столбцов $B$ . Доказать, что $\operatorname {rg}\left\| AB\right\|^{\square } = \operatorname {rg} A$ .

?

Задача 16.16

(1)(2)(3)(4)

Доказать следующие свойства ранга матрицы:

?

(1)

Умножение какой — либо строки матрицы на число, отличное от нуля, не меняет ее ранга.

(2)

Перестановка строк матрицы не меняет ее ранга.

(3)

Прибавление к какой — либо строке матрицы линейной комбинации остальных строк не меняет ее ранга.

(4)

Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях ее столбцов.

Задача 16.17

Описать способ вычисления ранга матрицы с использованием элементарных преобразований ее строк и столбцов.

?

Задача 16.18

Вычислить ранг матрицы:

?

(1)

$\left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 \end{smallmatrix}\right]$

(2)

$\left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right]$

(3)

$\mathbf{A}_{21}$ . $\mathbf{A}_{21} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{smallmatrix}\right]$ .

(4)

$\mathbf{A}_{20}$ . $\mathbf{A}_{20} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

(5)

$\mathbf{A}_{13}$ . $\mathbf{A}_{13} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(6)

$\mathbf{A}_{12}$ . $\mathbf{A}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(7)

$\mathbf{A}_{7}$ . $\mathbf{A}_{7} = \left[\begin{smallmatrix} 1+\sqrt{2} & 2-\sqrt{5} \\ 2+\sqrt{5} & 1-\sqrt{2} \end{smallmatrix}\right]$ .

(8)

$\mathbf{A}_{81}$ . $\mathbf{A}_{81} = \left[\begin{smallmatrix} 1+i \sqrt{2} & 3 \\ 1 & 1-i \sqrt{2} \end{smallmatrix}\right]$ .

(9)

$\mathbf{A}_{111}$ . $\mathbf{A}_{111} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{smallmatrix}\right]$ .

(10)

$\mathbf{A}_{202}$ . $\mathbf{A}_{202} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ 2 & -2 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(11)

$\mathbf{A}_{205}$ . $\mathbf{A}_{205} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{smallmatrix}\right]$ .

(12)

$\mathbf{A}_{233}$ . $\mathbf{A}_{233} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & -3 & 6 \\ 2 & -2 & 4 \end{smallmatrix}\right]$ .

(13)

$\mathbf{A}_{214}$ . $\mathbf{A}_{214} = \left[\begin{smallmatrix} 13 & 16 & 16 \\ -5 & -7 & -6 \\ -6 & -8 & -7 \end{smallmatrix}\right]$ .

(14)

$\mathbf{A}_{232}$ . $\mathbf{A}_{232} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(15)

$\mathbf{A}_{368}$ . $\mathbf{A}_{368} = \left[\begin{smallmatrix} 1+i \sqrt{2} & i-\sqrt{2} & 1 \\ 1+i \sqrt{3} & i-\sqrt{3} & 1 \\ 1+i \sqrt{4} & i-\sqrt{4} & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(16)

$\mathbf{A}_{396}$ . $\mathbf{A}_{396} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & 6 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

(17)

$\mathbf{A}_{408}$ . $\mathbf{A}_{408} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 4 & 2 \\ -1 & -2 & -1 \\ 1 & 5 & 3 \\ 8 & 1 & -2 \\ 2 & 7 & 4 \end{smallmatrix}\right]$ .

(18)

$\mathbf{A}_{452}$ . $\mathbf{A}_{452} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{smallmatrix}\right]$ .

(19)

$\mathbf{A}_{435}$ . $\mathbf{A}_{435} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 9 & 1 \\ 0 & 0 & 9 & 2 \\ 0 & 0 & 9 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{smallmatrix}\right]$ .

(20)

$\mathbf{A}_{453}$ . $\mathbf{A}_{453} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 3 & 6 \\ 4 & 5 & 6 & 7 \end{smallmatrix}\right]$ .

(21)

$\mathbf{A}_{444}$ . $\mathbf{A}_{444} = \left[\begin{smallmatrix} 5 & 4 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 1 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & -2 & 2 \end{smallmatrix}\right]$ .

(22)

$\mathbf{A}_{454}$ . $\mathbf{A}_{454} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 4 & 6 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ -3 & -6 & -9 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(23)

$\mathbf{A}_{443}$ . $\mathbf{A}_{443} = \left[\begin{smallmatrix} 25 & 31 & 17 & 43 \\ 75 & 94 & 53 & 132 \\ 75 & 94 & 54 & 134 \\ 25 & 32 & 20 & 48 \end{smallmatrix}\right]$ .

(24)

$\mathbf{A}_{587}$ . $\mathbf{A}_{587} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 2 & 5 & 3 \\ 2 & 3 & -5 & 26 & -4 \\ 3 & -4 & 8 & -9 & 1 \\ -4 & 1 & -3 & -12 & 2 \end{smallmatrix}\right]$ .

(25)

$\mathbf{A}_{533}$ . $\mathbf{A}_{533} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 10 & 100 & 10^{3} & 10^{4} \\ 0,1 & 2 & 30 & 400 & 5000 \\ 0 & 0,1 & 3 & 60 & 800 \\ 0 & 0 & 0,1 & 4 & 90 \\ 0 & 0 & 0 & 0,1 & 5 \end{smallmatrix}\right]$ .

(26)

$\mathbf{A}_{544}$ . $\mathbf{A}_{544} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 4 \end{smallmatrix}\right]$ .

(27)

$\mathbf{A}_{592}$ . $\mathbf{A}_{592} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 4 & 0 & 1 & 5 \\ 2 & -3 & -5 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & 2 & 2 & 1 & 5 \end{smallmatrix}\right]$ .

(28)

$\mathbf{A}_{632}$ . $\mathbf{A}_{632} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & \ldots & 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 0 & \ldots & 1 & 1 & 1 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ -1 & -1 & -1 & \ldots & -1 & -1 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

(29)

$\mathbf{A}_{634}$ . $\mathbf{A}_{634} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 16.19

Вычислить ранг матрицы при всевозможных значениях параметра:

?

(1)

$\mathbf{A}_{78}$ . $\mathbf{A}_{78} = \left[\begin{smallmatrix} \varepsilon & 1 \\ -1 & \varepsilon \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$\mathbf{A}_{367}$ . $\mathbf{A}_{367} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 6 & 9 \\ 4 & 8 & 12 \\ 2 & 7 & \lambda \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$\mathbf{A}_{365}$ . $\mathbf{A}_{365} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & \alpha \\ 1 & \alpha^{2} & \alpha^{2} \end{smallmatrix}\right]$ .

(4)

$\mathbf{A}_{363}$ . $\mathbf{A}_{363} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & \omega^{2} \\ 1 & \omega^{2} & \omega \end{smallmatrix}\right]$ .

(5)

$\mathbf{A}_{508}$ . $\mathbf{A}_{508} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & \lambda & -1 & 2 \\ 2 & -1 & \lambda & 5 \\ 1 & 10 & -6 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(6)

$\mathbf{A}_{629}$ . $\mathbf{A}_{629} = \left[\begin{smallmatrix} 1-\lambda & 2 & 3 & \ldots & n \\ 1 & 2-\lambda & 3 & \ldots & n \\ \ldots \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 1 & 2 & 3 & \ldots & n-\lambda \end{smallmatrix}\right]$ .

(7)

$\mathbf{A}_{645}$ . $\mathbf{A}_{645} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\ 1 & \varepsilon & \varepsilon^2 & \ldots & \varepsilon^{n-1} \\ 1 & \varepsilon^2 & \varepsilon^4 & \ldots & \varepsilon^{2(n-1)} \\ \ldots \ldots \ldots \ldots & \ldots \ldots & \ldots \ldots & \ldots \ldots \\ 1 & \varepsilon^{n-1} & \varepsilon^{2(n-1)} & \ldots & \varepsilon^{(n-1)^2} \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 16.20

(1)(2)(3)

Вычислить ранг матрицы $A - \lambda E$ при всех значениях параметра $\lambda$ , если:

?

(1)

$A = \mathbf{A}_{47}$ . $\mathbf{A}_{47} = \left[\begin{smallmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 8 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$A = \mathbf{A}_{211}$ . $\mathbf{A}_{211} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 2 & 6 & 4 \\ -2 & -3 & -1 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$A = \mathbf{A}_{431}$ . $\mathbf{A}_{431} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 16.21

Доказать, что если $\operatorname {det} A = 0$ , то строки матрицы $A$ , так же как и ее столбцы, линейно зависимы.

?

Задача 16.22

Матрица $A$ имеет порядок $n$ и содержит нулевую подматрицу порядка $n - 1$ . Оценить ранг $A$ .

?

Задача 16.23

Матрица $A$ имеет порядок $n$ и содержит нулевую подматрицу порядка $s$ . Оценить ранг $A$ .

?

Задача 16.24

Матрица $A$ имеет порядок $n$ и содержит подматрицу порядка $n - 1$ , имеющую ранг 1. Оценить ранг $A$ .

?

Задача 16.25

(1)(2)

?

(1)

Оценить ранг произведения двух матриц через ранги сомножителей.

(2)

Привести примеры, когда выполнены соотношения: $\operatorname {rg} AB < \operatorname {rg} A, \quad \operatorname {rg} AB < \operatorname {rg} B, \quad \operatorname {rg} AB < \min (\operatorname {rg} A, \operatorname {rg} B), \quad \operatorname {rg} AB = \operatorname {rg} A, \quad \operatorname {rg} AB = \operatorname {rg} B$ .

Задача 16.26

(1)(2)

?

(1)

Пусть $\mathbf{a}$ — строка, b — столбец. Вычислить ранг матрицы ba

(2)

(р). Пусть $\operatorname {rg} A = 1$ . Доказать, что матрица $A$ равна произведению некоторого столбца на некоторую строку.

Задача 16.27

Пусть $A, B, C$ — матрицы, $\operatorname {det} A \neq 0$ и определены произведения $AB, CA$ . Доказать, что $\operatorname {rg} AB = \operatorname {rg} B, \operatorname {rg} CA = \operatorname {rg} C$ . Может ли быть выполнено какое — либо из этих равенств, если $\operatorname {det} A = 0$ ?

?

Задача 16.28

Доказать, что если $\operatorname {rg} A = r$ , то минор, стоящий на пересечении $r$ линейно независимых строк и $r$ линейно независимых столбцов матрицы $A$ , отличен от 0.

?

Задача 16.29

Пусть матрица $A$ состоит из $r$ линейно независимых столбцов, $B$ — из $r$ линейно независимых строк. Чему равен ранг $AB$ ?

?

Задача 16.30

Матрицы $A$ и $B$ имеют размеры соответственно $m \times r$ и $r \times n$ , и $\operatorname {rg} AB = r$ . Найти ранги матриц $A$ и $B$ .

?

Задача 16.31

(1)(2)(3)

Разложение матрицы $A$ в произведение $A = BC$ называется скелетным, если $\operatorname {rg} A = \operatorname {rg} B = \operatorname {rg} C$ и матрицы $B$ и $C$ имеют полный ранг (т. е. ранг, равный одному из размеров матрицы)

?

(1)

Доказать, что всякую матрицу $A$ можно представить как произведение матрицы $M$ , состоящей из базисных строк $A$ , на некоторую матрицу $K$ (скелетное разложение матрицы по строкам).

(2)

Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для скелетного разложения матрицы по столбцам.

(3)

Как связаны между собой различные скелетные разложения одной матрицы?

Задача 16.32

Найти какие — нибудь скелетные разложения (см. задачу 1631) по строкам и столбцам для следующих матриц:

?

(1)

$\mathbf{A}_{14}$ . $\mathbf{A}_{14} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

(2)

$\mathbf{A}_{231}$ . $\mathbf{A}_{231} = \left[\begin{smallmatrix} 8 & -12 & 0 \\ 6 & -9 & 0 \\ 2 & -3 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

(3)

$\mathbf{A}_{251}$ . $\mathbf{A}_{251} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \end{smallmatrix}\right]$ .

(4)

$\mathbf{A}_{403}$ . $\mathbf{A}_{403} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 4 & 7 & 5 \\ -1 & -2 & -3 \\ 2 & 5 & 13 \end{smallmatrix}\right]$ .

(5)

$\mathbf{A}_{454}$ . $\mathbf{A}_{454} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 4 & 6 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ -3 & -6 & -9 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 16.33

Доказать, что любую матрицу ранга $r$ можно представить в виде суммы $r$ матриц ранга 1.

?

Задача 16.34

Указать, какие из выписанных ниже соотношений возможны. Какие из них выполнены для произвольной пары матриц одинаковых размеров?

?

(1)

$\operatorname {rg}(A + B) = \operatorname {rg} A$

(2)

$\operatorname {rg}(A + B) = \max (\operatorname {rg} A, \operatorname {rg} B)$

(3)

$\operatorname {rg}(A + B) = \operatorname {rg} A + \operatorname {rg} B$

(4)

$\operatorname {rg}(A + B) < \min (\operatorname {rg} A, \operatorname {rg} B)$

(5)

$\operatorname {rg}(A + B) < \operatorname {rg} A + \operatorname {rg} B$

(6)

$\operatorname {rg}(A + B) \leqslant \operatorname {rg} A + \operatorname {rg} B$ .

Задача 16.35

Пусть матрицы $A$ и $B$ имеют размеры соответственно $m \times n$ и $n \times p$ , и пусть $AB = O$ . Доказать, что $\operatorname {rg} A + \operatorname {rg} B \leqslant n$ .

?

Задача 16.36

Доказать, что

\operatorname {rg}\left[\begin{smallmatrix} \sin (a_1 + b_1) & \sin (a_1 + b_2) & \cdots & \sin (a_1 + b_n) \\ \sin (a_2 + b_1) & \sin (a_2 + b_2) & \cdots & \sin (a_2 + b_n) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \sin (a_n + b_1) & \sin (a_n + b_2) & \cdots & \sin (a_n + b_n) \\ \end{smallmatrix}\right] \leqslant 2

?

Задача 16.37

Доказать, что

\operatorname {rg}\left[\begin{smallmatrix} A & O \\ O & B\end{smallmatrix}\right]^{\square } = \operatorname {rg} A + \operatorname {rg} B.

?

Задача 16.38

Доказать, что

\operatorname {rg}\left[\begin{smallmatrix} A & C \\ O & B\end{smallmatrix}\right]^{\square } \geqslant \operatorname {rg} A + \operatorname {rg} B.

?

Задача 16.39

Пусть $A$ — квадратная матрица. Доказать, что

\operatorname {rg}\left[\begin{smallmatrix} A & A^{2} \\ A^{3} & A^{4} \end{smallmatrix}\right]^{\square } = \operatorname {rg} A.

?

Задача 16.40

Пусть $E$ — единичная, $A, B$ — произвольные квадратные матрицы порядка $n$ . Доказать, что

\mathrm{rg}\left[\begin{smallmatrix} E & B \\ A & AB\end{smallmatrix}\right]^{\square } = n.

?

Задача 16.41

Доказать, что

\operatorname {rg}\left[\begin{smallmatrix} A & B \\ 3A & - B\end{smallmatrix}\right]^{\square } = \operatorname {rg} A + \operatorname {rg} B.

?

Задача 16.42

Пусть $A$ невырожденная квадратная матрица порядка $n$ , а матрицы $B, C$ и $D$ — прямоугольные. Найти необходимое и достаточное условие для того, чтобы

\operatorname {rg}\left[\begin{smallmatrix} A & B \\ C & D\end{smallmatrix}\right]^{\square } = n.

?