17

Системы линейных уравнений с определителем, отличным от 0

[6/83%]
Показать
LaTeX
Задача 17.1

Выписать расширенную матрицу данной системы уравнений. Решить систему:

?
(1)

2x1+x2=102x_{1} + x_{2} = 10, x1+x2=17x_{1} + x_{2} = 17

(2)

3x+5y=23x + 5y = 2, 5x+9y=45x + 9y = 4

(3)

2x1+x2−x3=22x_{1} + x_{2} - x_{3} = 2, 3x1+x2−2x3=33x_{1} + x_{2} - 2x_{3} = 3, x1+x3=3x_{1} + x_{3} = 3

(4)

y+3z=−1y + 3z = - 1, 2x+3y+5z=32x + 3y + 5z = 3, 3x+5y+7z=63x + 5y + 7z = 6

(5)

3x1+4x2+2x3+x4=163x_{1} + 4x_{2} + 2x_{3} + x_{4} = 16, x1+7x2+x3+x4=23x_{1} + 7x_{2} + x_{3} + x_{4} = 23, 2x1+x2+3x3+5x4=102x_{1} + x_{2} + 3x_{3} + 5x_{4} = 10, 4x1−3x2+4x3+6x4=14x_{1} - 3x_{2} + 4x_{3} + 6x_{4} = 1

(6)

2x+3y+4z+5t=302x + 3y + 4z + 5t = 30, 3x+3y+4z+5t=343x + 3y + 4z + 5t = 34, 4x+4y+4z+5t=414x + 4y + 4z + 5t = 41, x+y+z+t=10x + y + z + t = 10 §

(7)

x1+x2+x3+x4+x5=1x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} = 1, x1+x3+x4+x5=−3x_{1} + x_{3} + x_{4} + x_{5} = - 3, x1+x2+x3+x4=0x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0, x1+x2+x3+x5=3x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{5} = 3, x1+x2+x4+x5=−2x_{1} + x_{2} + x_{4} + x_{5} = - 2

(8)

x1+x2=3x_{1} + x_{2} = 3, x1+x3=4x_{1} + x_{3} = 4, x1+x4=−2x_{1} + x_{4} = - 2, x1+x5=−1x_{1} + x_{5} = - 1, x1+x6=0x_{1} + x_{6} = 0, x2+x3+x4+x5+x6=−1x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} + x_{6} = - 1.

Задача 17.2

Выписать систему линейных уравнений, соответствуюшую данной расширенной матрице. Решить систему, пользуясь правилом Крамера:

?
(1)

∥A40∣c7∥\left\| \mathbf{A}_{40} \mid \mathbf{c}_{7}\right\|. A40=[4−2−31],c7=[4−2]\mathbf{A}_{40} = \left[\begin{smallmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{7} = \left[\begin{smallmatrix} 4 \\ -2 \end{smallmatrix}\right].

(2)

∥A6∣c9∥\left\| \mathbf{A}_{6} \mid \mathbf{c}_{9}\right\|. A6=[3457],c9=[68]\mathbf{A}_{6} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 7 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{9} = \left[\begin{smallmatrix} 6 \\ 8 \end{smallmatrix}\right].

(3)

∥A202∣c54∥\left\| \mathbf{A}_{202} \mid \mathbf{c}_{54}\right\|. A202=[12221−22−21],c54=[900]\mathbf{A}_{202} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ 2 & -2 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{54} = \left[\begin{smallmatrix} 9 \\ 0 \\ 0 \end{smallmatrix}\right].

(4)

∥A209∣c55∥\left\| \mathbf{A}_{209} \mid \mathbf{c}_{55}\right\|. A209=[1−3−1−27232−4],c55=[−4109]\mathbf{A}_{209} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -3 & -1 \\ -2 & 7 & 2 \\ 3 & 2 & -4 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{55} = \left[\begin{smallmatrix} -4 \\ 10 \\ 9 \end{smallmatrix}\right].

(5)

∥A204∣c56∥\left\| \mathbf{A}_{204} \mid \mathbf{c}_{56}\right\|. A204=[−231362121],c56=[2114]\mathbf{A}_{204} = \left[\begin{smallmatrix} -2 & 3 & 1 \\ 3 & 6 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{56} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 11 \\ 4 \end{smallmatrix}\right].

(6)

∥A203∣c53∥\left\| \mathbf{A}_{203} \mid \mathbf{c}_{53}\right\|. A203=[22−12−12−122],c53=[711]\mathbf{A}_{203} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{53} = \left[\begin{smallmatrix} 7 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

(7)

∥A203∣o∥\left\| \mathbf{A}_{203} \mid \mathbf{o}\right\|. A203=[22−12−12−122]\mathbf{A}_{203} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \end{smallmatrix}\right].

Задача 17.3

Доказать утверждения:

?
(1)

Если уравнения системы (Б) являются линейными комбинациями уравнений совместной линейной системы (A), то множество решений системы (Б) содержит множество решений (A).

(2)

Присоединение к совместной системе линейных уравнений линейных комбинаций из ее уравнений заменяет систему на эквивалентную.

(3)

При элементарных преобразованиях строк расширенной матрицы совместная система линейных уравнений заменяется на эквивалентную.

Задача 17.4

Как изменяются решения системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях столбцов основной матрицы?

?
Задача 17.5

Какую систему уравнений простейшего вида можно получить, применяя алгоритм Гаусса к строкам расширенной матрицы данной системы nn линейных уравнений с nn неизвестными, если основная матрица невырождена?

?
Задача 17.6

Составить систему линейных уравнений по данной расширенной матрице. Решить систему:

?
(1)

∥A18∣c10∥\left\| \mathbf{A}_{18} \mid \mathbf{c}_{10}\right\|. A18=[1234],c10=[−46]\mathbf{A}_{18} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{10} = \left[\begin{smallmatrix} -4 \\ 6 \end{smallmatrix}\right].

(2)

∥A8∣c12∥\left\| \mathbf{A}_{8} \mid \mathbf{c}_{12}\right\|. A8=[13574136472842328523],c12=[11]\mathbf{A}_{8} = \left[\begin{smallmatrix} 13574 & 13647 \\ 28423 & 28523 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

(3)

∥A10∣c12∥\left\| \mathbf{A}_{10} \mid \mathbf{c}_{12}\right\|. A10=[2513],c12=[11]\mathbf{A}_{10} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{12} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

(4)

∥A216∣c59∥\left\| \mathbf{A}_{216} \mid \mathbf{c}_{59}\right\|. A216=[12−123147−2],c59=[31014]\mathbf{A}_{216} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 4 & 7 & -2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{59} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 10 \\ 14 \end{smallmatrix}\right].

(5)

∥A217∣c60∥\left\| \mathbf{A}_{217} \mid \mathbf{c}_{60}\right\|. A217=[2576345−2−3],c60=[056]\mathbf{A}_{217} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 5 & 7 \\ 6 & 3 & 4 \\ 5 & -2 & -3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{60} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{smallmatrix}\right].

(6)

∥A218∣c61∥\left\| \mathbf{A}_{218} \mid \mathbf{c}_{61}\right\|. A218=[4201351−23],c61=[8−3−9]\mathbf{A}_{218} = \left[\begin{smallmatrix} 4 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{61} = \left[\begin{smallmatrix} 8 \\ -3 \\ -9 \end{smallmatrix}\right].

(7)

∥A219∣c98∥\left\| \mathbf{A}_{219} \mid \mathbf{c}_{98}\right\|. A219=[234438321],c98=[124]\mathbf{A}_{219} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 8 \\ 3 & 2 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{98} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{smallmatrix}\right].

(8)

∥A220∣c63∥\left\| \mathbf{A}_{220} \mid \mathbf{c}_{63}\right\|. A220=[153394−2−7−3],c63=[12−2]\mathbf{A}_{220} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 5 & 3 \\ 3 & 9 & 4 \\ -2 & -7 & -3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{63} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{smallmatrix}\right].

(9)

∥A446∣c154∥\left\| \mathbf{A}_{446} \mid \mathbf{c}_{154}\right\|. A446=[23414386321522−31],c154=[6135−2]\mathbf{A}_{446} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 3 & 4 & 1 \\ 4 & 3 & 8 & 6 \\ 3 & 2 & 1 & 5 \\ 2 & 2 & -3 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{154} = \left[\begin{smallmatrix} 6 \\ 13 \\ 5 \\ -2 \end{smallmatrix}\right].

(10)

∥A447∣c155∥\left\| \mathbf{A}_{447} \mid \mathbf{c}_{155}\right\|. A447=[−12011−12001−12201−1],c155=[300−1]\mathbf{A}_{447} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 & -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{155} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{smallmatrix}\right].

(11)

∥A448∣c185∥\left\| \mathbf{A}_{448} \mid \mathbf{c}_{185}\right\|. A448=[1−134−140−1300−34−1−31],c185=[1100]\mathbf{A}_{448} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 & 3 & 4 \\ -1 & 4 & 0 & -1 \\ 3 & 0 & 0 & -3 \\ 4 & -1 & -3 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{185} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{smallmatrix}\right].

(12)

∥A449∣c157∥\left\| \mathbf{A}_{449} \mid \mathbf{c}_{157}\right\|. A449=[−12−4−2−2−2−9−74−90−5−2758],c157=[6110−7]\mathbf{A}_{449} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & 2 & -4 & -2 \\ -2 & -2 & -9 & -7 \\ 4 & -9 & 0 & -5 \\ -2 & 7 & 5 & 8 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{157} = \left[\begin{smallmatrix} 6 \\ 1 \\ 10 \\ -7 \end{smallmatrix}\right].

(13)

∥A442∣c158∥\left\| \mathbf{A}_{442} \mid \mathbf{c}_{158}\right\|. A442=[33−4−3061154212332],c158=[9191813]\mathbf{A}_{442} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 3 & -4 & -3 \\ 0 & 6 & 1 & 1 \\ 5 & 4 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 3 & 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{158} = \left[\begin{smallmatrix} 9 \\ 19 \\ 18 \\ 13 \end{smallmatrix}\right].

(14)

∥A442∣c159∥\left\| \mathbf{A}_{442} \mid \mathbf{c}_{159}\right\|. A442=[33−4−3061154212332],c159=[83−11−9]\mathbf{A}_{442} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 3 & -4 & -3 \\ 0 & 6 & 1 & 1 \\ 5 & 4 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 3 & 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{159} = \left[\begin{smallmatrix} 8 \\ 3 \\ -11 \\ -9 \end{smallmatrix}\right].

(15)

∥A439∣c160∥\left\| \mathbf{A}_{439} \mid \mathbf{c}_{160}\right\|. A439=[0111−1011−1−101−1−1−10],c160=[4530]\mathbf{A}_{439} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{160} = \left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \\ 0 \end{smallmatrix}\right].

(16)

∥A537∣c232∥\left\| \mathbf{A}_{537} \mid \mathbf{c}_{232}\right\|. A537=[3555553555553555553555553],c232=[220−2−2]\mathbf{A}_{537} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 5 & 5 & 5 & 5 \\ 5 & 3 & 5 & 5 & 5 \\ 5 & 5 & 3 & 5 & 5 \\ 5 & 5 & 5 & 3 & 5 \\ 5 & 5 & 5 & 5 & 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{232} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \\ -2 \\ -2 \end{smallmatrix}\right].

(17)

∥A538∣c238∥\left\| \mathbf{A}_{538} \mid \mathbf{c}_{238}\right\|. A538=[614187−7722145103184−1121−89−7825],c238=[4−16−121]\mathbf{A}_{538} = \left[\begin{smallmatrix} 6 & 1 & 4 & 1 & 8 \\ 7 & -7 & 7 & 2 & 2 \\ 14 & 5 & 10 & 3 & 18 \\ 4 & -11 & 2 & 1 & -8 \\ 9 & -7 & 8 & 2 & 5 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{238} = \left[\begin{smallmatrix} 4 \\ -1 \\ 6 \\ -12 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

(18)

∥A539∣c233∥\left\| \mathbf{A}_{539} \mid \mathbf{c}_{233}\right\|. A539=[1−100001−100001−100001−111111],c233=[4−1−53−1]\mathbf{A}_{539} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{233} = \left[\begin{smallmatrix} 4 \\ -1 \\ -5 \\ 3 \\ -1 \end{smallmatrix}\right].

(19)

∥A540∣c234∥\left\| \mathbf{A}_{540} \mid \mathbf{c}_{234}\right\|. A540=[41−149172−2178230−2−14410122722−1100],c234=[10846271]\mathbf{A}_{540} = \left[\begin{smallmatrix} 4 & 1 & -1 & 4 & 9 \\ 17 & 2 & -2 & 17 & 82 \\ 3 & 0 & -2 & -1 & 4 \\ 4 & 1 & 0 & 12 & 27 \\ 2 & 2 & -1 & 10 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{234} = \left[\begin{smallmatrix} 10 \\ 84 \\ 6 \\ 27 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

(20)

∥A541∣c235∥\left\| \mathbf{A}_{541} \mid \mathbf{c}_{235}\right\|. A541=[43−4222−1−3−423112−11234−1−11−1−23],c235=[−283−13]\mathbf{A}_{541} = \left[\begin{smallmatrix} 4 & 3 & -4 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & -3 & -4 & 2 \\ 3 & 1 & 1 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & -2 & 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{235} = \left[\begin{smallmatrix} -2 \\ 8 \\ 3 \\ -1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right].

(21)

∥A542∣c236∥\left\| \mathbf{A}_{542} \mid \mathbf{c}_{236}\right\|. A542=[1222221222221222221222221],c236=[−2−1012]\mathbf{A}_{542} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 2 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{236} = \left[\begin{smallmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{smallmatrix}\right].

(22)

∥A542∣c237∥\left\| \mathbf{A}_{542} \mid \mathbf{c}_{237}\right\|. A542=[1222221222221222221222221],c237=[210−1−2]\mathbf{A}_{542} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 2 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{237} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \\ -2 \end{smallmatrix}\right].

(23)

∥A543∣c268∥\left\| \mathbf{A}_{543} \mid \mathbf{c}_{268}\right\|. A543=[2100012100012100012100012],c268=[04640]\mathbf{A}_{543} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{268} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 4 \\ 6 \\ 4 \\ 0 \end{smallmatrix}\right].