20

Примеры пространств. Базис и размерность

[34/91%]
Показать
LaTeX
Задача 20.1

Можно ли подходящим введением операций сложения и умножения на число сделать линейным пространством:

?
(1)

пустое множество

(2)

множество из одного элемента

(3)

множество из двух элементов?

Задача 20.2

Доказать, что:

?
(1)

если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то она линейно зависима

(2)

если система векторов линейно независима, то любая ее подсистема также линейно независима

(3)

если векторы a1,…,aka_{1}, \ldots , a_{k} линейно независимы, а векторы a0,a1,…,aka_{0}, a_{1}, \ldots , a_{k} линейно зависимы, то вектор a0a_{0} является линейной комбинацией векторов a1,…,aka_{1}, \ldots , a_{k}.

Задача 20.3

Выяснить, является ли линейным подпространством данное множество векторов в nn-мерном пространстве, и если является, то найти его размерность:

?
(1)

множество векторов, все координаты которых равны между собой

(2)

множество векторов, первая координата которых равна 0

(3)

множество векторов, сумма координат которых равна 0

(4)

множество векторов, сумма координат которых равна 1.

Задача 20.4

Выяснить, является ли линейным подпространством данное множество векторов геометрического пространства, и если является, определить его размерность:

?
(1)

множество векторов плоскости, параллельных данной прямой

(2)

множество векторов трехмерного пространства, перпендикулярных данной прямой

(3)

множество векторов плоскости, по модулю не превосходящих 1

(4)

множество векторов плоскости, образующцих угол α\alpha с данной прямой (0∘⩽α⩽90∘)\left(0^{\circ } \leqslant \alpha \leqslant 90^{\circ }\right).

Задача 20.5

Доказать, что множество матриц размера m×nm \times n образует линейное пространство относительно обычных операций сложения матриц и умножения матрицы на число. Найти размерность и базис этого пространства Rm×n\mathcal{R}_{m \times n}.

?
Задача 20.6

Выяснить, является ли данное множество квадратных матриц порядка nn, линейным подпространством в пространстве всех квадратных матриц порядка nn, и если является, то найти его размерность:

?
(1)

множество матриц с нулевой первой строкой

(2)

множество диагональных матриц

(3)

множество верхних треугольных матриц

(4)

множество симметрических матриц

(5)

множество кососимметрических матриц

(6)

множество вырожденных матриц.

Задача 20.7

Выяснить, образует ли данное множество функций на произвольном отрезке [a,b]\left[a, b\right] линейное пространство относительно обычных операций сложения и умножения на число:

?
(1)

множество функций, непрерывных на [a,b]\left[a, b\right]

(2)

множество функций, дифференцируемых на [a,b]\left[a, b\right]

(3)

множество функций, интегрируемых по Риману на [a,b]\left[a, b\right]

(4)

множество функций, ограниченных на [a,b]\left[a, b\right]

(5)

множество функций таких, что sup⁡∣f(x)∣⩽1\sup \left|f(x)\right| \leqslant 1; [a,b]\left[a, b\right]

(6)

множество функций, неотрицательных на [a,b]\left[a, b\right]

(7)

множество функций таких, что f(a)=0f(a) = 0

(8)

множество функций таких, что f(a)=1f(a) = 1

(9)

множество функций таких, что lim⁡x→a+0f(x)=∞\lim_{x \rightarrow a + 0} f(x) = \infty

(10)

множество функций, монотонно возрастающих на [a,b]\left[a, b\right]

(11)

множество функций, монотонных на [a,b]\left[a, b\right].

Задача 20.8

Доказать, что при любом натуральном nn данное множество функций образует конечномерное линейное пространство; найти размерность и указать базис этого пространства:

?
(1)

множество многочленов степени не выше nn (обозначается P(n)\mathcal{P}^{(n)})

(2)

множество четных многочленов степени не выше nn

(3)

множество нечетных многочленов степени не выше nn

(4)

множество тригонометрических многочленов порядка не выше nn, т. е. множество функций вида f(t)=a0+a1cos⁡t+b1sin⁡t+…+ancos⁡nt+bnsin⁡ntf(t) = a_{0} + a_{1} \cos t + b_{1} \sin t + \ldots + a_{n} \cos nt + b_{n} \sin nt

(5)

множество четных тригонометрических многочленов порядка не выше nn

(6)

множество нечетных тригонометрических многочленов порядка не выше nn

(7)

множество функций вида f(t)=eαt(a0+a1cos⁡t++b1sin⁡t+…+ancos⁡nt+bnsin⁡nt)f(t) = e^{\alpha t}\left(a_{0} + a_{1} \cos t + + b_{1} \sin t + \ldots + a_{n} \cos nt + b_{n} \sin nt\right), где α\alpha — фиксированное действительное число.

Задача 20.9

Доказать, что данное множество функций образует бесконечномерное линейное пространство:

?
(1)

множество всех многочленов

(2)

множество всех тригонометрических многочленов

(3)

множество функций, непрерывных на некотором отрезке.

Задача 20.10

Найти линейную комбинацию столбцов:

?
(1)

3c1−13c23\mathbf{c}_{1} - \frac{1}{3} \mathbf{c}_{2}. c1=[−3],c2=[6]\mathbf{c}_{1} = \left[\begin{smallmatrix} -3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{2} = \left[\begin{smallmatrix} 6 \end{smallmatrix}\right].

(2)

−c29+c33+2c31- \mathbf{c}_{29} + \mathbf{c}_{33} + 2\mathbf{c}_{31}. c29=[32],c33=[21],c31=[1−1]\mathbf{c}_{29} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{33} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{31} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -1 \end{smallmatrix}\right].

(3)

12c143−12c138\frac{1}{2} \mathbf{c}_{143} - \frac{1}{2} \mathbf{c}_{138}. c143=[112],c138=[7012]\mathbf{c}_{143} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{138} = \left[\begin{smallmatrix} 7 \\ 0 \\ 12 \end{smallmatrix}\right].

(4)

c206−3c198+2c199\mathbf{c}_{206} - 3\mathbf{c}_{198} + 2\mathbf{c}_{199}. c206=[2233],c198=[1113],c199=[3−572]\mathbf{c}_{206} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 2 \\ 3 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{198} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{199} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ -5 \\ 7 \\ 2 \end{smallmatrix}\right].

Задача 20.11

Найти линейную комбинацию матриц 13A215−12A252+A253−A254\frac{1}{3} \mathbf{A}_{215} - \frac{1}{2} \mathbf{A}_{252} + \mathbf{A}_{253} - \mathbf{A}_{254}. A215=[06163−31−3−3],A252=[0−1210−2−220],A253=[011−10−1−110],A254=[035−302−5−20]\mathbf{A}_{215} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 6 & 1 \\ 6 & 3 & -3 \\ 1 & -3 & -3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{252} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -2 \\ -2 & 2 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{253} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{254} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 3 & 5 \\ -3 & 0 & 2 \\ -5 & -2 & 0 \end{smallmatrix}\right].

?
Задача 20.12

Найти столбец x\mathbf{x} из уравнения:

?
(1)

c28+c29−2x=c32\mathbf{c}_{28} + \mathbf{c}_{29} - 2\mathrm{x} = \mathbf{c}_{32}. c28=[−16],c29=[32],c32=[2−2]\mathbf{c}_{28} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 6 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{29} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{32} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ -2 \end{smallmatrix}\right].

(2)

c141+x2−c146+x3=c142\frac{\mathbf{c}_{141} + \mathrm{x}}{2} - \frac{\mathbf{c}_{146} + \mathrm{x}}{3} = \mathbf{c}_{142}. c141=[211],c146=[141],c142=[011]\mathbf{c}_{141} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{146} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{142} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

(3)

3(c197+x)+2(c202−x)=4(c204−x)3\left(\mathbf{c}_{197} + \mathbf{x}\right) + 2\left(\mathbf{c}_{202} - \mathbf{x}\right) = 4\left(\mathbf{c}_{204} - \mathbf{x}\right). c197=[1122],c202=[1013],c204=[3333]\mathbf{c}_{197} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{202} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{204} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \\ 3 \end{smallmatrix}\right].

Задача 20.13

Выявить линейные зависимости между данными столбцами:

?
(1)

c34,c35,c29\mathbf{c}_{34}, \mathbf{c}_{35}, \mathbf{c}_{29}. c34=[13],c35=[14],c29=[32]\mathbf{c}_{34} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{35} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 4 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{29} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 2 \end{smallmatrix}\right].

(2)

c84,c83,c120\mathbf{c}_{84}, \mathbf{c}_{83}, \mathbf{c}_{120}. c84=[431],c83=[123],c120=[2−1−5]\mathbf{c}_{84} = \left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{83} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{120} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ -1 \\ -5 \end{smallmatrix}\right].

(3)

c166,c198,c199,c201\mathbf{c}_{166}, \mathbf{c}_{198}, \mathbf{c}_{199}, \mathbf{c}_{201}. c166=[1111],c198=[1113],c199=[3−572],c201=[1−75−2]\mathbf{c}_{166} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{198} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{199} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ -5 \\ 7 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{201} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -7 \\ 5 \\ -2 \end{smallmatrix}\right].

(4)

c166,c197,c205,c206\mathbf{c}_{166}, \mathbf{c}_{197}, \mathbf{c}_{205}, \mathbf{c}_{206}. c166=[1111],c197=[1122],c205=[0011],c206=[2233]\mathbf{c}_{166} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{197} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{205} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{206} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 2 \\ 3 \\ 3 \end{smallmatrix}\right].

Задача 20.14

Найти размерность и базис линейной оболочки данной системы столбцов:

?
(1)

c1,c2\mathbf{c}_{1}, \mathbf{c}_{2}. c1=[−3],c2=[6]\mathbf{c}_{1} = \left[\begin{smallmatrix} -3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{2} = \left[\begin{smallmatrix} 6 \end{smallmatrix}\right].

(2)

c31,c28,c30\mathbf{c}_{31}, \mathbf{c}_{28}, \mathbf{c}_{30}. c31=[1−1],c28=[−16],c30=[−11]\mathbf{c}_{31} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{28} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 6 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{30} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

(3)

c31,c30,c32\mathbf{c}_{31}, \mathbf{c}_{30}, \mathbf{c}_{32}. c31=[1−1],c30=[−11],c32=[2−2]\mathbf{c}_{31} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{30} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{32} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ -2 \end{smallmatrix}\right].

(4)

c121,c124,c118\mathbf{c}_{121}, \mathbf{c}_{124}, \mathbf{c}_{118}. c121=[−320],c124=[−36−15],c118=[0−415]\mathbf{c}_{121} = \left[\begin{smallmatrix} -3 \\ 2 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{124} = \left[\begin{smallmatrix} -3 \\ 6 \\ -15 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{118} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ -4 \\ 15 \end{smallmatrix}\right].

(5)

c166,c198,c199,c201\mathbf{c}_{166}, \mathbf{c}_{198}, \mathbf{c}_{199}, \mathbf{c}_{201}. c166=[1111],c198=[1113],c199=[3−572],c201=[1−75−2]\mathbf{c}_{166} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{198} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{199} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ -5 \\ 7 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{201} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -7 \\ 5 \\ -2 \end{smallmatrix}\right].

(6)

c196,c198,c202\mathbf{c}_{196}, \mathbf{c}_{198}, \mathbf{c}_{202}. c196=[1213],c198=[1113],c202=[1013]\mathbf{c}_{196} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{198} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{202} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right].

(7)

c166,c196,c197,c198\mathbf{c}_{166}, \mathbf{c}_{196}, \mathbf{c}_{197}, \mathbf{c}_{198}. c166=[1111],c196=[1213],c197=[1122],c198=[1113]\mathbf{c}_{166} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{196} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{197} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{198} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right].

(8)

o\mathbf{o}

(9)

c166,c203,c204,c197\mathbf{c}_{166}, \mathbf{c}_{203}, \mathbf{c}_{204}, \mathbf{c}_{197}. c166=[1111],c203=[2222],c204=[3333],c197=[1122]\mathbf{c}_{166} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{203} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{204} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{197} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \end{smallmatrix}\right].

Задача 20.15

Найти размерность и базис линейной оболочки системы матриц A391,A390,A389\mathbf{A}_{391}, \mathbf{A}_{390}, \mathbf{A}_{389}. A391=[689016],A390=[211301],A389=[276−614]\mathbf{A}_{391} = \left[\begin{smallmatrix} 6 & 8 & 9 \\ 0 & 1 & 6 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{390} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{389} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 7 & 6 \\ -6 & 1 & 4 \end{smallmatrix}\right].

?
Задача 20.16

Найти размерность и базис линейной оболочки системы многочленов (1+t)3,t3,1,t+t2(1 + t)^{3}, t^{3}, 1, t + t^{2}.

?
Задача 20.17

Доказать что векторы e1,…,en\mathbf{e}_{1}, \ldots , \mathbf{e}_{n} образуют базис в nn мерном арифметическом пространстве, и найти координатный столбец вектора х в этом базисе:

?
(1)

n=1,e1=c1,x=c2n = 1, \mathbf{e}_{1} = \mathbf{c}_{1}, \mathbf{x} = \mathbf{c}_{2}. c1=[−3],c2=[6]\mathbf{c}_{1} = \left[\begin{smallmatrix} -3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{2} = \left[\begin{smallmatrix} 6 \end{smallmatrix}\right].

(2)

n=2,e1=c28,e2=c29,x=c30n = 2, \mathbf{e}_{1} = \mathbf{c}_{28}, \mathbf{e}_{2} = \mathbf{c}_{29}, \mathbf{x} = \mathbf{c}_{30}. c28=[−16],c29=[32],c30=[−11]\mathbf{c}_{28} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 6 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{29} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{30} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

(3)

n=3,e1=c116,e2=c120,e3=c122,x=c49n = 3, \mathbf{e}_{1} = \mathbf{c}_{116}, \mathbf{e}_{2} = \mathbf{c}_{120}, \mathbf{e}_{3} = \mathbf{c}_{122}, \mathbf{x} = \mathbf{c}_{49}. c116=[421],c120=[2−1−5],c122=[−231],c49=[2110]\mathbf{c}_{116} = \left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{120} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ -1 \\ -5 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{122} = \left[\begin{smallmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{49} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 1 \\ 10 \end{smallmatrix}\right].

(4)

n=4,e1=c196,e2=c197,e3=c198,e4=c199,x=c200n = 4, \mathbf{e}_{1} = \mathbf{c}_{196}, \mathbf{e}_{2} = \mathbf{c}_{197}, \mathbf{e}_{3} = \mathbf{c}_{198}, \mathbf{e}_{4} = \mathbf{c}_{199}, \mathbf{x} = \mathbf{c}_{200}. c196=[1213],c197=[1122],c198=[1113],c199=[3−572],c200=[−18−65]\mathbf{c}_{196} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{197} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{198} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{199} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ -5 \\ 7 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{200} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 8 \\ -6 \\ 5 \end{smallmatrix}\right].

(5)

n=5,e1=c255,e2=c263,e3=c264,e4=c265,e5=c266n = 5, \mathbf{e}_{1} = \mathbf{c}_{255}, \mathbf{e}_{2} = \mathbf{c}_{263}, \mathbf{e}_{3} = \mathbf{c}_{264}, \mathbf{e}_{4} = \mathbf{c}_{265}, \mathbf{e}_{5} = \mathbf{c}_{266}, x=c267\mathbf{x} = \mathbf{c}_{267}. c255=[11111],c263=[−12103],c264=[21421],c265=[02−153],c266=[700−10],c267=[44−1−26]\mathbf{c}_{255} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{263} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{264} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \\ 2 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{265} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \\ 5 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{266} = \left[\begin{smallmatrix} 7 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{267} = \left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 4 \\ -1 \\ -2 \\ 6 \end{smallmatrix}\right].

Задача 20.18

Доказать, что матрицы A5,A10,A13,A6\mathbf{A}_{5}, \mathbf{A}_{10}, \mathbf{A}_{13}, \mathbf{A}_{6} образуют базис в пространстве квадратных матриц порядка 2, и найти координатный столбец матрицы A26\mathbf{A}_{26} в этом базисе. A5=[1−11−1],A10=[2513],A13=[1101],A6=[3457],A26=[514613]\mathbf{A}_{5} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{10} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{13} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{6} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 7 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{26} = \left[\begin{smallmatrix} 5 & 14 \\ 6 & 13 \end{smallmatrix}\right].

?
Задача 20.19

Доказать, что матрицы A200,A202,A205,A204,A203\mathbf{A}_{200}, \mathbf{A}_{202}, \mathbf{A}_{205}, \mathbf{A}_{204}, \mathbf{A}_{203}, A242\mathbf{A}_{242} образуют базис в пространстве симметрических матриц порядка 3, и найти координатный столбец матрицы A215\mathbf{A}_{215} в этом базисе. A200=[001010100],A202=[12221−22−21],A205=[123234345],A204=[−231362121],A203=[22−12−12−122],A242=[0111−1−11−1−2],A215=[06163−31−3−3]\mathbf{A}_{200} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{202} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ 2 & -2 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{205} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{204} = \left[\begin{smallmatrix} -2 & 3 & 1 \\ 3 & 6 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{203} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{242} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{215} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 6 & 1 \\ 6 & 3 & -3 \\ 1 & -3 & -3 \end{smallmatrix}\right].

?
Задача 20.20

Доказать, что многочлены 1,t−α,(t−α)2,……,(t−α)n1, t - \alpha , (t - \alpha )^{2}, \ldots \ldots , (t - \alpha )^{n} образуют базис в пространстве многочленов степени не выше nn, и найти координатный столбец произвольного многочлена pn(t)p_{n}(t) степени не выше nn в этом базисе.

?
Задача 20.21

Доказать, что многочлены 2t+t5,t3−t5,t+t32t + t^{5}, t^{3} - t^{5}, t + t^{3} образуют базис в пространстве нечетных многочленов степени не выше 5, и найти координатный столбец многочлена 5t−t3+2t55t - t^{3} + 2t^{5} в этом базисе.

?
Задача 20.22

Найти размерность и базис линейного подпространства, заданного в некотором базисе системой линейных уравнений:

?
(1)

A27x=o\mathbf{A}_{27} \mathbf{x} = \mathbf{o}. A27=[1−3−26]\mathbf{A}_{27} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 6 \end{smallmatrix}\right].

(2)

A238x=0\mathbf{A}_{238} \mathbf{x} = \mathbf{0}. A238=[−310−10−74−4−2−33]\mathbf{A}_{238} = \left[\begin{smallmatrix} -3 & 10 & -10 \\ -7 & 4 & -4 \\ -2 & -3 & 3 \end{smallmatrix}\right].

(3)

A249x=o\mathbf{A}_{249} \mathrm{x} = \mathbf{o}. A249=[−31−26−24−15510]\mathbf{A}_{249} = \left[\begin{smallmatrix} -3 & 1 & -2 \\ 6 & -2 & 4 \\ -15 & 5 & 10 \end{smallmatrix}\right].

(4)

A391x=o\mathbf{A}_{391} \mathbf{x} = \mathbf{o}. A391=[689016]\mathbf{A}_{391} = \left[\begin{smallmatrix} 6 & 8 & 9 \\ 0 & 1 & 6 \end{smallmatrix}\right].

(5)

A110x=o\mathbf{A}_{110} \mathbf{x} = \mathbf{o}. A110=[312110]\mathbf{A}_{110} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(6)

A442x=o\mathbf{A}_{442} \mathrm{x} = \mathbf{o}. A442=[33−4−3061154212332]\mathbf{A}_{442} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 3 & -4 & -3 \\ 0 & 6 & 1 & 1 \\ 5 & 4 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 3 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(7)

A577x=o\mathbf{A}_{577} \mathrm{x} = \mathrm{o}. A577=[2−13−244−25172−1182]\mathbf{A}_{577} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & -1 & 3 & -2 & 4 \\ 4 & -2 & 5 & 1 & 7 \\ 2 & -1 & 1 & 8 & 2 \end{smallmatrix}\right].

Задача 20.23

Составить систему уравнений, определяющую линейную оболочку данной системы столбцов:

?
(1)

c66,c83\mathbf{c}_{66}, \mathbf{c}_{83}. c66=[111],c83=[123]\mathbf{c}_{66} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{83} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{smallmatrix}\right].

(2)

c31,c30\mathbf{c}_{31}, \mathbf{c}_{30}. c31=[1−1],c30=[−11]\mathbf{c}_{31} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{30} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

(3)

c30,c29\mathbf{c}_{30}, \mathbf{c}_{29}. c30=[−11],c29=[32]\mathbf{c}_{30} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{29} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 2 \end{smallmatrix}\right].

(4)

c166,c196\mathbf{c}_{166}, \mathbf{c}_{196}. c166=[1111],c196=[1213]\mathbf{c}_{166} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{196} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right].

(5)

c197\mathbf{c}_{197}. c197=[1122]\mathbf{c}_{197} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \end{smallmatrix}\right].

(6)

c166,c198,c199,c201\mathbf{c}_{166}, \mathbf{c}_{198}, \mathbf{c}_{199}, \mathbf{c}_{201}. c166=[1111],c198=[1113],c199=[3−572],c201=[1−75−2]\mathbf{c}_{166} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{198} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{199} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ -5 \\ 7 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{201} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -7 \\ 5 \\ -2 \end{smallmatrix}\right].

(7)

c166,c196,c197,c198\mathbf{c}_{166}, \mathbf{c}_{196}, \mathbf{c}_{197}, \mathbf{c}_{198}. c166=[1111],c196=[1213],c197=[1122],c198=[1113]\mathbf{c}_{166} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{196} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{197} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{198} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right].

(8)

[0000]\left[\begin{smallmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{smallmatrix}\right].

Задача 20.24

Доказать, что каждая из двух систем векторов f1,……,fnf_{1}, \ldots \ldots , \mathbf{f}_{n} и g1,…,gn\mathbf{g}_{1}, \ldots , \mathbf{g}_{n} является базисом в nn-мерном арифметическом пространстве, и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму. Найти координаты вектора в первом базисе, если известны его координаты ξ1′,…,ξn′\xi_{1}^{\prime }, \ldots , \xi_{n}^{\prime } во втором базисе:

?
(1)

n=1,f1=c1,g1=c3n = 1, \quad \mathbf{f}_{1} = \mathbf{c}_{1}, \quad \mathbf{g}_{1} = \mathbf{c}_{3}. c1=[−3],c3=[−9]\mathbf{c}_{1} = \left[\begin{smallmatrix} -3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{3} = \left[\begin{smallmatrix} -9 \end{smallmatrix}\right].

(2)

n=2,f1=c29,f2=c33,g1=c32,g2=c28n = 2, \quad \mathbf{f}_{1} = \mathbf{c}_{29}, \quad \mathbf{f}_{2} = \mathbf{c}_{33}, \quad \mathbf{g}_{1} = \mathbf{c}_{32}, \quad \mathbf{g}_{2} = \mathbf{c}_{28}. c29=[32],c33=[21],c32=[2−2],c28=[−16]\mathbf{c}_{29} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{33} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{32} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ -2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{28} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 6 \end{smallmatrix}\right].

(3)

n=3,f1=c116,f2=c117,f3=c94,g1=c119,g2=c84n = 3, \mathbf{f}_{1} = \mathbf{c}_{116}, \mathbf{f}_{2} = \mathbf{c}_{117}, \mathbf{f}_{3} = \mathbf{c}_{94}, \mathbf{g}_{1} = \mathbf{c}_{119}, \mathbf{g}_{2} = \mathbf{c}_{84}, g3=c83\mathbf{g}_{3} = \mathbf{c}_{83}. c116=[421],c117=[532],c94=[321],c119=[−140],c84=[431],c83=[123]\mathbf{c}_{116} = \left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{117} = \left[\begin{smallmatrix} 5 \\ 3 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{94} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{119} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 4 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{84} = \left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{83} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{smallmatrix}\right].

(4)

n=4,f1=c166,f2=c196,f3=c197,f4=c198,g1=c199n = 4, \mathbf{f}_{1} = \mathbf{c}_{166}, \mathbf{f}_{2} = \mathbf{c}_{196}, \mathbf{f}_{3} = \mathbf{c}_{197}, \mathbf{f}_{4} = \mathbf{c}_{198}, \mathbf{g}_{1} = \mathbf{c}_{199}, g2=c200,g3=c202,g4=c203\mathbf{g}_{2} = \mathbf{c}_{200}, \mathbf{g}_{3} = \mathbf{c}_{202}, \mathbf{g}_{4} = \mathbf{c}_{203}. c166=[1111],c196=[1213],c197=[1122],c198=[1113],c199=[3−572],c200=[−18−65],c202=[1013],c203=[2222]\mathbf{c}_{166} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{196} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{197} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{198} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{199} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ -5 \\ 7 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{200} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 8 \\ -6 \\ 5 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{202} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{203} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \end{smallmatrix}\right].

Задача 20.25

Доказать, что каждая из двух систем матриц A132\mathbf{A}_{132}, A143,A134,A133,A110,A135\mathbf{A}_{143}, \mathbf{A}_{134}, \mathbf{A}_{133}, \mathbf{A}_{110}, \mathbf{A}_{135} и A136,A137,A112,A138,A139,A113\mathbf{A}_{136}, \mathbf{A}_{137}, \mathbf{A}_{112}, \mathbf{A}_{138}, \mathbf{A}_{139}, \mathbf{A}_{113} является базисом в пространстве матриц размера 3×23 \times 2, и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму. Найти координаты матрицы 3×23 \times 2 в первом базисе, если известны ее координаты ξ1′,…,ξ6′\xi_{1}^{\prime }, \ldots , \xi_{6}^{\prime } во втором базисе. A132=[123002],A143=[01−1100],A134=[001−205],A133=[000107],A110=[312110],A135=[000001],A136=[113500],A137=[214023],A112=[001−110],A138=[339000],A139=[000111],A113=[010110]\mathbf{A}_{132} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{143} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{134} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 1 & -2 \\ 0 & 5 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{133} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 7 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{110} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{135} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{136} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 5 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{137} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 0 \\ 2 & 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{112} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{138} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 3 \\ 9 & 0 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{139} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{113} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right].

?
Задача 20.26

Доказать, что каждая из двух систем матриц A250,A251,A252\mathbf{A}_{250}, \mathbf{A}_{251}, \mathbf{A}_{252} и A253,A254,A255\mathbf{A}_{253}, \mathbf{A}_{254}, \mathbf{A}_{255} является базисом в пространстве кососимметрических матриц порядка 3, и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму. Найти координаты кососимметрической матрицы порядка 3 в первом базисе, если известны ее координаты ξ1′,ξ2′,ξ3′\xi_{1}^{\prime }, \xi_{2}^{\prime }, \xi_{3}^{\prime } во втором базисе. A250=[01−2−1032−30],A251=[00−10041−40],A252=[0−1210−2−220],A253=[011−10−1−110],A254=[035−302−5−20],A255=[010−1030−30]\mathbf{A}_{250} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & 3 \\ 2 & -3 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{251} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{252} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -2 \\ -2 & 2 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{253} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{254} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 3 & 5 \\ -3 & 0 & 2 \\ -5 & -2 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{255} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \\ 0 & -3 & 0 \end{smallmatrix}\right].

?
Задача 20.27

Доказать, что каждая из двух систем функций t−t2,t3,1+5t+t3,(1+t)3t - t^{2}, t^{3}, 1 + 5t + t^{3}, (1 + t)^{3} и (1+t)3,(1−t)3,t−t2+t3,1+t+t2+t3(1 + t)^{3}, (1 - t)^{3}, t - t^{2} + t^{3}, 1 + t + t^{2} + t^{3} является базисом в пространстве многочленов степени не выше 3. Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и координаты многочлена в первом базисе, если известны его координаты ξ1′,ξ2′,ξ3′,ξ4′\xi_{1}^{\prime }, \xi_{2}^{\prime }, \xi_{3}^{\prime }, \xi_{4}^{\prime } во втором базисе.

?
Задача 20.28

Доказать, что каждая из двух систем функций (1+t2)2,(1−t2)2,1\left(1 + t^{2}\right)^{2}, \left(1 - t^{2}\right)^{2}, 1 и 1+t2+t4,1−t2+t4,t41 + t^{2} + t^{4}, 1 - t^{2} + t^{4}, t^{4} является базисом в пространстве четных многочленов степени не выше 4, и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму. Найти координаты четного многочлена степени не выше 4 в первом базисе, если известны его координаты ξ1′,ξ2′,ξ3′\xi_{1}^{\prime }, \xi_{2}^{\prime }, \xi_{3}^{\prime } во втором базисе.

?
Задача 20.29

Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если:

?
(1)

поменять местами ii — й и jj — й векторы первого базиса

(2)

поменять местами ii — й и jj — й векторы второго базиса

(3)

расположить векторы обоих базисов в обратном порядке.

Задача 20.30

Матрица S1S_{1} является матрицей перехода от первого базиса e1,…,ene_{1}, \ldots , e_{n} в nn-мерном линейном пространстве ко второму базису f1,…,fnf_{1}, \ldots , f_{n}, а матрица S2S_{2} — матрицей перехода от второго базиса к третьему базису g1,…,gng_{1}, \ldots , g_{n}. Найти матрицу перехода:

?
(1)

от первого базиса к третьему

(2)

от второго базиса к первому.

Задача 20.31

Описать взаимное расположение двух базисов в трехмерном линейном пространстве, если матрица перехода от первого базиса ко второму:

?
(1)

диагональная

(2)

верхняя треугольная

(3)

нижняя треугольная.

Задача 20.32

Векторы базисов a1,…,ana_{1}, \ldots , a_{n} и b1,…,bnb_{1}, \ldots , b_{n} даны своими координатными столбцами относительно базиса е. Эти столбцы составляют соответственно матрицы AA и BB. Найти матрицу перехода от базиса a\mathbf{a} к базису b\mathbf{b}, если:

?
(1)

A=A54,B=A64A = \mathbf{A}_{54}, \quad B = \mathbf{A}_{64}. A54=[1/103/10−3/101/10],A64=[3/101/101/10−3/10]\mathbf{A}_{54} = \left[\begin{smallmatrix} 1/\sqrt{10} & 3/\sqrt{10} \\ -3/\sqrt{10} & 1/\sqrt{10} \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{64} = \left[\begin{smallmatrix} 3/\sqrt{10} & 1/\sqrt{10} \\ 1/\sqrt{10} & -3/\sqrt{10} \end{smallmatrix}\right].

(2)

A=A10,B=A34A = \mathbf{A}_{10}, \quad B = \mathbf{A}_{34}. A10=[2513],A34=[2111]\mathbf{A}_{10} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{34} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(3)

A=A427,B=A468A = \mathbf{A}_{427}, B = \mathbf{A}_{468}. A427=[1331131−111−13−1−133],A468=[111−111−111−111−1111]\mathbf{A}_{427} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 3 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & 3 \\ -1 & -1 & 3 & 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{468} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

Задача 20.33

Доказать, что многочлены Лежандра 1,t1, t, 12(3t2−1),12(5t3−3t)\frac{1}{2}\left(3t^{2} - 1\right), \frac{1}{2}\left(5t^{3} - 3t\right) образуют базис в пространстве многочленов степени не выше 3. Найти матрицы перехода от стандартного базиса к данному и обратно.

?
Задача 20.34

Найти координаты многочлена p(t)p(t) в стандартном базисе пространства многочленов степени не выше 3 и в базисе задачи 20. 33:

?
(1)

p(t)=5t3−3tp(t) = 5t^{3} - 3t; \quad

(2)

p(t)=2t−1p(t) = 2t - 1

(3)

p(t)=9t2−1p(t) = 9t^{2} - 1

(4)

p(t)=1−4t−3t2+10t3p(t) = 1 - 4t - 3t^{2} + 10t^{3}.