21

Сумма и пересечение подпространств

[17/35%]
Показать
LaTeX
Задача 21.1

Доказать, что пространство квадратных матриц порядка nn является прямой суммой подпространства симметрических матриц и подпространства кососимметрических матриц того же порядка.

?
Задача 21.2

Доказать, что пространство многочленов степени не выше nn является прямой суммой подпространства четных многочленов степени не выше nn и подпространства нечетных многочленов степени не выше nn.

?
Задача 21.3
?
(1)

Доказать, что nn-мерное линейное пространство является прямой суммой подпространства векторов, все координаты которых равны между собой, и подпространства векторов, сумма координат которых равна 0.

(2)

Дана матрица AA из nn строк. Доказать, что nn-мерное арифметическое пространство является прямой суммой линейной оболочки столбцов AA и подпространства решений системы линейных уравнений ATx=0A^{T} \mathbf{x} = \mathbf{0}.

Задача 21.4

Доказать, что nn-мерное арифметическое пространство является прямой суммой линейных подпространств, натянутых на системы векторов a1,…,ak\mathbf{a}_{1}, \ldots , \mathbf{a}_{k} и b1,…,bl\mathbf{b}_{1}, \ldots , \mathbf{b}_{l}:

?
(1)

n=2,a1=c30,a2=c32,b1=c35n = 2, \quad \mathbf{a}_{1} = \mathbf{c}_{30}, \quad \mathbf{a}_{2} = \mathbf{c}_{32}, \quad \mathbf{b}_{1} = \mathbf{c}_{35}. c30=[−11],c32=[2−2],c35=[14]\mathbf{c}_{30} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{32} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ -2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{35} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 4 \end{smallmatrix}\right].

(2)

n=3,a1=c141,a2=c146,b1=c66,b2=c140n = 3, \quad \mathbf{a}_{1} = \mathbf{c}_{141}, \quad \mathbf{a}_{2} = \mathbf{c}_{146}, \quad \mathbf{b}_{1} = \mathbf{c}_{66}, \quad \mathbf{b}_{2} = \mathbf{c}_{140}. c141=[211],c146=[141],c66=[111],c140=[444]\mathbf{c}_{141} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{146} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{66} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{140} = \left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{smallmatrix}\right].

(3)

n=4,a1=c198,a2=c196,b1=c197,b2=c166,b3=c206n = 4, \mathbf{a}_{1} = \mathbf{c}_{198}, \mathbf{a}_{2} = \mathbf{c}_{196}, \mathbf{b}_{1} = \mathbf{c}_{197}, \mathbf{b}_{2} = \mathbf{c}_{166}, \mathbf{b}_{3} = \mathbf{c}_{206}. c198=[1113],c196=[1213],c197=[1122],c166=[1111],c206=[2233]\mathbf{c}_{198} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{196} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{197} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{166} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{206} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 2 \\ 3 \\ 3 \end{smallmatrix}\right].

(4)

n=4,a1=c196,a2=c198,a3=c202,a4=c199,b1=c166n = 4, \mathbf{a}_{1} = \mathbf{c}_{196}, \mathbf{a}_{2} = \mathbf{c}_{198}, \mathbf{a}_{3} = \mathbf{c}_{202}, \mathbf{a}_{4} = \mathbf{c}_{199}, \mathbf{b}_{1} = \mathbf{c}_{166}, b2=c204\mathbf{b}_{2} = \mathbf{c}_{204}. c196=[1213],c198=[1113],c202=[1013],c199=[3−572],c166=[1111],c204=[3333]\mathbf{c}_{196} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{198} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{202} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{199} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ -5 \\ 7 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{166} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{204} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \\ 3 \end{smallmatrix}\right].

Задача 21.5

Разложить данный вектор x\mathbf{x} из nn-мерного арифметического пространства в сумму двух векторов, один из которых лежит в P\mathcal{P}, а другой — в Q\mathcal{Q}, где P\mathcal{P} — линейная оболочка системы векторов a1,…,ak\mathbf{a}_{1}, \ldots , \mathbf{a}_{k}, а Q\mathcal{Q} — линейная оболочка системы векторов b1,…,bl\mathbf{b}_{1}, \ldots , \mathbf{b}_{l}. Проверить единственность разложения:

?
(1)

n=2,x=c29,a1=c28,b1=c30n = 2, \quad \mathbf{x} = \mathbf{c}_{29}, \quad \mathbf{a}_{1} = \mathbf{c}_{28}, \quad \mathbf{b}_{1} = \mathbf{c}_{30}. c29=[32],c28=[−16],c30=[−11]\mathbf{c}_{29} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{28} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 6 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{30} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

(2)

n=3,x=c120,a1=c84,a2=c83,b1=c66n = 3, \quad \mathbf{x} = \mathbf{c}_{120}, \quad \mathbf{a}_{1} = \mathbf{c}_{84}, \quad \mathbf{a}_{2} = \mathbf{c}_{83}, \quad \mathbf{b}_{1} = \mathbf{c}_{66}. c120=[2−1−5],c84=[431],c83=[123],c66=[111]\mathbf{c}_{120} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ -1 \\ -5 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{84} = \left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{83} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{66} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

(3)

n=3,x=c145,a1=c84,a2=c83,b1=c66n = 3, \quad \mathbf{x} = \mathbf{c}_{145}, \quad \mathbf{a}_{1} = \mathbf{c}_{84}, \quad \mathbf{a}_{2} = \mathbf{c}_{83}, \quad \mathbf{b}_{1} = \mathbf{c}_{66}. c145=[20−1],c84=[431],c83=[123],c66=[111]\mathbf{c}_{145} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{84} = \left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{83} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{66} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

(4)

n=3,x=c139,a1=c84,a2=c83,b1=c66n = 3, \quad \mathbf{x} = \mathbf{c}_{139}, \quad \mathbf{a}_{1} = \mathbf{c}_{84}, \quad \mathbf{a}_{2} = \mathbf{c}_{83}, \quad \mathbf{b}_{1} = \mathbf{c}_{66}. c139=[−2−2−2],c84=[431],c83=[123],c66=[111]\mathbf{c}_{139} = \left[\begin{smallmatrix} -2 \\ -2 \\ -2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{84} = \left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{83} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{66} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

(5)

n=4,x=c200,a1=c166,a2=c198,a3=c207,b1=c202n = 4, \mathbf{x} = \mathbf{c}_{200}, \mathbf{a}_{1} = \mathbf{c}_{166}, \mathbf{a}_{2} = \mathbf{c}_{198}, \mathbf{a}_{3} = \mathbf{c}_{207}, \mathbf{b}_{1} = \mathbf{c}_{202}, b2=c205\mathbf{b}_{2} = \mathbf{c}_{205}. c200=[−18−65],c166=[1111],c198=[1113],c207=[1112],c202=[1013],c205=[0011]\mathbf{c}_{200} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 8 \\ -6 \\ 5 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{166} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{198} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{207} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{202} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{205} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

Задача 21.6

Найти проекцию данного вектора x\mathbf{x} из nn-мерного арифметического пространства на линейное подпространство P\mathcal{P} параллельно линейному подпространству Q\mathcal{Q}, где P\mathcal{P} — линейная оболочка системы векторов a1,…,ak\mathbf{a}_{1}, \ldots , \mathbf{a}_{k}, а Q\mathcal{Q} — линейная оболочка системы векторов b1,…,bl\mathbf{b}_{1}, \ldots , \mathbf{b}_{l}:

?
(1)

n=2,x=c32,a1=c30,b1=c34n = 2, \quad \mathbf{x} = \mathbf{c}_{32}, \quad \mathbf{a}_{1} = \mathbf{c}_{30}, \quad \mathbf{b}_{1} = \mathbf{c}_{34}. c32=[2−2],c30=[−11],c34=[13]\mathbf{c}_{32} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ -2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{30} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{34} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right].

(2)

n=2,x=c37,a1=c30,b1=c34n = 2, \quad \mathbf{x} = \mathbf{c}_{37}, \quad \mathbf{a}_{1} = \mathbf{c}_{30}, \quad \mathbf{b}_{1} = \mathbf{c}_{34}. c37=[26],c30=[−11],c34=[13]\mathbf{c}_{37} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 6 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{30} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{34} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right].

(3)

n=2,x=c35,a1=c30,b1=c34n = 2, \quad \mathbf{x} = \mathbf{c}_{35}, \quad \mathbf{a}_{1} = \mathbf{c}_{30}, \quad \mathbf{b}_{1} = \mathbf{c}_{34}. c35=[14],c30=[−11],c34=[13]\mathbf{c}_{35} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 4 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{30} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{34} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right].

(4)

n=3,x=c146,a1=c66,a2=c121,a3=c122,b1=c145n = 3, \mathbf{x} = \mathbf{c}_{146}, \mathbf{a}_{1} = \mathbf{c}_{66}, \mathbf{a}_{2} = \mathbf{c}_{121}, \mathbf{a}_{3} = \mathbf{c}_{122}, \mathbf{b}_{1} = \mathbf{c}_{145}. c146=[141],c66=[111],c121=[−320],c122=[−231],c145=[20−1]\mathbf{c}_{146} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{66} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{121} = \left[\begin{smallmatrix} -3 \\ 2 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{122} = \left[\begin{smallmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{145} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{smallmatrix}\right].

(5)

n=4,x=c201,a1=c166,a2=c199,b1=c197,b2=c198n = 4, \mathbf{x} = \mathbf{c}_{201}, \mathbf{a}_{1} = \mathbf{c}_{166}, \mathbf{a}_{2} = \mathbf{c}_{199}, \mathbf{b}_{1} = \mathbf{c}_{197}, \mathbf{b}_{2} = \mathbf{c}_{198}. c201=[1−75−2],c166=[1111],c199=[3−572],c197=[1122],c198=[1113]\mathbf{c}_{201} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -7 \\ 5 \\ -2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{166} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{199} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ -5 \\ 7 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{197} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{198} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right].

Задача 21.7

Найти размерность и базис суммы и пересечения линейных подпространств nn-мерного арифметического пространства, натянутых на системы векторов a1,…,ak\mathbf{a}_{1}, \ldots , \mathbf{a}_{k} и b1,…,bl\mathbf{b}_{1}, \ldots , \mathbf{b}_{l}:

?
(1)

n=2,a1=c34,a2=c37,a3=c35,b1=c30,b2=c36n = 2, \mathbf{a}_{1} = \mathbf{c}_{34}, \mathbf{a}_{2} = \mathbf{c}_{37}, \mathbf{a}_{3} = \mathbf{c}_{35}, \mathbf{b}_{1} = \mathbf{c}_{30}, \mathbf{b}_{2} = \mathbf{c}_{36}, b3=c32\mathbf{b}_{3} = \mathbf{c}_{32}. c34=[13],c37=[26],c35=[14],c30=[−11],c36=[3−3],c32=[2−2]\mathbf{c}_{34} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{37} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 6 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{35} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 4 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{30} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{36} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ -3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{32} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ -2 \end{smallmatrix}\right].

(2)

n=3,a1=c116,a2=c121,a3=c119,b1=c122,b2=c125n = 3, \mathbf{a}_{1} = \mathbf{c}_{116}, \mathbf{a}_{2} = \mathbf{c}_{121}, \mathbf{a}_{3} = \mathbf{c}_{119}, \mathbf{b}_{1} = \mathbf{c}_{122}, \mathbf{b}_{2} = \mathbf{c}_{125}, b3=c138\mathbf{b}_{3} = \mathbf{c}_{138}. c116=[421],c121=[−320],c119=[−140],c122=[−231],c125=[5313],c138=[7012]\mathbf{c}_{116} = \left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{121} = \left[\begin{smallmatrix} -3 \\ 2 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{119} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 4 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{122} = \left[\begin{smallmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{125} = \left[\begin{smallmatrix} 5 \\ 3 \\ 13 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{138} = \left[\begin{smallmatrix} 7 \\ 0 \\ 12 \end{smallmatrix}\right].

(3)

n=3,a1=c66,a2=c139,a3=c140,b1=c94,b2=c141n = 3, \mathbf{a}_{1} = \mathbf{c}_{66}, \mathbf{a}_{2} = \mathbf{c}_{139}, \mathbf{a}_{3} = \mathbf{c}_{140}, \mathbf{b}_{1} = \mathbf{c}_{94}, \mathbf{b}_{2} = \mathbf{c}_{141}, b3=c117\mathbf{b}_{3} = \mathbf{c}_{117}. c66=[111],c139=[−2−2−2],c140=[444],c94=[321],c141=[211],c117=[532]\mathbf{c}_{66} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{139} = \left[\begin{smallmatrix} -2 \\ -2 \\ -2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{140} = \left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{94} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{141} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{117} = \left[\begin{smallmatrix} 5 \\ 3 \\ 2 \end{smallmatrix}\right].

(4)

(р) n=3,a1=c83,a2=c142,a3=c143,b1=c84,b2=c144,b3=c117n = 3, \mathbf{a}_{1} = \mathbf{c}_{83}, \mathbf{a}_{2} = \mathbf{c}_{142}, \mathbf{a}_{3} = \mathbf{c}_{143}, \mathbf{b}_{1} = \mathbf{c}_{84}, \mathbf{b}_{2} = \mathbf{c}_{144}, \mathbf{b}_{3} = \mathbf{c}_{117}. c83=[123],c142=[011],c143=[112],c84=[431],c144=[110],c117=[532]\mathbf{c}_{83} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{142} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{143} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{84} = \left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{144} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{117} = \left[\begin{smallmatrix} 5 \\ 3 \\ 2 \end{smallmatrix}\right].

(5)

n=3,a1=c66,a2=c116,a3=c145,b1=c122,b2=c146n = 3, \mathbf{a}_{1} = \mathbf{c}_{66}, \mathbf{a}_{2} = \mathbf{c}_{116}, \mathbf{a}_{3} = \mathbf{c}_{145}, \mathbf{b}_{1} = \mathbf{c}_{122}, \mathbf{b}_{2} = \mathbf{c}_{146}, b3=c147\mathbf{b}_{3} = \mathbf{c}_{147}. c66=[111],c116=[421],c145=[20−1],c122=[−231],c146=[141],c147=[5−2−1]\mathbf{c}_{66} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{116} = \left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{145} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{122} = \left[\begin{smallmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{146} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{147} = \left[\begin{smallmatrix} 5 \\ -2 \\ -1 \end{smallmatrix}\right].

(6)

n=3,a1=c83,a2=c84,a3=c120,b1=c66,b2=c121n = 3, \mathbf{a}_{1} = \mathbf{c}_{83}, \mathbf{a}_{2} = \mathbf{c}_{84}, \mathbf{a}_{3} = \mathbf{c}_{120}, \mathbf{b}_{1} = \mathbf{c}_{66}, \mathbf{b}_{2} = \mathbf{c}_{121}, b3=c122\mathbf{b}_{3} = \mathbf{c}_{122}. c83=[123],c84=[431],c120=[2−1−5],c66=[111],c121=[−320],c122=[−231]\mathbf{c}_{83} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{84} = \left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{120} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ -1 \\ -5 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{66} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{121} = \left[\begin{smallmatrix} -3 \\ 2 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{122} = \left[\begin{smallmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

(7)

n=4,a1=c196,a2=c200,a3=c217,b1=c211,b2=c218n = 4, \mathbf{a}_{1} = \mathbf{c}_{196}, \mathbf{a}_{2} = \mathbf{c}_{200}, \mathbf{a}_{3} = \mathbf{c}_{217}, \mathbf{b}_{1} = \mathbf{c}_{211}, \mathbf{b}_{2} = \mathbf{c}_{218}, b3=c219\mathbf{b}_{3} = \mathbf{c}_{219}. c196=[1213],c200=[−18−65],c217=[010−58],c211=[14−15],c218=[3−263],c219=[4258]\mathbf{c}_{196} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{200} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 8 \\ -6 \\ 5 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{217} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 10 \\ -5 \\ 8 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{211} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \\ 5 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{218} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ -2 \\ 6 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{219} = \left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 2 \\ 5 \\ 8 \end{smallmatrix}\right].

(8)

n=4,a1=c196,a2=c198,a3=c202,b1=c166,b2=c204n = 4, \mathbf{a}_{1} = \mathbf{c}_{196}, \mathbf{a}_{2} = \mathbf{c}_{198}, \mathbf{a}_{3} = \mathbf{c}_{202}, \mathbf{b}_{1} = \mathbf{c}_{166}, \mathbf{b}_{2} = \mathbf{c}_{204}, b3=c197\mathbf{b}_{3} = \mathbf{c}_{197}. c196=[1213],c198=[1113],c202=[1013],c166=[1111],c204=[3333],c197=[1122]\mathbf{c}_{196} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{198} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{202} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{166} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{204} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{197} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \end{smallmatrix}\right].

(9)

n=4,a1=c166,a2=c196,a3=c197,b1=c203,b2=c205n = 4, \mathbf{a}_{1} = \mathbf{c}_{166}, \mathbf{a}_{2} = \mathbf{c}_{196}, \mathbf{a}_{3} = \mathbf{c}_{197}, \mathbf{b}_{1} = \mathbf{c}_{203}, \mathbf{b}_{2} = \mathbf{c}_{205}, b3=c206\mathbf{b}_{3} = \mathbf{c}_{206}. c166=[1111],c196=[1213],c197=[1122],c203=[2222],c205=[0011],c206=[2233]\mathbf{c}_{166} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{196} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{197} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{203} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{205} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{206} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 2 \\ 3 \\ 3 \end{smallmatrix}\right].

(10)

n=4,a1=c166,a2=c198,a3=c196,a4=c202,b1=c207,b2=c204,b3=c197,b4=c205n = 4, \mathbf{a}_{1} = \mathbf{c}_{166}, \mathbf{a}_{2} = \mathbf{c}_{198}, \mathbf{a}_{3} = \mathbf{c}_{196}, \mathbf{a}_{4} = \mathbf{c}_{202}, \mathbf{b}_{1} = \mathbf{c}_{207}, \mathbf{b}_{2} = \mathbf{c}_{204}, \mathbf{b}_{3} = \mathbf{c}_{197}, \mathbf{b}_{4} = \mathbf{c}_{205}. c166=[1111],c198=[1113],c196=[1213],c202=[1013],c207=[1112],c204=[3333],c197=[1122],c205=[0011]\mathbf{c}_{166} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{198} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{196} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{202} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{207} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{204} = \left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{197} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{205} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

(11)

(р) n=4,a1=[1−110],a2=[1100]n = 4, \quad \mathbf{a}_{1} =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \\ 0\end{smallmatrix}\right], \quad \mathbf{a}_{2} =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{smallmatrix}\right], a3=[2012],a4=[2011],b1=[4614]\mathbf{a}_{3} =\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \\ 2\end{smallmatrix}\right], \quad \mathbf{a}_{4} =\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right], \quad \mathbf{b}_{1} =\left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 6 \\ 1 \\ 4\end{smallmatrix}\right], b2=[1120],b3=[11−23],b4=[2411]\mathbf{b}_{2} =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 0\end{smallmatrix}\right], \quad \mathbf{b}_{3} =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ - 2 \\ 3\end{smallmatrix}\right], \quad \mathbf{b}_{4} =\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right].

Задача 21.8

Найти размерность и базис суммы и пересечения линейных подпространств пространства квадратных матриц порядка 3, натянутых на системы матриц A202,A201,A209,A204\mathbf{A}_{202}, \mathbf{A}_{201}, \mathbf{A}_{209}, \mathbf{A}_{204} и A256,A205,A257,A258\mathbf{A}_{256}, \mathbf{A}_{205}, \mathbf{A}_{257}, \mathbf{A}_{258}. A202=[12221−22−21],A201=[21−131−2101],A209=[1−3−1−27232−4],A204=[−231362121],A256=[001026164],A205=[123234345],A257=[0544−42029],A258=[0534−6−4−1−45]\mathbf{A}_{202} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ 2 & -2 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{201} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{209} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -3 & -1 \\ -2 & 7 & 2 \\ 3 & 2 & -4 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{204} = \left[\begin{smallmatrix} -2 & 3 & 1 \\ 3 & 6 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{256} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 6 \\ 1 & 6 & 4 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{205} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{257} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 5 & 4 \\ 4 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & 9 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{258} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 5 & 3 \\ 4 & -6 & -4 \\ -1 & -4 & 5 \end{smallmatrix}\right].

?
Задача 21.9

Найти размерность и базис суммы и пересечения линейных подпространств пространства многочленов степени не выше 3, натянутых на системы многочленов 1+2t+t31 + 2t + t^{3}, 1+t+t2,t−t2+t31 + t + t^{2}, t - t^{2} + t^{3} и 1+t2,1+3t+t3,3t−t2+t31 + t^{2}, 1 + 3t + t^{3}, 3t - t^{2} + t^{3}.

?
Задача 21.10

Используя понятие суммы двух линейных подпространств, доказать неравенство rg⁡(A+B)⩽rg⁡A+rg⁡B\operatorname {rg}(A + B) \leqslant \operatorname {rg} A + \operatorname {rg} B, где AA и BB — две матрицы одного размера m×nm \times n.

?
Задача 21.11

Доказать, что сумма L\mathcal{L} двух линейных подпространств P\mathcal{P} и Q\mathcal{Q} тогда и только тогда будет прямой суммой, когда хотя бы один вектор x∈Lx\in \mathcal{L} однозначно представляется в виде x=y+zx = y + z, где y∈P,z∈Qy\in \mathcal{P}, z\in \mathcal{Q}.

?
Задача 21.12

Пусть P\mathcal{P} и Q\mathcal{Q} — два линейных подпространства конечномерного линейного пространства. Доказать, что:

?
(1)

если сумма размерностей P\mathcal{P} и Q\mathcal{Q} больше размерности всего пространства, то пересечение P∩Q\mathcal{P} \cap \mathcal{Q} содержит ненулевой вектор

(2)

если размерность суммы P\mathcal{P} и Q\mathcal{Q} на единицу больше размерности их пересечения, то одно из этих подпространств содержится в другом.

Задача 21.13

Доказать, что для любого линейного подпространства P\mathcal{P} конечномерного линейного пространства существует другое подпространство Q\mathcal{Q} такое, что все пространство является прямой суммой P\mathcal{P} и Q\mathcal{Q}.

?
Задача 21.14

Пусть L,M,N\mathcal{L}, \mathcal{M}, \mathcal{N} — три линейных подпространства; P=(L∩N)+(M∩N),Q=(L+M)∩N\mathcal{P} = (\mathcal{L} \cap \mathcal{N}) + (\mathcal{M} \cap \mathcal{N}), \mathcal{Q} = (\mathcal{L} + \mathcal{M}) \cap \mathcal{N}

?
(1)

Доказать, что P⊆Q\mathcal{P} \subseteq \mathcal{Q}.

(2)

Возможен ли случай P≠Q\mathcal{P} \neq \mathcal{Q}? Привести соответствующий пример.

Задача 21.15

Доказать, что сумма линейных подпространств L(1),…,L(k)\mathcal{L}^{(1)}, \ldots , \mathcal{L}^{(k)} совпадает с множеством векторов, представимых в виде x=x1+…+xkx = x_{1} + \ldots + x_{k}, где xi∈L(i),i=1,…,kx_{i} \in \mathcal{L}^{(i)}, i = 1, \ldots , k.

?
Задача 21.16

Пусть L,M,N\mathcal{L}, \mathcal{M}, \mathcal{N} — три линейных подпространства. Доказать, что

L+M+N=(L+M)+N=L+(M+N) \mathcal{L} + \mathcal{M} + \mathcal{N} = (\mathcal{L} + \mathcal{M}) + \mathcal{N} = \mathcal{L} + (\mathcal{M} + \mathcal{N})
?
Задача 21.17

Доказать, что сумма L\mathcal{L} линейных подпространств L(1),…,L(k)\mathcal{L}^{(1)}, \ldots , \mathcal{L}^{(k)} тогда и только тогда будет прямой суммой, когда хотя бы один вектор x∈Lx\in \mathcal{L} однозначно представляется в виде x=x1+…+xkx = x_{1} + \ldots + x_{k}, где xi∈L(i)x_{i} \in \mathcal{L}^{(i)} (обобщение задачи 21. 11).

?