Банк задач по математике

Задача 14.1

Общая неубывающая функция $F$ имеет не более чем счётное множество точек разрыва. Докажите это, рассмотрев открытые интервалы

\left(\sup _{u<x} F(u), \inf _{\iota >x} F(v)\right)

— каждый непустой из них содержит рациональное число.

?

Задача 14.2

(a)(b)

Для функций распределения $F$ второе доказательство теоремы 14.1 показывает, как построить меру $\mu$ на $(R^{1}, \mathscr {R}^{1})$ , такую что $\mu (a, b]=F(b)-F(a)$ .

?

(a)

Распространите на случай ограниченной $F$ .

(b)

Распространите на общий случай. Указание: пусть $F_{n}(x)$ равно $-n$ , или $F(x)$ , или $n$ в зависимости от того, $F(x)<-n$ , или $-n \leq F(x)<n$ , или $n \leq F(x)$ . Постройте соответствующую $\mu_{n}$ и определите $\mu (A)=\lim_{n} \mu_{n}(A)$ .

Задача 14.3

(a)(b)(c)

?

(a)

Предположим, что $X$ имеет непрерывную, строго возрастающую функцию распределения $F$ . Покажите, что случайная величина $F(X)$ равномерно распределена на единичном интервале в том смысле, что $P[F(X) \leq u]=u$ при $0 \leq u \leq 1$ . Переход от $X$ к $F(X)$ называется вероятностным преобразованием.

(b)

Покажите, что функция $\varphi (u)$ , определённая формулой (14.5), удовлетворяет $F(\varphi (u)-) \leq u \leq F(\varphi (u))$ и что если $F$ непрерывна (но не обязательно строго возрастает), то $F(\varphi (u))=u$ при $0<u<1$ .

(c)

Покажите, что $P[F(X)<u]=F(\varphi (u)-)$ , и следовательно, результат части (a) выполняется, пока $F$ непрерывна.

${ }^{\dagger }$ Эта теория связана с именами Фишера, Фреше, Гнеденко и Типпета. Дополнительную информацию см. у Галамбоша.

Задача 14.4

(a)(b)

↑ Пусть $C$ — множество точек непрерывности $F$ .

?

(a)

Покажите, что для любого борелевского множества $A$ величина $P[F(X) \in A, X \in C]$ не превосходит меры Лебега множества $A$ .

(b)

Покажите, что если $F$ непрерывна в каждой точке $F^{-1} A$ , то $P[F(X) \in A]$ не превосходит меры Лебега множества $A$ .

Задача 14.5

Расстоянием Лёви $d(F, G)$ между двумя функциями распределения называется инфимум тех $\epsilon$ , для которых $G(x-\epsilon )-\epsilon \leq F(x) \leq G(x+\epsilon )+\epsilon$ для всех $x$ . Проверьте, что это метрика на множестве функций распределения. Покажите, что необходимым и достаточным условием $F_{n} \Rightarrow F$ является $d\left(F_{n}, F\right) \rightarrow 0$ .

?

Задача 14.6

12.3 ↑ Борелевская функция, удовлетворяющая уравнению Коши [A20], автоматически ограничена на некотором интервале и, следовательно, удовлетворяет $f(x)=x f(1)$ . Указание: возьмите $K$ достаточно большим, чтобы $\lambda [x: x>s,\left|f(x)\right| \leq K]>0$ . Примените задачу 12.3 и заключите, что $f$ ограничена на некотором интервале справа от 0.

?

Задача 14.7

(a)(b)(c)

↑ Рассмотрим множества $S$ вещественных чисел, линейно независимых над полем рациональных чисел в том смысле, что $n_{1} x_{1}+\cdots +n_{k} x_{k}=0$ для различных точек $x_{i}$ из $S$ и целых $n_{i}$ (положительных или отрицательных) невозможно, если только не $n_{i} \equiv 0$ .

?

(a)

По лемме Цорна найдите максимальное такое $S$ . Покажите, что это базис Гамеля. То есть покажите, что каждое вещественное число $x$ может быть единственным образом записано в виде $x=n_{1} x_{1}+\cdots +n_{k} x_{k}$ для различных точек $x_{i}$ из $S$ и целых $n_{i}$ .

(b)

Определим $f$ произвольным образом на $S$ и определим её в остальных точках формулой $f\left(n_{1} x_{1}+\cdots +n_{k} x_{k}\right) =n_{1} f\left(x_{1}\right)+\cdots +n_{k} f\left(x_{k}\right)$ . Покажите, что $f$ удовлетворяет уравнению Коши, но не обязательно удовлетворяет $f(x)=x f(1)$ .

(c)

С помощью задачи 14.6 дайте новую конструкцию неизмеримой функции и неизмеримого множества.

Задача 14.8

(a)(b)(c)

?

(a)

$14.5 \uparrow$ Покажите, что если функция распределения $F$ всюду непрерывна, то она равномерно непрерывна.

(b)

Пусть $\delta_{F}(\epsilon )=\sup [F(x)-F(y):\left|x-y\right| \leq \epsilon ]$ — модуль непрерывности $F$ . Покажите, что из $d(F, G)<\epsilon$ следует $\sup_{x}\left|F(x)-G(x)\right| \leq \epsilon +\delta_{F}(\epsilon )$ .

(c)

Покажите, что если $F_{n} \Rightarrow F$ и $F$ всюду непрерывна, то $F_{n}(x) \rightarrow F(x)$ равномерно по $x$ . Что если $F$ непрерывна на замкнутом интервале?

Задача 14.9

Покажите, что (14.24) и (14.25) всюду бесконечно дифференцируемы, хотя и не аналитичны.

title: "3. Интегрирование" number-sections: true

?

Функции распределения

title: "3. Интегрирование" number-sections: true