Случайные величины и распределения

$2.11 \uparrow$ Необходимое и достаточное условие того, чтобы $\sigma$-алгебра $\mathscr {G}$ была порождена счётным семейством множеств, состоит в том, что $\mathscr {G}=\sigma (X)$ для некоторой случайной величины $X$. Указание: Если $\mathscr {G}= \sigma \left(A_{1}, A_{2}, \ldots \right)$, рассмотрите $X=\sum_{k=1}^{\infty } f\left(I_{A_{k}}\right) / 10^{k}$, где $f(x)$ равно 4 при $x=0$ и 5 при $x \neq 0$.

Если $X$ — положительная случайная величина с плотностью $f$, то $X^{-1}$ имеет плотность $f(1 / x) / x^{2}$. Докажите это с помощью (20.16), а также прямым рассуждением.

Предположим, что двумерная функция распределения $F$ имеет непрерывную плотность $f$. Покажите, что $f(x, y)=\partial^{2} F(x, y) / \partial x \partial y$.

Построение в Теореме 20.4 требует лишь меры Лебега на единичном интервале. Используйте эту теорему, чтобы доказать существование меры Лебега на $R^{k}$. Сначала постройте $\lambda_{k}$, ограниченную на $(-n, n] \times \cdot \times (-n, n]$, а затем перейдите к пределу $(n \rightarrow \infty )$. Идея состоит в том, чтобы рассуждать исходя из первых принципов, не используя предыдущие построения, такие как в Теоремах 12.5 и 18.2.

Предположим, что $A$, $B$ и $C$ — положительные независимые случайные величины с функцией распределения $F$. Покажите, что квадратный трёхчлен $A z^{2}+B z+C$ имеет вещественные нули с вероятностью $\int_{0}^{\infty } \int_{0}^{\infty } F\left(x^{2} / 4 y\right) d F(x) d F(y)$.

Покажите, что $X_{1}, X_{2}, \ldots$ независимы, если $\sigma \left(X_{1}, \ldots , X_{n-1}\right)$ и $\sigma \left(X_{n}\right)$ независимы при каждом $n$.

Пусть $X_{0}, X_{1}, \ldots$ — возвратная неприводимая марковская цепь, и для фиксированного состояния $j$ пусть $T_{1}, T_{2}, \ldots$ — моменты последовательных прохождений через $j$. Пусть $Z_{1}=T_{1}$ и $Z_{n}=T_{n}-T_{n-1}, n \geq 2$. Покажите, что $Z_{1}, Z_{2}, \ldots$ независимы и что $P\left[Z_{n}=k\right]=f_{j f}^{(k)}$ при $n \geq 2$.

Ранги и рекорды. Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — независимые случайные величины с общей непрерывной функцией распределения. Пусть $B$ — $\omega$-множество, на котором $X_{m}(\omega )=X_{n}(\omega )$ для некоторой пары различных целых чисел $m, n$, и покажите, что $P(B)=0$. Удалите $B$ из пространства $\Omega$, на котором определены $X_{n}$. Это не меняет совместных распределений $X_{n}$ и делает совпадения невозможными.

Пусть $T^{(n)}(\omega )=\left(T_{1}^{(n)}(\omega ), \ldots , T_{n}^{(n)}(\omega )\right)$ — та перестановка $\left(t_{1}, \ldots , t_{n}\right)$ чисел $(1, \ldots , n)$, для которой $X_{t_{1}}(\omega )<X_{t_{2}}(\omega )<\cdots <X_{t_{n}}(\omega )$. Пусть $Y_{n}$ — ранг $X_{n}$ среди $X_{1}, \ldots , X_{n}$: $Y_{n}=r$ тогда и только тогда, когда $X_{i}<X_{n}$ ровно для $r-1$ значений $i$, предшествующих $n$.

$\uparrow$ Рекордные значения. Пусть $A_{n}$ — событие, состоящее в том, что рекорд наступает в момент $n$: $\max_{k<n} X_{k}<X_{n}$.

Используйте теорему Фубини, чтобы доказать, что свёртка конечных мер коммутативна и ассоциативна.

Предположим, что $X$ и $Y$ независимы и имеют плотности. Используйте (20.20), чтобы найти совместную плотность для $(X+Y, X)$, а затем используйте (20.19), чтобы найти плотность для $X+Y$. Проверьте с помощью (20.38).

Если $F(x-\epsilon )<F(x+\epsilon )$ для всех положительных $\epsilon$, то $x$ называется точкой роста $F$ (см. Задачу 12.9). Если $F(x-)<F(x)$, то $x$ называется атомом $F$.

Предположим, что $\mu$ и $\nu$ состоят из масс $\alpha_{n}$ и $\beta_{n}$ в точке $n, n=0,1,2, \ldots$. Покажите, что $\mu * \nu$ состоит из массы $\sum_{k=0}^{n} \alpha_{k} \beta_{n-k}$ в точке $n, n=0,1,2, \ldots$. Покажите, что свёртка двух распределений Пуассона (параметры которых могут различаться) даёт распределение Пуассона.

Распределение Коши имеет плотность

при $u>0$. (В силу (17.9), плотность интегрируется к 1.)

$18.18 \uparrow$ Пусть $X_{1}, \ldots , X_{n}$ независимы и каждая имеет стандартное нормальное распределение. Покажите, что

имеет плотность

на $(0, \infty )$. Это называется распределением хи-квадрат с $n$ степенями свободы.

↑ Гамма-распределение имеет плотность

на $(0, \infty )$ при положительных параметрах $\alpha$ и $u$. Проверьте, что (20.47) интегрируется к 1. Покажите, что

Заметьте, что (20.46) есть $f\left(x ; \frac{1}{2}, n / 2\right)$, и из (20.48) снова выведите, что (20.46) есть плотность $\chi_{n}^{2}$. Заметьте, что экспоненциальная плотность (2010) есть $f(x ; \alpha , 1)$, и из (20 48) выведите (20 39) ещё раз.

$\uparrow$ Пусть $N, X_{1}, X_{2}, \ldots$ независимы, где $P[N=n]=q^{n-1} p, n \geq 1$, и каждая $X_{k}$ имеет экспоненциальную плотность $f(x ; \alpha , 1)$. Покажите, что $X_{1}+\cdots +X_{N}$ имеет плотность $f(x ; \alpha p, 1)$.

Пусть $A_{n m}(\epsilon )=\left[\left|Z_{k}-Z\right|<\epsilon , n \leq k \leq m\right]$. Покажите, что $Z_{n} \rightarrow Z$ с вероятностью 1 тогда и только тогда, когда $\lim_{n} \lim_{m} P\left(A_{n m}(\epsilon )\right)=1$ для всех положительных $\epsilon$, тогда как $Z_{n} \rightarrow_{p} Z$ тогда и только тогда, когда $\lim_{n} P\left(A_{n \eta }(\epsilon )\right)=1$ для всех положительных $\epsilon$.

Предположим, что последовательность $\left(X_{n}\right)$ фундаментальна по вероятности в том смысле, что для положительного $\epsilon$ существует $N_{\epsilon }$ такое, что $P\left[\left|X_{m}-X_{n}\right|>\epsilon \right]<\epsilon$ при $m, n>N_{\epsilon }$.

Если $X_{n} \rightarrow 0$ с вероятностью 1, то $n^{-1} \sum_{k=1}^{n} X_{k} \rightarrow 0$ с вероятностью 1 в силу стандартной теоремы о средних Чезаро [A30]. Покажите на примере, что это не так, если сходимость с вероятностью 1 заменить сходимостью по вероятности.

$20.21, 20.24 \uparrow$ Пусть $d(X, Y)$ — инфимум тех положительных $\epsilon$, для которых $P[\left|X-Y\right| \geq \epsilon ] \leq \epsilon$.

Постройте в $R^{k}$ случайную величину $X$, равномерно распределённую на поверхности единичной сферы в том смысле, что $\left|X\right|=1$ и $U X$ имеет то же распределение, что и $X$, для ортогональных преобразований $U$. Указание. Пусть $Z$ равномерно распределена в единичном шаре в $R^{k}$, определите $\psi (x)=x /\left|x\right|$ ($\psi (0)=(1,0, \quad 0)$, скажем) и возьмите $X=\psi (Z)$.

$\uparrow$ Пусть $\Theta$ и $\Phi$ — долгота и широта случайной точки на поверхности единичной сферы в $R^{3}$. Покажите, что $\Theta$ и $\Phi$ независимы, $\Theta$ равномерно распределена на $[0,2 \pi )$, а $\Phi$ распределена на $[-\pi / 2,+\pi / 2]$ с плотностью $\frac{1}{2} \cos \phi$.