Математические ожидания

Докажите

продифференцируйте $k$ раз по $t$ под знаком интеграла (обоснуйте) и снова выведите (21.7).

Покажите, что если $X$ имеет стандартное нормальное распределение, то $E\left[|X|^{2 n+1}\right]= 2^{n} n!\sqrt{2 / \pi }$.

$20.9 \uparrow$ Рекорды. Рассмотрите последовательность рекордов в смысле Задачи 20.9. Покажите, что математическое ожидание времени ожидания следующего рекорда бесконечно.

20.14 ↑ Покажите, что распределение Коши не имеет математического ожидания.

Докажите первую лемму Бореля—Кантелли, применяя Теорему 16.6 к индикаторным случайным величинам. Почему Теоремы 16.6 недостаточно для второй леммы Бореля—Кантелли?

Докажите (21.9) с помощью теоремы Фубини.

Докажите, что для интегрируемой $X$

Предположим, что $X$ и $Y$ — случайные величины с функциями распределения $F$ и $G$.

↑ Пусть $X$, $Y$ и $Z$ — независимые случайные величины такие, что $X$ и $Y$ принимают значения $0,1,2$ с вероятностью $\frac{1}{3}$ каждое, а $Z$ принимает значения 0 и 1 с вероятностями $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{3}$. Пусть $X^{\prime }=X$ и $Y^{\prime }=X+Z(\bmod 3)$.

Предположим, что $X$ и $Y$ — независимые неотрицательные случайные величины и $E[X]=\infty$ и $E[Y]=0$. Каково общее значение $E[X Y]$ и $E[X] E[Y]$? Используйте соглашения (15.2) как для произведения случайных величин, так и для произведения их математических ожиданий. Что если $E[X]=\infty$ и $0<E[Y]<\infty$?

Предположим, что $X$ и $Y$ независимы и $f(x, y)$ неотрицательна. Положим $g(x)=E[f(x, Y)]$ и покажите, что $E[g(X)]=E[f(X, Y)]$. Покажите более общо, что $\int_{X \in A} g(X) d P=\int_{X \in A} f(X, Y) d P$. Распространите на $f$, которая может принимать отрицательные значения.

$\uparrow$ Интегрируемость $X+Y$ не влечёт интегрируемости $X$ и $Y$ по отдельности. Покажите, что влечёт, если $X$ и $Y$ независимы.

$20.25 \uparrow$ Положим $d_{1}(X, Y)=E[\left|X-Y\right| /(1+\left|X-Y\right|)]$. Покажите, что это метрика, эквивалентная метрике из Задачи 20.25.

Для плотности $C \exp \left(-|x|^{1 / 2}\right),-\infty <x<\infty$, покажите, что моменты всех порядков существуют, но производящая функция моментов существует только при $s=0$.

16.6 ↑ Покажите, что производящая функция моментов $M(s)$, определённая на $\left(-s_{0}, s_{0}\right)$, $s_{0}>0$, может быть продолжена до функции, аналитической в полосе $\left[z:-s_{0}<\operatorname {Re} z<s_{0}\right]$. Если $M(s)$ определена на $\left[0, s_{0}\right), s_{0}>0$, покажите, что она может быть продолжена до функции, непрерывной на $\left[z: 0 \leq \operatorname {Re} z<s_{0}\right]$ и аналитической на $\left[z \cdot 0<\operatorname {Re} z<s_{0}\right]$.

Используйте (21.28), чтобы найти производящую функцию (20.39).

Для независимых случайных величин, имеющих производящие функции моментов, покажите с помощью (21.28), что дисперсии складываются.

20.17 Покажите, что гамма-плотность (20.47) имеет производящую функцию моментов $(1-s / \alpha )^{-u}$ при $s<\alpha$. Покажите, что $k$-й момент равен $u(u+1) \cdots (u+k-$ 1) $/ \alpha^{k}$. Покажите, что распределение хи-квадрат с $n$ степенями свободы имеет математическое ожидание $n$ и дисперсию $2 n$.

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — одинаково распределённые случайные величины с конечным вторым моментом. Покажите, что $n P\left[\left|X_{1}\right| \geq \epsilon \sqrt{n}\right] \rightarrow 0$ и $n^{-1 / 2} \max_{k \leq n}\left|X_{k}\right| \rightarrow_{p} 0$.