Пуассоновский процесс

Покажите, что минимум независимых экспоненциальных времён ожидания снова является экспоненциальной случайной величиной и что параметры складываются.

20.17 ↑ Покажите, что время $S_{n}$ наступления $n$-го события в пуассоновском потоке имеет гамма-плотность $f(x ; \alpha , n)$, определённую формулой (20.47). Это иногда называется плотностью Эрланга.

Пусть $A_{i}=t-S_{N_{1}}$ — время назад до самого недавнего события в пуассоновском потоке (или до 0), и пусть $B_{i}=S_{N_{t}+1}-t$ — время вперёд до следующего события. Покажите, что $A_{t}$ и $B_{t}$ независимы, что $B_{t}$ распределена как $X_{1}$ (экспоненциально с параметром $\alpha$), и что $A_{t}$ распределена как $\min \left\{ X_{1}, t\right\}$: $P\left[A_{t} \leq i\right]$ равно $0,1-e^{-\alpha x}$ или 1 при $x<0,0 \leq x<t$ или $x \geq t$ соответственно.

$\uparrow$ Пусть $L_{t}=A_{t}+B_{t}=S_{N_{t}+1}-S_{N_{t}}$ — длина интервала между поступлениями, покрывающего $t$.

Слияние пуассоновских потоков. Определим процесс $\left\{ N_{t}\right\}$ формулой (23.5) для последовательности $\left\{ X_{n}\right\}$ случайных величин, удовлетворяющей (23.4). Пусть $\left\{ X_{n}^{\prime }\right\}$ — вторая последовательность случайных величин на том же вероятностном пространстве, удовлетворяющая (23.4), и определим $\left\{ N_{l}^{\prime }\right\}$ формулой $N_{t}^{t}=\max \left[n: X_{1}^{\prime }+\cdots +X_{n}^{\prime } \leq t\right]$. Определим $\left\{ N_{t}^{\prime \prime }\right\}$ формулой $N_{t}^{\prime \prime }=N_{t}+N_{t}^{\prime }$. Покажите, что если $\sigma \left(X_{1}, X_{2}, \ldots \right)$ и $\sigma \left(X_{1}^{\prime }, X_{2}^{\prime }, \ldots \right)$ независимы и $\left\{ N_{t}\right\}$ и $\left\{ N_{t}^{\prime }\right\}$ — пуассоновские процессы с интенсивностями $\alpha$ и $\beta$ соответственно, то $\left\{ N_{t}^{\prime \prime }\right\}$ — пуассоновский процесс с интенсивностью $\alpha +\beta$.

$\uparrow$ $n$-е и $(n+1)$-е события в процессе $\left\{ N_{t}\right\}$ происходят в моменты $S_{n}$ и $S_{n+1}$.

Предположим, что $X_{1}, X_{2}, \ldots$ независимы и экспоненциально распределены с параметром $\alpha$, так что (23.5) определяет пуассоновский процесс $\left\{ N_{t}\right\}$. Предположим, что $Y_{1}, Y_{2}, \ldots$ независимы и одинаково распределены и что $\sigma \left(X_{1}, X_{2}, \ldots \right)$ и $\sigma \left(Y_{1}, Y_{2}, \ldots \right)$ независимы. Положим $Z_{1}=\Sigma_{k \leq N_{t}} Y_{k}$. Это составной пуассоновский процесс. Если, например, событие в момент $S_{n}$ в исходном процессе представляет страховое требование, а $Y_{n}$ представляет размер требования, то $Z_{t}$ представляет суммарные требования до момента $t$,

Предположим, что процесс удовлетворяет Условию $0^{\circ }$ и имеет независимые, пуассоновски распределённые приращения и не имеет фиксированных разрывов. Покажите, что он имеет вид $\left\{ N_{\varphi (1)}\right\}$, где $\left(N_{t}\right)$ — стандартный пуассоновский процесс, а $\varphi$ — неубывающая непрерывная функция на $[0, \infty )$ с $\varphi (0)=0$.

Если времена ожидания $X_{n}$ независимы и экспоненциально распределены с параметром $\alpha$, то $S_{n} / n \rightarrow \alpha^{-1}$ с вероятностью 1 по усиленному закону больших чисел. Из $\lim_{t \rightarrow \infty } N_{t}=\infty$ и $S_{N_{t}} \leq t<S_{N_{t}+1}$ выведите, что $\lim_{t \rightarrow \infty } N_{t} / t= \alpha$ с вероятностью 1.

20.723 .10 ↑ Рассмотрите возвратную неприводимую марковскую цепь, и для фиксированного состояния $j$ пусть $N_{n}$ — число прохождений через $j$ до момента $n$. Покажите, что $N_{n} / n \rightarrow 1 / m$ с вероятностью 1, где $m=\sum_{k=1}^{\infty } k f_{j j}^{(k)}$ — математическое ожидание времени возврата (замените $1 / m$ на 0, если это математическое ожидание бесконечно). См. Лемму 3 в Разделе 8.

Предположим, что $X$ и $Y$ имеют распределения Пуассона с параметрами $\alpha$ и $\beta$. Покажите, что $\left|P[X=i]-P[Y=i]\right| \leq \left|\alpha -\beta \right|$. Указание: Предположим, что $\alpha <\beta$, и представьте $Y$ как $X+D$, где $X$ и $D$ независимы и имеют распределения Пуассона с параметрами $\alpha$ и $\beta -\alpha$.

↑ Используйте методы из доказательства Теоремы 23.2, чтобы показать, что ошибка в (23.15) равномерно по $i$ ограничена величиной $\left|\lambda -\lambda_{n}\right|+\lambda_{n} \max_{k} p_{n k}$.