Слабая сходимость

$14.8 \uparrow$ Приведите простое доказательство теоремы Гливенко—Кантелли (Теорема 20.6) при дополнительном предположении, что $F$ непрерывна.

Начальные цифры.

Покажите, что для каждой вероятностной меры $\mu$ на прямой существуют вероятностные меры $\mu_{n}$ с конечным носителем такие, что $\mu_{n} \Rightarrow \mu$. Покажите далее, что $\mu_{n}\left\{ x\right\}$ можно взять рациональным и что каждую точку носителя можно взять рациональной. Таким образом, существует счётное множество вероятностных мер такое, что каждая $\mu$ является слабым пределом некоторой последовательности из этого множества. Таким образом, пространство функций распределения сепарабельно в метрике Леви (см. Задачу 14.5).

Покажите, что (25.5) влечёт $P\left([X \leq x] \Delta \left[X_{n} \leq x\right]\right) \rightarrow 0$, если $P[X=x]=0$.

Для произвольных случайных величин $X_{n}$ существуют положительные константы $a_{n}$ такие, что $a_{n} X_{n} \Rightarrow 0$.

Обобщите Пример 25.8, показав для трёхмерных случайных векторов $(A_{n}, B_{n}, X_{n})$ и констант $a$ и $b, a \geq 0$, что если $A_{n} \Rightarrow a, B_{n} \Rightarrow b$ и $X_{n} \Rightarrow X$, то $A_{n} X_{n}+B_{n} \Rightarrow a X+b$. Указание: Сначала покажите, что если $Y_{n} \Rightarrow Y$ и $D_{n} \Rightarrow 0$, то $D_{n} Y_{n} \Rightarrow 0$.

Предположим, что $X_{n} \Rightarrow X$ и $h_{n}$ и $h$ — борелевские функции. Пусть $E$ — множество тех $x$, для которых $h_{n} x_{n} \rightarrow h x$ не выполняется для некоторой последовательности $x_{n} \rightarrow x$. Предположим, что $E \in \mathscr {R}^{1}$ и $P[X \in E]=0$. Покажите, что $h_{n} X_{n} \Rightarrow h X$.

Предположим, что распределения случайных величин $X_{n}$ и $X$ имеют плотности $f_{n}$ и $f$. Покажите, что если $f_{n}(x) \rightarrow f(x)$ для $x$ вне множества лебеговой меры 0, то $X_{n} \Rightarrow X$.

$\uparrow$ Предположим, что $X_{n}$ принимает в качестве значений $\gamma_{n}+k \delta_{n}, k=0, \pm 1, \ldots$, где $\delta_{n}>0$. Предположим, что $\delta_{n} \rightarrow 0$ и что, если $k_{n}$ — целое число, меняющееся вместе с $n$ таким образом, что $\gamma_{n}+k_{n} \delta_{n} \rightarrow x$, то $P\left[X_{n}=\gamma_{n}+k_{n} \delta_{n}\right] \delta_{n}^{-1} \rightarrow f(x)$, где $f$ — плотность случайной величины $X$. Покажите, что $X_{n} \Rightarrow X$.

$\uparrow$ Пусть $S_{n}$ имеет биномиальное распределение с параметрами $n$ и $p$. Примем как известное, что

если $\left(k_{n}-n p\right)(n p(1-p))^{-1 / 2} \rightarrow x$. Выведите теорему Муавра—Лапласа: $\left(S_{n}\right. -n p)(n p(1-p))^{-1 / 2} \Rightarrow N$, где $N$ имеет стандартное нормальное распределение. Это частный случай центральной предельной теоремы; см. Раздел 27.

Докажите слабую сходимость в Примере 25.3, используя Теорему 25.8 и теорию интеграла Римана.

$\uparrow$ Пусть $\mu$ — мера Лебега, ограниченная на единичный интервал; пусть $\mu_{n}$ соответствует массе $x_{n, i}-x_{n, i-1}$ в некоторой точке из ( $x_{n, i-1}, x_{n, i}$ ], где $0=x_{n 0} <x_{n 1}<\cdots <x_{n n}=1$. Покажите, рассматривая функции распределения, что $\mu_{n} \Rightarrow \mu$, если $\max_{i<n}\left(x_{n, i}-x_{n, i-1}\right) \rightarrow 0$. Выведите, что ограниченная борелевская функция, непрерывная почти всюду на единичном интервале, интегрируема по Риману. См. Задачу 17.1.

$2.185 .19 \uparrow$ Функция $f$ положительных целых чисел имеет функцию распределения $F$, если $F$ является слабым пределом функции распределения $P_{n}[m: f(m) \leq x]$ величины $f$ относительно меры, имеющей вероятность $1 / n$ в каждой из точек $1, \ldots , n$ (см. 2.34)). В этом случае $D[m: f(m) \leq x]=F(x)$ (см. (2.35)) для точек непрерывности $x$ функции $F$. Покажите, что $\varphi (m) / m$ (см. (2.37)) имеет распределение:

Для $A \in \mathscr {R}^{1}$ и $T>0$ положим $\lambda_{T}(A)=\lambda ([-T, T] \cap A) / 2 T$, где $\lambda$ — мера Лебега. Относительной мерой $A$ называется

при условии, что этот предел существует. Это непрерывный аналог плотности (см. (2.35)) для множеств целых чисел. Борелевская функция $f$ имеет распределение относительно $\lambda_{T}$; если оно слабо сходится к $F$, то

для точек непрерывности $u$ функции $F$, и $F$ называется функцией распределения $f$. Покажите, что все периодические функции имеют распределения.

Предположим, что $\sup_{n} \int f d \mu_{n}<\infty$ для неотрицательной $f$ такой, что $f(x) \rightarrow \infty$ при $x \rightarrow \pm \infty$. Покажите, что $\left\{ \mu_{n}\right\}$ плотно.

$23.4 \uparrow$ Покажите, что случайные величины $A_{t}$ и $L_{t}$ из Задач 23.3 и 23.4 сходятся по распределению. Покажите, что моменты сходятся.

В приложениях Теоремы 9.2 на самом деле требуется лишь более слабый результат: для каждого $K$ существует положительное $\alpha =\alpha (K)$ такое, что если $E[X]=0, E\left[X^{2}\right]=1$ и $E\left[X^{4}\right] \leq K$, то $P[X \geq 0] \geq \alpha$. Докажите это, используя плотность и следствие из Теоремы 25.12.

Найдите равномерно интегрируемые случайные величины $X_{n}$, для которых не существует интегрируемой $Z$, удовлетворяющей $P\left[\left|X_{n}\right| \geq t\right] \leq P[\left|Z\right| \geq t]$ при $t>0$.