Характеристические функции

Случайная величина имеет решётчатое распределение, если для некоторых $a$ и $b, b>0$, решётка $[a+n b: n=0, \pm 1, \ldots ]$ является носителем распределения $X$. Пусть $X$ имеет характеристическую функцию $\varphi$.

Если $\mu (-\infty , x]=\mu [-x, \infty )$ для всех $x$ (что влечёт $\mu (A)=\mu (-A)$ для всех $A \in \mathscr {R}^{1}$), то $\mu$ называется симметричной. Покажите, что это выполняется тогда и только тогда, когда характеристическая функция вещественна.

Рассмотрите функции $\varphi$, которые вещественны и неотрицательны и удовлетворяют $\varphi (-t)= \varphi (t)$ и $\varphi (0)=1$.

$\uparrow$ Пусть $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$ — характеристические функции, и покажите, что множество $A=[t$ : $\left.\varphi_{1}(t)=\varphi_{2}(t)\right]$ замкнуто, содержит 0 и симметрично относительно 0. Покажите, что любое множество с этими тремя свойствами может быть таким $A$. Что это говорит о теореме единственности?

Покажите с помощью Теоремы 26.1 и интегрирования по частям, что если $\mu$ имеет плотность $f$ с интегрируемой производной $f^{\prime }$, то $\varphi (t)=o\left(t^{-1}\right)$ при $\left|t\right| \rightarrow \infty$. Распространите на производные более высоких порядков.

Покажите для независимых случайных величин, равномерно распределённых на $(-1,+1)$, что $X_{1}+\cdots +X_{n}$ имеет плотность $\pi^{-1} \int_{0}^{\infty }((\sin t) / t)^{n} \cos t x d t$ при $n \geq 2$.

21.17 Теорема единственности для производящих функций моментов. Предположим, что $F$ имеет производящую функцию моментов на $\left(-s_{0}, s_{0}\right), s_{0}>0$. Исходя из того, что $\int_{-\infty }^{\infty } e^{z x} d F(x)$ аналитична в полосе $-s_{0}<\operatorname {Re} z<s_{0}$, докажите, что производящая функция моментов определяет $F$. Покажите, что достаточно, чтобы производящая функция моментов существовала на $\left[0, s_{0}\right), s_{0}>0$.

21.2026 .7 ↑ Покажите, что гамма-плотность (20.47) имеет характеристическую функцию

где логарифм берётся в смысле главной части. Покажите, что $\int_{0}^{\infty } e^{z x} f(x ; \alpha , u) d x$ аналитична при $\operatorname {Re} z<\alpha$.

С помощью характеристических функций дайте простое доказательство того, что семейство распределений Коши, определяемых формулой (20.45), замкнуто относительно свёртки; сравните с рассуждением в Задаче 20.14(a). Сделайте то же самое для нормального распределения (сравните с Примером 20.6), а также для распределения Пуассона и гамма-распределения.

Предположим, что $F_{n} \Rightarrow F$ и что характеристические функции мажорируются интегрируемой функцией. Покажите, что $F$ обладает плотностью, являющейся пределом плотностей $F_{n}$.

Покажите, что для всех $a$ и $b$ правая часть (26.16) равна $\mu (a, b)+\frac{1}{2} \mu \left\{ a\right\} +\frac{1}{2} \mu$

Рассуждением того же типа, что привело к (26.16), покажите, что

$\uparrow$ Пусть $x_{1}, x_{2}, \ldots$ — точки положительной $\mu$-меры. С помощью следующих шагов докажите, что

Пусть $X$ и $Y$ независимы и имеют характеристическую функцию $\varphi$.

$\uparrow$ Покажите, что $\mu$ не имеет точечных масс, если $\varphi^{2}(t)$ интегрируема.

14.5 26.15 ↑ Для функций распределения $F$ и $G$ определим $d^{\prime }(F, G)= \sup_{,}\left|\varphi (t)-\psi (t)\right| /(1+\left|t\right|)$, где $\varphi$ и $\psi$ — соответствующие характеристические функции. Покажите, что это метрика, эквивалентная метрике Леви.

$25.16 \dagger$ Вещественная функция $f$ имеет среднее значение

при условии, что $f$ интегрируема на каждом $[-T, T]$ и предел существует.

Предположим, что $X$ иррационально с вероятностью 1. Пусть $\mu_{n}$ — распределение дробной части $\left\{ n X\right\}$. Используя теорему непрерывности и Теорему 25.1, покажите, что $n^{-1} \sum_{k=1}^{n} \mu_{k}$ слабо сходится к равномерному распределению на $[0,1]$.

$25.13 \uparrow$ Теорема единственности для характеристических функций может быть выведена из теоремы Вейерштрасса об аппроксимации. Восполните детали следующего рассуждения. Пусть $\mu$ и $\nu$ — вероятностные меры на прямой. Для непрерывной $f$ с ограниченным носителем выберите $a$ так, чтобы $\mu (-a, a)$ и $\nu (-a, a)$ были близки к 1, а $f$ обращалась в 0 вне $(-a, a)$. Пусть $g$ периодична и совпадает с $f$ на $(-a, a)$; по теореме Вейерштрасса равномерно приблизьте $g(x)$ тригонометрической суммой $p(x)=\sum_{k=1}^{N} a_{k} e^{i i_{k} x}$. Если $\mu$ и $\nu$ имеют одинаковую характеристическую функцию, то $\int f d \mu \approx \int g d \mu \approx \int p d \mu =\int p d \nu \approx \int g d \nu \approx \int f d \nu$.

Используя теорему непрерывности, докажите результат из Примера 25.2 о сходимости биномиального распределения к распределению Пуассона.

Согласно Примеру 25.8, если $X_{n} \Rightarrow X, a_{n} \rightarrow a$ и $b_{n} \rightarrow b$, то $a_{n} X_{n}+b_{n} \Rightarrow a X+b$. Докажите это с помощью характеристических функций.

$26.126 .15 \uparrow$ Согласно Теореме 14.2, если $X_{n} \Rightarrow X$ и $a_{n} X_{n}+b_{n} \Rightarrow Y$, где $a_{n}>0$, а распределения $X$ и $Y$ невырождены, то $a_{n} \rightarrow a>0, b_{n} \rightarrow b$, и $a X+b$ и $Y$ имеют одинаковое распределение. Докажите это с помощью характеристических функций. Пусть $\varphi_{n}, \varphi , \psi$ — характеристические функции $X_{n}, X, Y$.

Докажите теорему непрерывности для производящих функций моментов, определённых формулой (22.4), для вероятностных мер на $[0, \infty )$. О единственности см. Теорему 22.2; аналогом (26.22) служит

$26.4 \uparrow$ Приведите пример, показывающий, что значения $\varphi (m)$ характеристической функции в целочисленных точках могут не определять распределение, если оно не сосредоточено на $[0,2 \pi ]$.

Пусть $f$ интегрируема на $[0,2 \pi ]$; определим её коэффициенты Фурье как $\int_{0}^{2 \pi } e^{i m x} f(x) d x$. Покажите, что эти коэффициенты однозначно определяют $f$ с точностью до множеств меры 0.

$19.826 .25 \uparrow$ Покажите, что тригонометрическая система (19.17) полна.

Аналогом условия (26.19) для рядов Фурье служит $\sum_{m}\left|c_{m}\right|<\infty$. Покажите, что из него следует, что $\mu$ обладает плотностью $f(x)=(2 \pi )^{-1} \sum_{m} c_{m} e^{-i m x}$ на $[0,2 \pi ]$, причём $f$ непрерывна и $f(0)=f(2 \pi )$. Это аналог формулы обращения (26.20).

↑ Покажите, что

Покажите, что $\sum_{m=1}^{\infty } 1 / m^{2}=\pi^{2} / 6$ и $\sum_{m=1}^{\infty }(-1)^{m+1} / m^{2}=\pi^{2} / 12$.

$26.25 \uparrow$ Теория рядов Фурье может быть перенесена с $[0,2 \pi ]$ на единичную окружность в комплексной плоскости с нормированной круговой мерой Лебега $P$. Круговые функции $e^{i m x}$ переходят в степени $\omega^{m}$, и интегрируемая функция $f$ определяется с точностью до множеств меры 0 своими коэффициентами Фурье $c_{m}= \int_{\Omega } \omega^{m} f(\omega ) P(d \omega )$. Предположим, что $A$ инвариантно относительно поворота на угол $\arg c$ (Пример 24.4). Найдите соотношение для коэффициентов Фурье $I_{A}$ и заключите, что поворот эргодичен, если $c$ не является корнем из единицы. Сравните с доказательством на с. 316.