Банк задач по математике

Задача 28.1

Покажите, что $\mu_{n} \rightarrow_{1} \mu$ влечёт $\mu \left(R^{1}\right) \leq \liminf_{n} \mu_{n}\left(R^{1}\right)$ . Таким образом, при расплывчатой сходимости масса может «уходить на бесконечность», но не может «приходить с бесконечности».

?

Задача 28.2

(a)(b)

?

(a)

Покажите, что $\mu_{n} \rightarrow , \mu$ тогда и только тогда, когда (28.2) выполняется для каждой непрерывной $f$ с ограниченным носителем.

(b)

Покажите, что если $\mu_{n} \rightarrow , \mu$ , но (28.1) не выполняется, то существует непрерывная $f$ , обращающаяся в 0 на $\pm \infty$ , для которой (28.2) не выполняется.

Задача 28.3

(a)(b)(c)

23.7 ↑ Предположим, что $N, Y_{1}, Y_{2}, \ldots$ независимы, $Y_{n}$ имеют общую функцию распределения $F$ , а $N$ имеет распределение Пуассона со средним $\alpha$ . Тогда $S=Y_{1}+\cdots +Y_{N}$ имеет сложное пуассоновское распределение.

?

(a)

Покажите, что распределение $S$ безгранично делимо. Заметьте, что у $S$ может не быть математического ожидания.

(b)

Функция распределения $S$ равна $\Sigma_{n=0}^{\infty } e^{-\alpha } \alpha^{n} F^{n *}(x) / n!$ , где $F^{n *}$ — $n$ -кратная свёртка $F$ (единичный скачок в 0 при $n=0$ ). Характеристическая функция $S$ равна $\exp \alpha \int_{-\infty }^{\infty }\left(e^{i t x}-1\right) d F(x)$ .

(c)

Покажите, что если $F$ имеет среднее 0 и конечную дисперсию, то каноническая мера $\mu$ в (28.6) задаётся формулой $\mu (A)=\alpha \int_{A} x^{2} d F(x)$ .

Задача 28.4

(a)(b)

?

(a)

Пусть $\nu$ — конечная мера, и определим

\varphi (t)=\exp \left[i \gamma t+\int _{-\infty }^{\infty }\left(e^{i t x}-1-\frac{i t x}{1+x^{2}}\right) \frac{1+x^{2}}{x^{2}} \nu (d x)\right], \tag {28.12}

где подынтегральное выражение равно $-t^{2} / 2$ в начале координат. Покажите, что это характеристическая функция некоторого безгранично делимого распределения.

(b)

Покажите, что распределение Коши (см. таблицу на с. 348) — это случай, когда $\gamma =0$ , а $\nu$ имеет плотность $\pi^{-1}\left(1+x^{2}\right)^{-1}$ относительно меры Лебега.

Задача 28.5

Покажите, что распределения Коши, экспоненциальное и гамма-распределение (см. (20.47)) безгранично делимы.

?

Задача 28.6

(a)(b)(c)

Найдите каноническое представление (28.6) экспоненциального распределения со средним 1:

?

(a)

Характеристическая функция равна $\int_{0}^{\infty } e^{i t x} e^{-x} d x=(1-i t)^{-1}=\varphi (t)$ .

(b)

Покажите (используя главную ветвь логарифма или же действуя формально для данного момента), что $d(\log \varphi (t)) / d t=i \varphi (t)=i \int_{0}^{\infty } e^{i t x} e^{-x} d x$ . Проинтегрируйте по $t$ , чтобы получить

\frac{1}{1-i t}=\exp \int _{0}^{\infty }\left(e^{i t x}-1\right) \frac{e^{-x}}{x} d x \tag {28.13}

Проверьте ( 2813 ) впоследствии, показав, что производная отношения двух частей равна 0.

(c)

Умножьте (28.13) на $e^{-i t}$ , чтобы центрировать экспоненциальное распределение по его среднему: каноническая мера $\mu$ имеет плотность $x e^{-x}$ на $(0, \infty )$ .

Задача 28.7

$\uparrow$ Если $X$ и $Y$ независимы и каждая имеет экспоненциальную плотность $e^{-x}$ , то $X-Y$ имеет двойную экспоненциальную плотность $\frac{1}{2} e^{-\left|x\right|}$ (см. таблицу на с. 348). Покажите, что её характеристическая функция равна

\frac{1}{1+t^{2}}=\exp \int _{-\infty }^{\infty }\left(e^{i t x}-1-i t x\right) \frac{1}{x^{2}}\left|x\right| e^{-\left|x\right|} d x

?

Задача 28.8

$\uparrow$ Предположим, что $X_{1}, X_{2}, \ldots$ независимы и каждая имеет двойную экспоненциальную плотность. Покажите, что $\sum_{n=1}^{\infty } X_{n} / n$ сходится с вероятностью 1. Покажите, что распределение суммы безгранично делимо и что его каноническая мера имеет плотность $|x| e^{-|x|} /\left(1-e^{-|x|}\right)=\sum_{n=1}^{\infty }|x| e^{-|n x|}$ .

?

Задача 28.9

$26.8 \uparrow$ Покажите, что для гамма-плотности $e^{-x} x^{u-1} / \Gamma (u)$ каноническая мера имеет плотность uxe $e^{-x}$ на $(0, \infty )$ .

Остальные задачи требуют понятия устойчивого закона. Функция распределения $F$ называется устойчивой, если для каждого $n$ существуют такие константы $a_{n}$ и $b_{n}, a_{n}>0$ , что если $X_{1}, \ldots , X_{n}$ независимы и имеют функцию распределения $F$ , то $a_{n}^{-1}\left(X_{1}\right. \left.+\cdots +X_{n}\right)+b_{n}$ также имеет функцию распределения $F$ .

?

Задача 28.10

Предположим, что для всех $a, a^{\prime }, b, b^{\prime }$ существуют такие $a^{\prime \prime }, b^{\prime \prime }$ (здесь $a, a^{\prime }, a^{\prime \prime }$ все положительны), что $F(a x+b) * F\left(a^{\prime } x+b^{\prime }\right)=F\left(a^{\prime \prime } x+b^{\prime \prime }\right)$ . Покажите, что $F$ устойчива.

?

Задача 28.11

Покажите, что устойчивый закон безгранично делим.

?

Задача 28.12

Покажите, что закон Пуассона, хотя и безгранично делим, не является устойчивым.

?

Задача 28.13

Покажите, что нормальный закон и закон Коши устойчивы.

?

Задача 28.14

28.10 ↑ Предположим, что $F$ имеет среднее 0 и дисперсию 1 и что зависимость $a^{\prime \prime }, b^{\prime \prime }$ от $a, a^{\prime }, b, b^{\prime }$ такова, что

F\left(\frac{x}{\sigma _{1}}\right) * F\left(\frac{x}{\sigma _{2}}\right)=F\left(\frac{x}{\sqrt{\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}}\right)

Покажите, что $F$ — стандартное нормальное распределение.

?

Задача 28.15

(a)(b)

?

(a)

Пусть $Y_{n k}$ — независимые случайные величины, имеющие распределение Пуассона со средним $c n^{\alpha } /|k|^{1+\alpha }$ , где $c>0$ и $0<\alpha <2$ . Пусть $Z_{n}=n^{-1} \sum_{k=-n^{2}}^{n^{2}} k Y_{n k}$ (в сумме $k=0$ опускается); покажите, что при надлежащем выборе $c$ характеристическая функция $Z_{n}$ сходится к $e^{-| |^{\alpha }}$ .

(b)

Покажите, что при $0<\alpha \leq 2$ функция $e^{-\left.\mu \right|^{\alpha }}$ является характеристической функцией симметричного устойчивого распределения; оно называется симметричным устойчивым законом с показателем $\alpha$ . Случай $\alpha =2$ — это нормальный закон, а $\alpha =1$ — закон Коши.

Безгранично делимые распределения*