Производные на прямой*

Обобщите Примеры 31.1 и 31.3: пусть $p_{0}, \ldots , p_{r-1}$ — неотрицательные числа, дающие в сумме 1, где $r \geq 2$; предположим, что нет такого $i$, что $p_{i}=1$. Пусть $X_{1}$, $X_{2}, \ldots$ — независимые, одинаково распределённые случайные величины, такие что $P\left[X_{n}=i\right]=p_{i}, 0 \leq i<r$, и положим $X=\sum_{n=1}^{\infty } X_{n} r^{-n}$. Пусть $F$ — функция распределения $X$. Покажите, что $F$ непрерывна. Покажите, что $F$ строго возрастает на единичном интервале тогда и только тогда, когда все $p_{i}$ строго положительны. Покажите, что $F(x) \equiv x$ при $0 \leq x \leq 1$, если $p_{i} \equiv r^{-1}$, и что в противном случае $F$ сингулярна; докажите сингулярность, обобщив рассуждения как из Примера 31.1, так и из Примера 31.3. Каков аналог (31.17)?

$\uparrow$ В Задаче 31.1 возьмите $r=3$ и $p_{0}=p_{2}=\frac{1}{2}, p_{1}=0$. Соответствующая $F$ называется функцией Кантора. Дополнение в $[0,1]$ множества Кантора (см. Задачи 1.5 и 3.16) состоит из среднего третьего интервала $\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)$, средних третей $\left(\frac{1}{9}, \frac{2}{9}\right)$ и $\left(\frac{7}{9}, \frac{8}{9}\right)$, и так далее. Покажите, что $F$ равна $\frac{1}{2}$ на первом из этих интервалов, $\frac{1}{4}$ на втором, $\frac{3}{4}$ на третьем, и так далее. Покажите непосредственным рассуждением, что $F^{\prime }=0$ всюду, кроме множества лебеговой меры 0.

Вещественная функция $f$ вещественной переменной является лебеговой функцией, если $[x: f(x) \leq \alpha ]$ — лебегово множество при каждом $\alpha$.

$\uparrow$ Произвольная функция $f$ на $(0,1]$ может быть представлена как композиция лебеговой функции $f_{1}$ и борелевской функции $f_{2}$. Для $x$ из $(0,1]$ пусть $d_{n}(x)$ — $n$-я цифра в её бесконечном двоичном разложении, и определим $f_{2}(x)= \sum_{n=1}^{\infty } 2 d_{n}(x) / 3^{n}$. Покажите, что $f_{2}$ возрастает и что $f_{2}(0,1]$ содержится в множестве Кантора. Пусть $f_{1}(x)$ равна $f\left(f_{2}^{-1}(x)\right)$, если $x \in f_{2}(0,1]$, и 0, если $x \in (0,1]-f_{2}(0,1]$. Теперь покажите, что $f=f_{1} f_{2}$.

Пусть $r_{1}, r_{2}, \ldots$ — некоторая нумерация рациональных чисел в $(0,1)$, и положим $F(x)= \Sigma_{k r_{k} \leq x} 2^{-k}$. Определите $\varphi$ формулой (14.5) и докажите, что она непрерывна и сингулярна.

Предположим, что $\mu$ и $F$ связаны соотношением (31.18). Если $F$ не абсолютно непрерывна, то $\mu (A)>0$ для некоторого множества $A$ лебеговой меры 0. Интересен, однако, тот факт, что почти все сдвиги $A$ должны иметь $\mu$-меру 0. Используя теорему Фубини и тот факт, что $\lambda$ инвариантна относительно сдвига и отражения через 0, покажите, что если $\lambda (A)=0$ и $\mu$ $\sigma$-конечна, то $\mu (A+x)=0$ для $x$ вне некоторого множества лебеговой меры 0.

$17.431 .6 \uparrow$ Покажите, что $F$ абсолютно непрерывна тогда и только тогда, когда для каждого борелевского множества $A$ функция $\mu (A+x)$ непрерывна по $x$.

Пусть $F_{*}(x)=\lim_{\delta \rightarrow 0} \inf (F(v)-F(u)) /(v-u)$, где инфимум берётся по $u$ и $v$, таким что $u<x<v$ и $v-u<\delta$. Определим $F^{*}(x)$ как этот же предел с инфимумом, заменённым супремумом. Покажите, что в Теореме 31.4 $F^{\prime }$ может быть заменена на $F^{*}$ в пункте (i) и на $F_{*}$ в пункте (ii). Покажите, что в Теореме 31.6 ${ }_{F} D$ может быть заменена на $F_{*}$ (заметьте, что $F_{*}(x) \leq { }_{F} D(x)$ ).

Теорема Лебега о плотности. Точка $x$ называется точкой плотности борелевского множества $A$, если $\lambda ((u, v] \cap A) /(v-u) \rightarrow 1$ при $u \uparrow x$ и $v \downarrow x$. Из Теорем 31.2 и 31.4 выведите, что почти все точки $A$ являются точками плотности. Аналогично, $\lambda ((u, v] \cap A) /(v-u) \rightarrow 0$ почти всюду на $A^{c}$.

Пусть $f:[a, b] \rightarrow R^{k}$ — дуга; $f(t)=\left(f_{1}(t), \ldots , f_{k}(t)\right)$. Покажите, что дуга спрямляема тогда и только тогда, когда каждая $f_{i}$ имеет ограниченную вариацию на $[a, b]$.

$\uparrow$ Предположим, что $F$ непрерывна и не убывает и что $F(0)=0$, $F(1)=1$. Тогда $f(x)=(x, F(x))$ задаёт дугу $f:[0,1] \rightarrow R^{2}$. Легко видеть из монотонности, что дуга спрямляема и что, более того, её длина удовлетворяет $L(f) \leq 2$. Также легко, при заданном $\epsilon$, построить функции $F$, для которых $L(f)>2-\epsilon$. Покажите с помощью рассуждений из доказательства Теоремы 31.4, что $L(f)=2$, если $F$ сингулярна.

Предположим, что характеристическая функция $F$ удовлетворяет $\limsup_{t \rightarrow \infty }\left|\varphi (t)\right|=1$. Покажите, что $F$ сингулярна. Сравните со случаем решётчатого распределения (Задача 26.1). Указание: используйте разложение Лебега и теорему Римана—Лебега.

Предположим, что $X_{1}, X_{2}, \ldots$ независимы и принимают значения $\pm 1$ с вероятностью $\frac{1}{2}$ каждое, и пусть $X=\sum_{n=1}^{\infty } X_{n} / 2^{n}$. Покажите, что $X$ равномерно распределена на $[-1,+1]$. Вычислите характеристические функции $X$ и $X_{n}$ и выведите (1.40). Обратно, установите (1.40) с помощью тригонометрии и заключите, что $X$ равномерно распределена на $[-1,+1]$.

31.2 ↑ Show that the Cantor function is the distribution function of $\sum_{n=1}^{\infty } X_{n} / 3^{n}$, where the $X_{n}$ are independent and assume the values 0 and 2 with probability $\frac{1}{2}$ each. Express its characteristic function as an infinite product.

Show for the $F$ of Example 31.1 that ${ }_{F} D(1)=\infty$ and $D^{F}(0)=0$ if $p_{0}<\frac{1}{2}$. From (3117) deduce that ${ }_{F} D(x)=\infty$ and $D^{F}(x)=0$ for all dyadic rationals $x$. Analyze the case $p_{0}>\frac{1}{2}$ and sketch the graph

$6.14 \uparrow$ Let $F$ be as in Example 31.1, and let $\mu$ be the corresponding probability measure on the unit interval. Let $d_{n}(x)$ be the $n$th digit in the nonterminating binary expansion of $x$, and let $s_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n} d_{k}(x)$. If $I_{n}(x)$ is the dyadic interval of order $n$ containing $x$, then

van der Waerden's continuous, nowhere differentiable function is $f(x)= \sum_{k=0}^{\infty } a_{k}(x)$, where $a_{0}(x)$ is the distance from $x$ to the nearest integer and $a_{k}(x)=2^{-k} a_{0}\left(2^{k} x\right)$. Show by the Weierstrass $M$-test that $f$ is continuous. Use (31.8) and the ideas in Example 31.1 to show that $f$ is nowhere differentiable. ${ }^{\dagger }$ A Lipschitz condition of order $\alpha$ holds at $x$ if $F(x+h)-F(x)=O\left(|h|^{\alpha }\right)$ as $h \rightarrow 0$, for $\alpha >1$ this implies $F^{\prime }(x)=0$, and for $0<\alpha <1$ it is a smoothness condition stronger than continuity and weaker than differentiability.

Show (see (31.31)) that (apart from addition of constants) a function can have only one representation $F_{1}+F_{2}$ with $F_{1}$ absolutely continuous and $F_{2}$ singular.

Show that the $F_{\mathrm{s}}$ in the Lebesgue decomposition can be further split into $F_{\mathrm{d}}+F_{\mathrm{cs}}$, where $F_{\mathrm{cs}}$ is continuous and singular and $F_{\mathrm{d}}$ increases only in jumps in the sense that the corresponding measure is discrete. The complete decomposition is then $F=F_{\mathrm{ac}}+F_{\mathrm{cs}}+F_{\mathrm{d}}$.

$14.4 \uparrow$ If $f$ is nonnegative and Lebesgue integrable, then by Theorem 31.3 and (31.8), except for $x$ in a set of Lebesgue measure 0,

if $u \leq x \leq v, u<v$, and $u, v \rightarrow x$. There is an analogue in which Lebesgue measure is replaced by a general probability measure $\mu$ : If $f$ is nonnegative and integrable with respect to $\mu$, then as $h \downarrow 0$,

on a set of $\mu$-measure 1. Let $F$ be the distribution function corresponding to $\mu$, and put $\varphi (u)=\inf [x: u \leq F(x)]$ for $0<u<1$ (see (14.5)). Deduce (31.36) from (31.35) by change of variable and Problem 14.4.