Теорема Радона—Никодима

There are two ways to show that the convergence in (32.1) must be absolute: Use the Jordan decomposition. Use the fact that a series converges absolutely if it has the same sum no matter what order the terms are taken in.

If $A^{+} \cup A^{-}$is a Hahn decomposition of $\varphi$, there may be other ones $A_{1}^{+} \cup A_{1}^{-}$. Construct an example of this. Show that there is uniqueness to the extent that $\varphi \left(A^{+} \Delta A_{1}^{+}\right)=\varphi \left(A^{-} \Delta A_{1}^{-}\right)=0$.

Show that absolute continuity does not imply the $\epsilon -\delta$ condition (32.4) if $\nu$ is infinite. Hint. Let $\mathscr {F}$ consist of all subsets of the space of integers, let $\nu$ be counting measure, and let $\mu$ have mass $n^{-2}$ at $n$. Note that $\mu$ is finite and $\nu$ is $\sigma$-finite.

Show that the Radon-Nikodym theorem fails if $\mu$ is not $\sigma$-finite, even if $\nu$ is finite. Hint: Let $\mathscr {F}$ consist of the countable and the cocountable sets in an uncountable $\Omega$, let $\mu$ be counting measure, and let $\nu (A)$ be 0 or 1 as $A$ is countable or cocountable.

Let $\mu$ be the restriction of planar Lebesgue measure $\lambda_{2}$ to the $\sigma$-field $\mathscr {F}=\left\{ A \times R^{1}: A \in \mathscr {R}^{1}\right\}$ of vertical strips. Define $\nu$ on $\mathscr {F}$ by $\nu \left(A \times R^{1}\right)=\lambda_{2}(A \times (0,1))$. Show that $\nu$ is absolutely continuous with respect to $\mu$ but has no density. Why does this not contradict the Radon-Nikodym theorem?

Пусть $\mu , \nu$ и $\rho$ — $\sigma$-конечные меры на $(\Omega , \mathscr {F})$. Предположим, что производные Радона–Никодима здесь всюду неотрицательны и конечны.

Show that there is a Lebesgue decomposition (32.8) in the $\sigma$-finite as well as the finite case. Prove that it is unique.

The Radon-Nikodym theorem holds if $\mu$ is $\sigma$-finite, even if $\nu$ is not. Assume at first that $\mu$ is finite (and $\nu \ll \mu$ ).

Пусть $\mu$ и $\nu$ — конечные меры на $(\Omega , \mathscr {F})$, и пусть $\mathscr {F}^{\circ }$ — $\sigma$-алгебра, содержащаяся в $\mathscr {F}$. Тогда сужения $\mu^{\circ }$ и $\nu^{\circ }$ мер $\mu$ и $\nu$ на $\mathscr {F}^{\circ }$ являются мерами на $(\Omega , \mathscr {F}^{\circ })$. Пусть $\nu_{\mathrm{ac}}, \nu_{\mathrm{s}}, \nu_{\mathrm{ac}}^{\circ }, \nu_{\mathrm{s}}^{\circ }$ — соответственно абсолютно непрерывная и сингулярная части $\nu$ и $\nu^{\circ }$ относительно $\mu$ и $\mu^{\circ }$. Докажите, что $\nu_{\mathrm{ac}}^{\circ }(E) \geq \nu_{\mathrm{ac}}(E)$ и $\nu_{\mathrm{s}}^{\circ }(E) \leq \nu_{\mathrm{s}}(E)$ для $E \in \mathscr {F}^{\circ }$.

Предположим, что $\mu , \nu , \nu_{n}$ — конечные меры на $(\Omega , \mathscr {F})$ и что $\nu (A)=\sum_{n} \nu_{n}(A)$ для всех $A$. Пусть $\nu_{n}(A)=\int_{A} f_{n} d \mu +\nu_{n}^{\prime }(A)$ и $\nu (A)=\int_{A} f d \mu +\nu^{\prime }(A)$ — разложения (32.8); здесь $\nu^{\prime }$ и $\nu_{n}^{\prime }$ сингулярны относительно $\mu$. Докажите, что $f=\sum_{n} f_{n}$ всюду, кроме множества $\mu$-меры 0, и что $\nu^{\prime }(A)=\sum_{n} \nu_{n}^{\prime }(A)$ для всех $A$. Докажите, что $\nu \ll \mu$ тогда и только тогда, когда $\nu_{n} \ll \mu$ для всех $n$.

32.2 ↑ Абсолютная непрерывность функции множества $\varphi$ относительно меры $\mu$ определяется точно так же, как если бы $\varphi$ сама была мерой: $\mu (A)=0$ должно влечь $\varphi (A)=0$. Докажите, что если это выполняется и $\mu$ $\sigma$-конечна, то $\varphi (A)=\int_{A} f d \mu$ для некоторой интегрируемой $f$. Докажите, что $A^{+}=[\omega : f(\omega ) \geq 0]$ и $A^{-}=[\omega : f(\omega )<0]$ дают разложение Хана для $\varphi$. Докажите, что три вариации удовлетворяют $\varphi^{+}(A)= \int_{A} f^{+} d \mu , \varphi^{-}(A)=\int_{A} f^{-} d \mu$ и $\left|\varphi \right|(A)=\int_{A}\left|f\right| d \mu$. Указание: чтобы построить $f$, начните с (32.2).

$\uparrow$ Знакопеременная мера $\varphi$ — это функция множества, которая удовлетворяет (32.1), если $A_{1}, A_{2}, \ldots$ не пересекаются, и может принимать одно из значений $+\infty$ и $-\infty$, но не оба. Распространите разложения Хана и Жордана на знакопеременные меры

$31.22 \uparrow$ Предположим, что $\mu$ и $\nu$ — вероятностная мера и $\sigma$-конечная мера на прямой и что $\nu \ll \mu$. Докажите, что производная Радона-Никодима $f$ удовлетворяет

на множестве $\mu$-меры 1.

Найдите на единичном интервале несчётное множество вероятностных мер $\mu_{p}, 0<p<1$, с носителями $S_{p}$ такими, что $\mu_{p}\left\{ x\right\} =0$ для каждого $x$ и $p$, а $S_{p}$ попарно не пересекаются.

Пусть $\mathscr {F}_{0}$ — алгебра, состоящая из конечных и коконечных множеств в несчётном $\Omega$. Определим $\varphi$ на $\mathscr {F}_{0}$, полагая $\varphi (A)$ равным числу точек в $A$, если $A$ конечно, и минус числу точек в $A^{c}$, если $A$ коконечно. Докажите, что (32.1) выполняется (это неверно, если $\Omega$ счётно). Докажите, что для $\varphi$ не существует отрицательных множеств (кроме пустого), что не существует разложения Хана и что $\varphi$ не имеет ограниченной области значений.