Мартингалы

Предположим, что $\Delta_{1}, \Delta_{2}, \ldots$ независимы и имеют среднее 0. Пусть $X_{1}=\Delta_{1}$ и $X_{n+1}=X_{n}+\Delta_{n+1} f_{n}\left(X_{1}, \ldots , X_{n}\right)$, и предположим, что $X_{n}$ интегрируемы. Покажите, что $\left\{ X_{n}\right\}$ — мартингал. Мартингалы, возникающие в азартных играх, имеют именно такой вид.

Пусть $Y_{1}, Y_{2}, \ldots$ независимы, имеют среднее 0 и дисперсию $\sigma^{2}$. Пусть $X_{n}=\left(\sum_{k=1}^{n} Y_{k}\right)^{2}-n \sigma^{2}$; покажите, что $\left\{ X_{n}\right\}$ — мартингал.

Предположим, что $\left(Y_{n}\right)$ — марковская цепь с конечным пространством состояний и матрицей переходных вероятностей $\left[p_{i j}\right]$. Предположим, что $\sum_{j} p_{i j} x(j)=\lambda x(i)$ для всех $i$ (величины $x(i)$ — компоненты правого собственного вектора матрицы переходных вероятностей). Положим $X_{n}=\lambda^{-n} x\left(Y_{n}\right)$ и покажите, что $\left\{ X_{n}\right\}$ — мартингал.

Предположим, что $Y_{1}, Y_{2}, \ldots$ независимы, положительны и $E\left[Y_{n}\right]=1$. Положим $X_{n}=Y_{1} \cdots Y_{n}$.

Предположим, что $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — мартингал, удовлетворяющий $E\left[X_{1}\right]=0$ и $E\left[X_{n}^{2}\right]<\infty$. Покажите, что $E\left[\left(X_{n+r}-X_{n}\right)^{2}\right]=\sum_{k=1}^{r} E\left[\left(X_{n+k}-X_{n+k-1}\right)^{2}\right]$ (дисперсия суммы равна сумме дисперсий). Предположите, что $\sum_{n} E\left[\left(X_{n}-X_{n-1}\right)^{2}\right]<\infty$, и докажите, что $X_{n}$ сходится с вероятностью 1. Сделайте это сначала с помощью Теоремы 35.5, а затем (см. Теорему 22.6) с помощью Теоремы 35.3.

Покажите, что субмартингал $X_{n}$ можно представить в виде $X_{n}=Y_{n}+Z_{n}$, где $Y_{n}$ — мартингал, а $0 \leq Z_{1} \leq Z_{2} \leq \cdots$. Указание Возьмите $X_{0}=0$ и $\Delta_{n}=X_{n}-X_{n-1}$, и определите $Z_{n}=\sum_{k=1}^{n} E\left[\Delta_{k} \mid \mathscr {F}_{k-1}\right]\left(\mathscr {F}_{0}=\left\{ 0, \Omega \right\} \right)$.

Если $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — мартингал, ограниченный либо сверху, либо снизу, то $\sup_{n} E\left[\left|X_{n}\right|\right]<\infty$.

$\uparrow$ Пусть $X_{n}=\Delta_{1}+\cdots +\Delta_{n}$, где $\Delta_{n}$ независимы и принимают значения $\pm 1$ с вероятностью $\frac{1}{2}$ каждое. Пусть $\tau$ — наименьшее $n$, такое что $X_{n}=1$, и определим $X_{n}^{*}$ по формуле (35.19). Покажите, что предположения Теоремы 35.5 выполняются для $\left\{ X_{n}^{*}\right\}$, но что предельный переход под знаком интеграла невозможен. Указание: используйте (7.8) и Задачу 35.7.

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — мартингал, и предположим, что $\left|X_{1}(\omega )\right|$ и $\left|X_{n}(\omega )-X_{n-1}(\omega )\right|$ ограничены константой, не зависящей от $\omega$ и $n$. Пусть $\tau$ — момент остановки с конечным средним. Покажите, что $X_{\tau }$ интегрируема и что $E\left[X_{\tau }\right]=E\left[X_{1}\right]$.

$35.835 .9 \uparrow$ Используйте предыдущий результат, чтобы показать, что $\tau$ из Задачи 35.8 имеет бесконечное среднее. Таким образом, время ожидания до того момента, когда симметричное случайное блуждание сместится на один шаг вверх от начальной точки, имеет бесконечное математическое ожидание.

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — марковская цепь со счётным пространством состояний $S$ и переходными вероятностями $p_{i j}$. Функция $\varphi$ на $S$ называется эксцессивной, или супергармонической, если $\varphi (i) \geq \sum_{j} p_{t j} \varphi (j)$. Покажите с помощью теории мартингалов, что $\varphi \left(X_{n}\right)$ сходится с вероятностью 1, если $\varphi$ ограничена и эксцессивна. Выведите отсюда, что если цепь неприводима и возвратна, то $\varphi$ должна быть постоянной. Сравните с Задачей 8.34.

$\uparrow$ Функция $\varphi$ на целочисленной решётке в $R^{k}$ называется супергармонической, если для каждой точки решётки $x, \varphi (x) \geq (2 k)^{-1} \sum \varphi (y)$, где сумма берётся по $2 k$ ближайшим соседям $y$. Покажите для $k=1$ и $k=2$, что ограниченная супергармоническая функция постоянна. Покажите для $k \geq 3$, что существуют непостоянные ограниченные гармонические функции.

$32.732 .9 \uparrow$ Пусть $(\Omega , \mathscr {F}, P)$ — вероятностное пространство, пусть $\nu$ — конечная мера на $\mathscr {F}$, и предположим, что $\mathscr {F}_{n} \uparrow \mathscr {F}_{\infty } \subset \mathscr {F}$. Для $n \leq \infty$ пусть $X_{n}$ — производная Радона—Никодима относительно $P$ абсолютно непрерывной части $\boldsymbol {\nu }$, когда $P$ и $\nu$ обе ограничены на $\mathscr {F}_{n}$. Задача состоит в том, чтобы распространить Теорему 35.7, показав, что $X_{n} \rightarrow X_{\infty }$ с вероятностью 1.

$31.9 \uparrow$ Предположим, что $\mathscr {F}_{n} \uparrow \mathscr {F}_{\infty }$ и $A \in \mathscr {F}_{\infty }$, и докажите, что $P\left[A \mid \mathscr {F}_{n}\right] \rightarrow I_{A}$ с вероятностью 1. Сравните с теоремой Лебега о плотности.

Теоремы 35.6 и 35.9 имеют аналоги в гильбертовом пространстве. Для $n \leq \infty$ пусть $P_{n}$ — ортогональная проекция на подпространство $M_{n}$. Тогда $P_{n} x \rightarrow P_{\infty } x$ для всех $x$, если либо

Предположим, что $\theta$ имеет произвольное распределение, и предположим, что при условии $\theta$ случайные величины $Y_{1}, Y_{2}, \ldots$ независимы и нормально распределены со средним $\theta$ и дисперсией $\sigma^{2}$. Постройте такую последовательность $\left\{ \theta , Y_{1}, Y_{2}, \ldots \right\}$. Докажите (35.31).

На стр. 471 показано, что произвольный выбор момента остановки не влияет на отношения правдоподобия. Для критериев значимости это не так. Предположим, что $X_{1}, X_{2}, \ldots$ независимы и одинаково распределены и принимают значения 1 и 0 с вероятностями $p$ и $1-p$. Рассмотрим нулевую гипотезу $p=\frac{1}{2}$ и альтернативу $p>\frac{1}{2}$. Обычный критерий значимости уровня .05 состоит в отклонении нулевой гипотезы, если

Для этого критерия вероятность ложного отклонения нулевой гипотезы приближённо равна $P[N>1.645] \approx .05$, если $n$ велико и фиксировано. Предположим, что $n$ не фиксировано заранее до начала выборки, и покажите с помощью закона повторного логарифма, что даже если $p$ на самом деле равно $\frac{1}{2}$, с вероятностью 1 найдётся бесконечно много $n$, для которых выполняется (35.40).

$24.4 \uparrow$ Предположим, что $\sigma$-алгебра $\mathscr {F}_{\infty }$ в Задаче 24.4 тривиальна. Выведите из Теоремы 35.9, что $P\left[A \mid T^{-n} \mathscr {F}\right] \rightarrow P\left[A \mid \mathscr {F}_{\infty }\right]=P(A)$ с вероятностью 1, и заключите, что $T$ перемешивающее.

title: "7. Случайные процессы" number-sections: true