Теорема существования Колмогорова

$\uparrow$ Предположим, что $\left[X_{i}: t \in T\right]$ — случайный процесс на $(\Omega , \mathscr {F}, P)$ и $A \in \mathscr {F}$. Покажите, что существует счётное подмножество $S$ множества $T$, для которого $P\left[A \mid X_{t}, t \in T\right]= P\left[A \mid X_{t}, t \in S\right]$ с вероятностью 1. Замените $A$ случайной величиной и докажите аналогичный результат.

Пусть $T$ произвольно, и пусть $K(s, t)$ — вещественная функция на $T \times T$. Предположим, что $K$ симметрична в том смысле, что $K(s, t)=K(t, s)$, и неотрицательно определена в том смысле, что $\sum_{i, j=1}^{k} K\left(t_{i}, t_{j}\right) x_{i} x_{j} \geq 0$ при $k \geq 1, t_{1}, \ldots , t_{k}$ из $T$ и вещественных $x_{1}, \ldots , x_{k}$. Покажите, что существует процесс $\left[X_{t}: t \in T\right]$, для которого $\left(X_{t_{1}}, \ldots , X_{t_{k}}\right)$ имеет центрированное нормальное распределение с ковариациями $K\left(t_{i}, t_{j}\right), i, j=1, \ldots , k$.

*Эту тему можно опустить.

Пусть $L$ — борелевское множество на прямой, пусть $\mathscr {L}$ состоит из борелевских подмножеств $L$, и пусть $L^{T}$ состоит из всех отображений из $T$ в $L$. Определите соответствующее понятие цилиндра, и пусть $\mathscr {L}^{T}$ — $\sigma$-алгебра, порождённая цилиндрами. Сформулируйте вариант Теоремы 36.1 для $\left(L^{T}, \mathscr {L}^{T}\right)$. Предположите, что $T$ счётно, и докажите эту теорему не подражая предыдущему доказательству, а заметив, что $L^{T}$ является подмножеством $R^{T}$ и лежит в $\mathscr {R}^{T}$.

Предположим, что случайные величины $X_{1}, X_{2}, \ldots$ принимают значения 0 и 1 и $P\left[X_{n}=1\right.$ б.ч. $]=1$. Пусть $\mu$ — распределение на ( 0,1 ] суммы $\sum_{n=1}^{\infty } X_{n} / 2^{n}$. Покажите, что на единичном интервале с мерой $\mu$ цифры нетерминирующего диадического разложения образуют случайный процесс с теми же конечномерными распределениями, что и $X_{1}, X_{2}, \ldots$.

36.3 ↑ Существует бесконечномерный вариант теоремы Фубини. В конструкции из Задачи 36.3 положим $L=I=(0,1), T=\left\{ 1,2, \ldots \right\}$, пусть $\mathscr {I}$ состоит из борелевских подмножеств $I$, и предположим, что каждое $k$-мерное распределение является $k$-кратным произведением лебеговой меры на единичном интервале. Тогда $I^{T}$ — счётное произведение копий ( 0,1 ), его элементы — последовательности $x=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right)$ точек ( 0,1 ), и теорема Колмогорова гарантирует существование на $(I^{T}, \mathscr {A}^{T})$ произведения вероятностных мер $\pi : \pi \left[x: x_{i} \leq \alpha_{i}, i \leq n\right]=\alpha_{1} \cdots \alpha_{n}$ для $0 \leq \alpha_{i} \leq 1$. Пусть $I^{n}$ обозначает $n$-мерный единичный куб.

Не все системы конечномерных распределений могут быть реализованы случайными процессами, для которых $\Omega$ — единичный интервал. Покажите, что на единичном интервале с лебеговой мерой не существует процесса $\left[X_{t}: t \geq 0\right]$, для которого $X_{t}$ независимы и принимают значения 0 и 1 с вероятностью $\frac{1}{2}$ каждое. Сравните с Задачей 1.1.

Вот применение теоремы существования, в котором $T$ не является подмножеством прямой. Пусть $(N, \mathscr {N}, \nu )$ — пространство с мерой, и пусть $T$ состоит из множеств $\mathscr {N}$ конечной $\nu$-меры. Задача состоит в построении обобщённого пуассоновского процесса — случайного процесса $\left[X_{A}: A \in T\right]$, такого что (i) $X_{A}$ имеет пуассоновское распределение со средним $\nu (A)$, и (ii) $X_{A_{1}}, \ldots , X_{A_{n}}$ независимы, если $A_{1}, \ldots , A_{n}$ дизъюнктны. Указание: чтобы определить конечномерные распределения, обобщите следующую конструкцию: для $A, B$ из $T$ рассмотрите независимые случайные величины $Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}$, имеющие пуассоновские распределения со средними $\nu \left(A \cap B^{c}\right), \nu (A \cap B), \nu \left(A^{c} \cap B\right)$, и положим $\mu_{A, B}$ равным распределению $\left(Y_{1}+Y_{2}, Y_{2}+Y_{3}\right)$.