Банк задач по математике

Задача 1.5

Найти норму элемента в данном пространстве:

?

(1)

$x(t) = t^{n}$ в $C(\left[0,1\right]), n \geq 1$ ;

(2)

$x(t) = e^{-t}$ в $C(\left[0,1\right])$ ;

(3)

$x = \left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots \right)$ в $l_{2}$ ; в $l_{\infty }$ ;

(4)

$x(t) = t$ в $L_{4}(\left[0,1\right])$ ;

(5)

$x(t) = t^{2}$ в $C^{1}(\left[0,1\right])$ ;

(6)

$x(t) = \chi_{\mathbb {Q}}(t)$ в $L_{1}(\left[0,1\right]) ;$

(7)

$x(t) = \chi_{\mathbb {R} \backslash \mathbb {Q}}(t)$ в $L_{2}(\left[0,1\right])$ ;

(8)

$x(t) = 1-e^{t}$ в $L_{3}(\left[0,1\right])$ ;

(9)

$x(t) = \sin t+\cos t$ в $L_{2}(\left[0,1\right])$ ;

(10)

$x(t) = t \ln t$ в $L_{1}(\left[1, e\right])$ .

Задача 1.6

(1)(2)(3)

Являются ли следующие функции нормами на $C(\left[a, b\right])$ ?

?

(1)

$\left\| x\right\| = \max_{a \leq t \leq \frac{1}{2}(a+b)}\left|x(t)\right|+\left|x(b)\right|$ ;

(2)

$\left\| x\right\| = \left(\int_{a}^{b} \alpha (t)\left|x(t)\right|^{2} d t\right)^{\frac{1}{2}}$ , где $\alpha \in C(\left[a, b\right])$ такова, что $\alpha (t) > 0, t \in \left[a, b\right] ;$

(3)

$\left\| x\right\| = \max_{a \leq t \leq \frac{1}{2}(a+b)}\left|x(t)\right|+\int_{\frac{1}{2}(a+b)}^{b}\left|x(t)\right| d t$ .

Задача 1.7

Являются ли следующие функции нормами на $C^{1}(\left[a, b\right])$ ?

?

(1)

$\left\| x\right\| = \max_{a \leq t \leq b}\left|x(t)\right|$ ;

(2)

$\left\| x\right\| = \max_{a \leq t \leq b}\left|x^{\prime }(t)\right|$ ;

(3)

$\left\| x\right\| = \max_{a \leq t \leq \frac{1}{2}(a+b)}\left|x(t)\right|+\max_{\frac{1}{2}(a+b) \leq t \leq b}\left|x^{\prime }(t)\right|$ ;

(4)

$\left\| x\right\| = \left|x(a)\right|+\max_{a \leq t \leq b}\left|x^{\prime }(t)\right|$ ;

(5)

$\left\| x\right\| = \left|x(b)-x(a)\right|+\max_{a \leq t \leq b}\left|x^{\prime }(t)\right|$ ;

(6)

$\left\| x\right\| = \int_{a}^{b}\left|x(t)\right| d t+\max_{a \leq t \leq b}\left|x^{\prime }(t)\right|$ .

Задача 1.8

(1)(2)(3)

Являются ли следующие функции нормами на $C^{2}(\left[a, b\right])$ ?

?

(1)

$\left\| x\right\| = \left|x(a)\right|+\left|x^{\prime }(a)\right|+\max_{a \leq t \leq b}\left|x^{\prime \prime }(t)\right|$ ;

(2)

$\left\| x\right\| = \left|x(a)\right|+\left|x(b)\right|+\max_{a \leq t \leq b}\left|x^{\prime \prime }(t)\right|$ ;

(3)

$\left\| x\right\| = \int_{a}^{b}\left|x(t)\right| d t+\left|x^{\prime }(a)\right|+\max_{a \leq t \leq b}\left|x^{\prime \prime }(t)\right|$ .

Задача 1.9

(1)(2)(3)(4)

Сходится ли последовательность элементов в данном пространстве? Если да, найти её предел.

?

(1)

В пространстве $C(\left[0,1\right])$ :

(1) $x_{n}(t) = t^{n}$ ;

(2) $x_{n}(t) = t^{n}-t^{n+1}$ ;

(3) $x_{n}(t) = t^{n}-t^{2 n}$ ;

(4) $x_{n}(t) = e^{-\frac{t}{n}}$ ;

(5) $x_{n}(t) = \sin t-\sin \frac{t}{n}$ ;

(6) $x_{n}(t) = \frac{n t}{\sqrt{n^{2}+1}}$ ;

(7) $x_{n}(t) = n t e^{-n t}$ ;

(8) $x_{n}(t) = n \sin \frac{t}{n}$ ;

(9) $x_{n}(t) = n \ln \left(1+\frac{t}{n}\right)$ ;

(10) $x_{n}(t) = t^{n}-t^{3 n}$ ;

(11) $x_{n}(t) = \varphi \left(t+\frac{1}{n}\right)$ , где $\varphi \in C(\mathbb {R})$ — фиксированная функция.

(2)

В пространстве $C^{1}(\left[0,1\right])$ :

(1) $x_{n}(t) = \frac{t^{n+1}}{n+1}-\frac{t^{n+2}}{n+2}$ ;

(2) $x_{n}(t) = \int_{0}^{t} e^{-\frac{u^{2}}{2 n}} d u$ .

(3)

В пространстве $l_{p}, 1 \leq p \leq +\infty$ :

(1) $x^{(n)} = (0, \ldots , 0, \underbrace{\frac{1}{n}}_{n}, 0, \ldots )$ ;

(2) $x^{(n)} = (1,0, \ldots , 0, \underbrace{\frac{1}{n}}_{n}, 0, \ldots )$ ;

(3) $x^{(n)} = (\frac{1}{n}, 0, \ldots , 0, \underbrace{\frac{1}{n}}_{n}, 0, \ldots )$ ;

(4) $x^{(n)} = (\underbrace{0, \ldots , 0}_{n-1}, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots )$ ;

(5) $x^{(n)} = (\underbrace{0, \ldots , 0}_{n-1}, \frac{1}{n}, \frac{1}{n+1}, \ldots )$ ;

(6) $x^{(n)} = \left(1, \frac{1}{2}, \ldots , \frac{1}{n}, 0, \ldots \right)$ ;

(7) $x^{(n)} = \left(1, \frac{1}{\sqrt{2}}, \ldots , \frac{1}{\sqrt{n}}, 0, \ldots \right)$ ;

(8) $x^{(n)} = (\underbrace{\frac{1}{n}, \ldots , \frac{1}{n}}_{n}, 0, \ldots )$ ;

(9) $x^{(n)} = (\underbrace{\frac{1}{\ln n}, \ldots , \frac{1}{\ln n}}_{n}, 0, \ldots )$ ;

(10) $x^{(n)} = (\underbrace{1, \ldots , 1}_{n}, 0, \ldots )$ ;

(11) $x^{(n)} = \left(\frac{1}{n}, \frac{1}{n-1}, \ldots , \frac{1}{2}, 1,0, \ldots \right)$ ;

(12) $x^{(n)} = (\sqrt[n]{1}, \sqrt[n]{2}, \ldots , \sqrt[n]{n}, 0, \ldots )$ ;

(13) $x^{(n)}(\underbrace{\left(\frac{1}{2}\right)^{n},\left(\frac{2}{3}\right)^{n}, \ldots ,\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}}_{n}, 0,0, \ldots ).$

(4)

В пространстве $L_{p}(\left[0,1\right]), 1 \leq p < +\infty$ :

(1) $x_{n}(t) = t^{n}$ ;

(2) $x_{n}(t) = t^{n}-t^{n+1}$ ;

(3) $x_{n}(t) = n \cdot \chi_{\left[0, \frac{1}{n^{2}}\right]}(t)$ ;

(4) $x_{n}(t) = n e^{-n t}, p = 1$ ;

(5) $x_{n}(t) = 1-\frac{t}{n}, p = 2$ ;

(6) $x_{n}(t) = (\sqrt{n}-n \sqrt{n} t) \chi_{\left[0, \frac{1}{n}\right]}(t)$ , $p = 2$ .

Задача 1.10

(1)(2)(3)

Доказать непосредственно, что следующие пространства полны:

?

(1)

$\mathbb {C}^{m}$ с нормой $\left\| x\right\|_{\infty } = \max_{1 \leq k \leq m}\left|x_{k}\right|$ ;

(2)

$l_{p}, 1 \leq p < +\infty$ , с нормой $\left\| x\right\|_{p} = \left(\sum_{k = 1}^{\infty }\left|x_{k}\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}$ ;

(3)

$l_{\infty }$ с нормой $\left\| x\right\|_{\infty } = \sup_{k \geq 1}\left|x_{k}\right|$ .

Задача 1.11

Пусть $X$ — банахово пространство. Доказать, что пространство непрерывных ограниченных функций $C_{b}(\mathbb {R}, X)$ с равномерной нормой $\left\| x\right\| = \sup_{t \in \mathbb {R}}\left\| x(t)\right\|_{X}, x \in C_{b}(\mathbb {R}, X)$ , является банаховым пространством.

?

Задача 1.12

(1)(2)

?

(1)

Пусть $X = \mathbb {R}^{2}$ с нормой $\left\| \cdot \right\|_{p}$ , где $p = 1,2,+\infty$ . Изобразить единичные шары с центром в начале координат.

(2)

Пусть $X = \mathbb {R}^{3}$ с нормой $\left\| \cdot \right\|_{p}$ , где $p = 1,2,+\infty$ . Изобразить единичные шары с центром в начале координат.

Задача 1.13

Доказать, что $C(\left[a, b\right]) \subset L_{p}(\left[a, b\right])$ для всех $1 \leq p \leq +\infty$ и $\left[a, b\right] \subset \mathbb {R}$ ; более того, $\left\| x\right\|_{L_{p}(\left[a, b\right])} \leq (b-a)^{\frac{1}{p}}\left\| x\right\|_{C(\left[a, b\right])}$ для $1 \leq p < +\infty$ и $\left\| x\right\|_{L_{\infty }(\left[a, b\right])} = \left\| x\right\|_{C(\left[a, b\right])}, x \in C(\left[a, b\right])$ .

?

Задача 1.14

(1)(2)(3)

?

(1)

Показать, что каждая норма на пространстве $\mathbb {R}$ имеет вид $\left\| x\right\| = \alpha \left|x\right|, x \in \mathbb {R}$ , где $\alpha > 0$ — фиксированная постоянная.

(2)

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow (0,+\infty )$ — $\pi$ -периодическая функция, для которой множество $A_{f} = \left\{ (\rho \cos \varphi , \rho \sin \varphi ) \mid \varphi \in \mathbb {R}, 0 \leq \rho \leq f(\varphi )\right\} \subset \mathbb {R}^{2}$ выпукло. Положим $\left\| x\right\| = \frac{\rho }{f(\varphi )}$ , где $(\rho , \varphi )$ — полярные координаты точки $x \in \mathbb {R}^{2}$ . Доказать, что $\left\| \cdot \right\|$ является нормой на $\mathbb {R}^{2}$ .

(3)

Доказать, что каждая норма на $\mathbb {R}^{2}$ может быть получена способом, описанным в (2)*. Найти функции $f$ , соответствующие нормам на пространствах $\mathbb {R}_{p}^{2}, 1 \leq p \leq +\infty$ .

Задача 1.15

Доказать, что для любых $1 \leq p_{1} < p_{2} \leq +\infty$ выполняется включение $l_{p_{1}} \subset l_{p_{2}}$ , и $\left\| x\right\|_{\infty } = \lim_{p \rightarrow \infty }\left\| x\right\|_{p}$ для всех $x \in l_{1}$ .

?

Задача 1.16

Пусть $(T, \mathcal{F}, \mu )$ — пространство с конечной мерой. Доказать, что для любых $1 \leq p_{1} < p_{2} \leq +\infty$ выполняется включение $L_{p_{2}}(T, \mu ) \subset L_{p_{1}}(T, \mu )$ , и $\left\| x\right\|_{\infty } = \lim_{p \rightarrow \infty }\left\| x\right\|_{p}$ для всех $x \in L_{\infty }(T, \mu )$ .

?

Задача 1.17

Доказать, что пространства $L_{p_{1}}(\mathbb {R})$ и $L_{p_{2}}(\mathbb {R})$ не содержат друг друга ни при каких $1 \leq p_{1} < p_{2} \leq +\infty$ .

?

Задача 1.18

(1)(2)

Пусть $(T, \mathcal{F}, \mu )$ — пространство с мерой, $1 \leq p_{1} < p_{2} < +\infty$ . Доказать, что

?

(1)

$L_{p_{2}}(T, \mu ) \subset L_{p_{1}}(T, \mu )$ тогда и только тогда, когда существует $C > 0$ такое, что $A \in \mathcal{F}, \mu (A) < \infty \Rightarrow \mu (A) \leq C$ .

(2)

$L_{p_{1}}(T, \mu ) \subset L_{p_{2}}(T, \mu )$ тогда и только тогда, когда существует $\delta > 0$ такое, что $A \in \mathcal{F}, \mu (A) > 0 \Rightarrow \mu (A) \geq \delta$ .

Задача 1.19

Пусть $1 \leq p < r < s$ . Доказать, что $\left(L_{p}(\mathbb {R}) \cap L_{s}(\mathbb {R})\right) \subset L_{r}(\mathbb {R})$ .

?

Задача 1.20

Пусть $x \in L_{\infty }(T, \mu )$ . Доказать, что

\begin{aligned} \underset {t \in T}{\operatorname {ess} \sup }\left|x(t)\right| & = \min \left\{ C \geq 0 \mid \left|x(t)\right| \leq C(\bmod \mu )\right\} = \\ & = \inf \left\{ \sup _{t \in T \backslash A}\left|x(t)\right| \mid A \in \mathcal{F}, \mu (A) = 0\right\} . \end{aligned}

?

Задача 1.21

(1)(2)

?

(1)

Является ли функция $x \mapsto \left\| x\right\| = \left(\sum_{i = 1}^{\infty }\left|x_{i}\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}$ нормой на $l_{p}$ при $0 < p < 1$ , где $l_{p}$ при $0 < p < 1$ формально определяется так же, как и при $1 \leq p < +\infty$ ?

(2)

Является ли функция $x \mapsto \left\| x\right\| = \left(\int_{a}^{b}\left|x(t)\right|^{p} d t\right)^{\frac{1}{p}}$ нормой на $C(\left[a, b\right])$ при $0 < p <$ 1?

Задача 1.22

При каком условии на последовательность $\left\{ \alpha_{n}: n \geq 1\right\} \subset [0,+\infty )$ функция $l_{2} \ni x \mapsto \left(\sum_{k = 1}^{\infty } \alpha_{k}\left|x_{k}\right|^{2}\right)^{1 / 2}$ является нормой на $l_{2}$ ?

?

Задача 1.23

(1)(2)

Когда достигается равенство

?

(1)

в неравенстве Гёльдера;

(2)

в неравенстве Минковского?

Задача 1.24

Пусть $f \in L_{2}(\mathbb {R}), t f(t) \in L_{2}(\mathbb {R})$ . Доказать, что $f \in L_{1}(\mathbb {R})$ .

?

Задача 1.25

Доказать, что при $1 \leq p \leq 2$ для каждой функции $f \in L_{p}(\mathbb {R})$ существуют $f_{1} \in L_{1}(\mathbb {R})$ и $f_{2} \in L_{2}(\mathbb {R})$ такие, что $f = f_{1}+f_{2}$ .

?

Задача 1.26

Пусть $f \in L_{1}(\mathbb {R})$ такова, что при некотором $\sigma > 0$

\exists A > 0: \int _{\mathbb {R}}\left|x^{k} f(x)\right| d x \leq A \sigma ^{k}, k \geq 1.

Доказать, что $f = 0(\bmod m)$ на $(-\infty ,-\sigma ) \cup (\sigma ,+\infty )$ .

?

Задача 1.27

Пусть $0 < \alpha < 1$ . При каких $1 \leq p < +\infty$ функция

x(t) = \begin{cases} n^{\alpha }, & \frac{1}{n+1} \leq t < \frac{1}{n}, n \geq 1, \\ 0, & t = 0, t = 1,\end{cases}

принадлежит пространству $L_{p}(\left[0,1\right])$ ?

?

Задача 1.28

(1)(2)

Привести примеры бесконечномерных подпространств $L$ в $L_{1}(\mathbb {R})$ таких, что

?

(1)

$L$ состоит из непрерывных функций;

(2)

$L$ не содержит ни одной ненулевой непрерывной функции.

Задача 1.29

Пусть

X = \left\{ x = \left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right) \mid \sup _{n \geq 1}\left|\sum _{k = 1}^{n} x_{k}\right| < +\infty , x_{k} \in \mathbb {K}, k \geq 1\right\}

Определим норму на $X$ как $\left\| x\right\| = \sup_{n \geq 1}\left|\sum_{k = 1}^{n} x_{k}\right|$ . Доказать, что $(X,\left\| \cdot \right\| )$ является банаховым пространством.

?

Задача 1.30

Доказать, что функции $1, \cos t, \cos^{2} t$ линейно независимы в $C(\left[0, \pi \right])$ , а функции $1, \cos^{2} t, \cos 2 t$ линейно зависимы в $C(\left[0, \pi \right])$ .

?

Задача 1.31

(1)(2)

Определим функцию $\left\| x\right\| = \max_{t \in [a, b]}\left|x^{\prime }(t)-x(t)\right|, x \in C^{1}(\left[a, b\right])$ . Является ли она нормой

?

(1)

на множестве $P_{n}$ многочленов степени не выше $n$ , где $n \in \mathbb {N}$ фиксировано?

(2)

на $C^{1}(\left[a, b\right])$ ?

Задача 1.32

(1)(2)(3)

Пусть $\left\| \cdot \right\|_{1},\left\| \cdot \right\|_{2}$ — нормы на линейном пространстве $X$ . Доказать, что следующие условия равносильны:

?

(1)

нормы $\left\| \cdot \right\|_{1}$ и $\left\| \cdot \right\|_{2}$ эквивалентны;

(2)

$x_{n} \rightarrow x, n \rightarrow \infty$ , в $(X,\left\| \cdot \right\|_{1})$ тогда и только тогда, когда $x_{n} \rightarrow x, n \rightarrow \infty$ , в $(X,\left\| \cdot \right\|_{2})$ ;

(3)

топологии (т.е. классы открытых множеств) в пространствах $(X,\left\| \cdot \right\|_{1})$ и $(X,\left\| \cdot \right\|_{2})$ совпадают.

Задача 1.33

(1)(2)

Пусть $\left\| \cdot \right\|_{1}$ и $\left\| \cdot \right\|_{2}$ — эквивалентные нормы на линейном пространстве $X$ . Доказать, что

?

(1)

если $(X,\left\| \cdot \right\|_{1})$ — банахово пространство, то $(X,\left\| \cdot \right\|_{2})$ также банахово пространство;

(2)

если $(X,\left\| \cdot \right\|_{1})$ — сепарабельное пространство, то пространство $(X,\left\| \cdot \right\|_{2})$ также сепарабельно.

Задача 1.34

Пусть пространства $(X_{1},\left\| \cdot \right\|_{1})$ и $(X_{2},\left\| \cdot \right\|_{2})$ изоморфны, и $(X_{1},\left\| \cdot \right\|_{1})$ — банахово пространство. Доказать, что $(X_{2},\left\| \cdot \right\|_{2})$ также банахово пространство. В качестве следствия показать, что каждое конечномерное НЛП является банаховым пространством.

?

Задача 1.35

Доказать, что нормы $\left\| x\right\| = \max_{a \leq t \leq b}\left|x(t)\right|$ и $\left\| x\right\| = \left(\int_{a}^{b}\left|x(t)\right|^{p} d t\right)^{\frac{1}{p}}, 1 \leq p < +\infty$ , в $C(\left[a, b\right])$ не эквивалентны.

?

Задача 1.36

Верно ли, что нормы $\left\| x\right\| = \left|x(a)\right|+\max_{a \leq t \leq b}\left|x^{\prime }(t)\right|$ и $\left\| x\right\| = \max_{a \leq t \leq b}\left|x(t)\right|+ \max_{a \leq t \leq b}\left|x^{\prime }(t)\right|$ в $C^{1}(\left[a, b\right])$ эквивалентны?

?

Задача 1.37

Пусть $\left\{ r_{n}: n \geq 1\right\} = \mathbb {Q} \cap [0,1]$ . Доказать, что $\left\| x\right\| = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\left|x\left(r_{n}\right)\right|}{n^{2}}, x \in C(\left[0,1\right])$ , является нормой на $C(\left[0,1\right])$ . Эквивалентна ли она равномерной норме?

?

Задача 1.38

Пусть $\left\| \cdot \right\|_{1},\left\| \cdot \right\|_{2}$ — нормы на линейном пространстве $X$ , а $\bar{B}_{i}(0,1)$ — единичный замкнутый шар в $\left(X,\left\| \cdot \right\|_{i}\right), i = 1,2$ . Доказать, что если $\bar{B}_{1}(0,1) = \bar{B}_{2}(0,1)$ , то $\left\| x\right\|_{1} = \left\| x\right\|_{2}, x \in X$ .

?

Задача 1.39

(1)(2)(3)

Пусть $X$ — НЛП, $\left\{ x_{n}: n \geq 1\right\} \subset X$ . Какие из следующих условий равносильны:

?

(1)

$\left\{ x_{n}: n \geq 1\right\}$ — фундаментальная последовательность;

(2)

$\left\| x_{n}-x_{m}\right\| \rightarrow 0, m, n \rightarrow \infty$ ;

(3)

$\lim_{m \rightarrow \infty } \lim_{n \rightarrow \infty }\left\| x_{m}-x_{n}\right\| = 0$ ?

Задача 1.40

Доказать, что НЛП $X$ является банаховым пространством тогда и только тогда, когда любой ряд $\sum_{k = 1}^{\infty } x_{k}$ , для которого $\sum_{k = 1}^{\infty }\left\| x_{k}\right\| < +\infty$ , сходится в $X$ .

?

Задача 1.41

Пусть $n \geq 1$ . Доказать, что $C^{n}(\left[a, b\right])$ является банаховым пространством с нормой

\left\| x\right\| _{n} = \sum _{k = 0}^{n} \max _{a \leq t \leq b}\left|x^{(k)}(t)\right|,

но оно не полно с нормой $\left\| x\right\|_{n-j} = \sum_{k = 0}^{n-j} \max_{a \leq t \leq b}\left|x^{(k)}(t)\right|$ при каждом $j, 1 \leq j \leq n$ .

?

Задача 1.42

(1)(2)(3)

Пусть $X$ — НЛП, $x \in X$ , а $M \subset X$ — некоторое непустое множество.

?

(1)

Доказать, что функция $\varphi (x) = \rho (x, M)$ непрерывна на $X$ .

(2)

Доказать, что $\rho (x, M) = \rho (x, \bar{M})$ , где $\bar{M}$ — замыкание множества $M$ .

(3)

Доказать утверждения (1) и (2) для случая, когда $(X, \rho )$ — метрическое пространство и $\rho (x, M): = \inf_{y \in M} \rho (x, y)$ .

Задача 1.43

Пусть $Q$ — метрическое пространство, и банахово пространство $C_{b}(Q)$ ограниченных непрерывных функций на $Q$ с нормой $\left\| x\right\| = \sup_{t \in Q}\left|x(t)\right|$ сепарабельно. Доказать, что $Q$ — компактное множество.

?

Задача 1.44

(1)(2)

Пусть $T$ — некоторое множество, а $B(T)$ — пространство ограниченных функций на $T$ с нормой $\left\| x\right\| = \sup_{t \in T}\left|x(t)\right|$ .

?

(1)

Доказать, что $B(T)$ является банаховым пространством.

(2)

При каком условии на $T$ пространство $B(T)$ сепарабельно?

Задача 1.45

Доказать, что пространство $B V_{0}(\left[a, b\right])$ функций ограниченной вариации на $\left[a, b\right]$ таких, что $x(a) = 0$ , с нормой $\left\| x\right\| = V(x,\left[a, b\right])$ является банаховым пространством. Является ли оно сепарабельным?

?

Задача 1.46

Пусть $H^{\lambda }(\left[a, b\right])$ обозначает множество всех функций, удовлетворяющих условию Гёльдера на $\left[a, b\right]$ с показателем $\lambda \in (0,1]$ :

\varphi _{\lambda }(x) = \sup _{a \leq s < t \leq b} \frac{\left|x(t)-x(s)\right|}{(t-s)^{\lambda }} < +\infty .

Доказать, что $H^{\lambda }(\left[a, b\right])$ является банаховым пространством относительно нормы

\left\| x\right\| = \max _{a \leq t \leq b}\left|x(t)\right|+\varphi _{\lambda }(x), x \in H^{\lambda }(\left[a, b\right])

Является ли оно сепарабельным?

?

Задача 1.47

(1)(2)

Пусть $X$ — линейное метрическое пространство с метрикой $\rho$ , обладающей следующими свойствами:

(i) $\forall x, y, z \in X: \rho (x+z, y+z) = \rho (x, y)$ ;

(ii) $\forall x \in X \forall \lambda \in \mathbb {C}: \rho (0, \lambda x) = \left|\lambda \right| \rho (0, x)$ .

?

(1)

Показать, что $X$ является НЛП с нормой $\left\| x\right\| = \rho (0, x)$ .

(2)

Привести пример метрики в $\mathbb {R}$ , не обладающей ни одним из свойств (i), (ii).

Задача 1.48

(1)(2)

?

(1)

Пусть $X = \mathbb {R}^{m}$ с евклидовой нормой. Доказать, что $x$ и $y$ линейно зависимы. Верно ли это в других нормированных пространствах?

(2)

Задача 1.49

(1)(2)

Пусть $X$ — НЛП. Доказать, что

?

(1)

$\forall x, y \in X:\left\| x\right\| \leq \max \left\{ \left\| x+y\right\| ,\left\| x-y\right\| \right\}$ ;

(2)

Задача 1.50

(1)(2)

Пусть $X$ — линейное пространство всех комплексных числовых последовательностей. Доказать, что

?

(1)

на $X$ не существует нормы, при которой сходимость в пространстве $(X,\left\| \cdot \right\| )$ была бы равносильна покоординатной сходимости;

(2)

на $X$ существует метрика, при которой сходимость в пространстве $(X, \rho )$ равносильна покоординатной сходимости.

Задача 1.51

Пусть $x \in L_{1}(\left[a, b\right])$ . Доказать, что $\lim_{h \rightarrow 0+} \int_{a}^{b-h}\left|x(t+h)-x(t)\right| d t = 0$ .

?

Задача 1.52

Доказать, что

?

(1)

система функций $\left\{ 1, t, t^{2}, \ldots \right\}$ тотальна в $C(\left[a, b\right])$ и в $L_{p}(\left[a, b\right]), 1 \leq p < +\infty$ ;

(2)

система функций $\left\{ t^{2 k}: k \geq 0\right\}$ тотальна в $C(\left[a, b\right])$ и в $L_{p}(\left[a, b\right]), 1 \leq p < +\infty$ , при $a \geq 0$ ;

(3)

система функций $\left\{ 1, \cos n t, \sin n t: n \geq 1\right\}$ тотальна в $L_{p}(\left[0,2 \pi \right]), 1 \leq p < +\infty$ ;

(4)

система функций $\left\{ e^{i n t}: n \in \mathbb {Z}\right\}$ тотальна в $L_{p}(\left[0,2 \pi \right]), 1 \leq p < +\infty$ ;

(5)

система функций $\left\{ e^{i n t}: n \in \mathbb {Z}\right\}$ тотальна в $C(\left[a, b\right])$ тогда и только тогда, когда $\left|b-a\right| < 2 \pi$ ;

(6)

система функций $\left\{ 1, \sin n t: n \geq 1\right\}$ тотальна в $C(\left[0, b\right])$ тогда и только тогда, когда $0 < b < \pi$ ;

(7)

система функций $\left\{ 1, \cos n t: n \geq 1\right\}$ тотальна в $C(\left[0, b\right])$ тогда и только тогда, когда $0 < b \leq \pi ;$

(8)

система элементов $\left\{ e_{n} = (0, \ldots , 0, \underbrace{1}_{n}, 0, \ldots ): n \geq 1\right\}$ тотальна в $l_{p}, 1 \leq p < +\infty$ .

Задача 1.53

Доказать, что следующие множества плотны в $L_{p}(\left[a, b\right]), 1 \leq p < +\infty$ :

?

(1)

простые функции;

(2)

ступенчатые функции;

(3)

непрерывные функции;

(4)

многочлены;

(5)

многочлены с рациональными коэффициентами;

(6)

многочлены с нулевой суммой коэффициентов;

(7)

чётные многочлены, если $a \geq 0$ ;

(8)

непрерывные функции $x$ такие, что $x(a) = 0$ ;

(9)

непрерывные функции $x$ такие, что $x(a) = x(b) = 0$ ;

(10)

многочлены от $e^{t}$ .

Задача 1.54

(1)(2)

?

(1)

Доказать, что множество $C_{0}(\mathbb {R})$ непрерывных функций на $\mathbb {R}$ , обращающихся в нуль вне некоторого конечного интервала, плотно в $L_{p}(\mathbb {R}), 1 \leq p < +\infty$ .

(2)

Доказать, что пространство $L_{p}(\mathbb {R}), 1 \leq p < +\infty$ сепарабельно.

Задача 1.55

Доказать, что множество $C_{b}(\mathbb {R})$ ограниченных непрерывных функций на $\mathbb {R}$ не плотно в $L_{\infty }(\mathbb {R})$ .

?

Задача 1.56

Доказать несепарабельность пространства $L_{\infty }(\left[a, b\right])$ .

?

Задача 1.57

Пусть $K$ — компактное множество в метрическом пространстве $(\mathbb {R}^{m}, \rho )$ . Доказать, что пространство $C(K)$ с равномерной нормой сепарабельно.

?

Задача 1.58

(1)(2)(3)

Пусть $(K, \rho )$ — компактное метрическое пространство. Доказать, что

?

(1)

если $K$ — бесконечное множество, то $C(K)$ является бесконечномерным пространством;

(2)

если $\left\{ U_{i}: 1 \leq i \leq n\right\}$ — конечное открытое покрытие $K$ , то существует система действительных непрерывных функций $\left\{ \varphi_{i}: 1 \leq i \leq n\right\}$ на $K$ такая, что

(i) $\varphi_{i}(t) \geq 0,1 \leq i \leq n, t \in K$ ,

(ii) $\varphi_{i}(t) = 0, t \notin U_{i}, i = 1, \ldots , n$ ,

(iii) $\sum_{i = 1}^{n} \varphi_{i}(t) = 1, t \in K$ (такая система называется разбиением единицы);

(3)

банахово пространство $C(K)$ сепарабельно.

Задача 1.59

Пусть $X$ — НЛП. Доказать, что $X$ сепарабельно тогда и только тогда, когда существует $r > 0$ такое, что сфера $S(0, r)$ является сепарабельным метрическим пространством.

?

Задача 1.60

Пусть $p \in [1, \infty )$ . Пространство локально $p$ -интегрируемых функций на $\mathbb {R}$ определяется как

L_{p}^{l o c}(\mathbb {R}): = \left\{ f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} \mid \forall a, b \in \mathbb {R}, a < b: f \cdot \chi _{\left[a, b\right]} \in L_{p}(\mathbb {R})\right\} .

При каком условии на функцию $g \in L_{p}^{\text{loc }}(\mathbb {R})$ множество

\left\{ g \cdot \chi _{(\alpha , \beta ]} \mid -\infty < \alpha < \beta < +\infty \right\}

тотально в $L_{p}(\mathbb {R})$ ?

?

Задача 1.61

Являются ли следующие подмножества подпространствами в $C(\left[-1,1\right])$ :

?

(1)

монотонные функции;

(2)

неубывающие функции;

(3)

чётные функции;

(4)

нечётные функции;

(5)

многочлены;

(6)

многочлены степени не выше $m$ , где $m \in \mathbb {N}$ фиксировано;

(7)

непрерывные кусочно-гладкие функции;

(8)

непрерывно дифференцируемые функции;

(9)

непрерывные функции ограниченной вариации;

(10)

функции $x$ , для которых $x(0) = 0$ ;

(11)

функции $x$ , для которых $\int_{-1}^{1} x(t) d t = 0$ ;

(12)

функции, удовлетворяющие условию Липшица.

Примечание.

?

Кусочно-гладкими называются функции, имеющие непрерывную производную везде, кроме конечного числа точек.

Задача 1.62

(1)(2)

Является ли множество

M = \left\{ x \in C^{1}(\left[-1,1\right]) \mid \int _{-1}^{1} x(t) d t = 0\right\}

подпространством

?

(1)

в пространстве $C^{1}(\left[-1,1\right])$ с нормой

\left\| x\right\| = \max _{-1 \leq t \leq 1}\left|x(t)\right|+\max _{-1 \leq t \leq 1}\left|x^{\prime }(t)\right|?

(2)

в пространстве $C(\left[-1,1\right])$ с нормой $\left\| x\right\| = \max_{-1 \leq t \leq 1}\left|x(t)\right|$ ?

Задача 1.63

Рассмотрим $l_{1}$ как подмножество $l_{\infty }$ . Найти его замыкание в $l_{\infty }$ .

?

Задача 1.64

(1)(2)(3)

Пусть $M = \left\{ x = \left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right) \in X \mid \sum_{k = 1}^{\infty } x_{k} = 0\right\}$ . Является ли $M$ подпространством $X$ , если

?

(1)

$X = l_{1}$ ;

(2)

$X = l_{p}, 1 < p < +\infty$ ;

(3)

$X = l_{\infty }$ ?

Задача 1.65

Является ли пространство $l_{1}$ полным относительно нормы пространства $l_{2}$ ?

?

Задача 1.66

(1)(2)

Определим в $l_{\infty }$ множество $c = \left\{ x \in l_{\infty } \mid \exists \lim_{i \rightarrow \infty } x_{i} \in \mathbb {K}\right\}$ . Доказать, что

?

(1)

$c$ является подпространством в $l_{\infty }$ ;

(2)

$c$ с нормой $\left\| x\right\| = \left\| x\right\|_{\infty } = \sup_{i \geq 1}\left|x_{i}\right|$ является сепарабельным банаховым пространством.

Задача 1.67

(1)(2)

Определим в $l_{\infty }$ множество $c_{0} = \left\{ x \in l_{\infty } \mid \lim_{k \rightarrow \infty } x_{k} = 0\right\}$ . Доказать, что

?

(1)

$c_{0}$ является подпространством в $l_{\infty }$ ;

(2)

$c_{0}$ с нормой $\left\| x\right\| = \left\| x\right\|_{\infty } = \sup_{i \geq 1}\left|x_{i}\right|$ является сепарабельным банаховым пространством.

Задача 1.68

Пусть $A$ — множество в НЛП. Верно ли всегда, что $\operatorname {span}(\bar{A}) = \overline{\operatorname {span}(A)}$ ?

?

Задача 1.69

Доказать, что подпространство в НЛП является выпуклым множеством.

?

Задача 1.70

Доказать, что пересечение любого семейства выпуклых множеств в линейном пространстве является выпуклым множеством.

?

Задача 1.71

Пусть функция $\varphi$ на линейном пространстве $X$ удовлетворяет первым двум аксиомам нормы. Доказать, что $\varphi$ является нормой на $X$ тогда и только тогда, когда множество $B = \left\{ x \in X \mid \varphi (x) \leq 1\right\}$ выпукло.

?

Задача 1.72

Доказать, что в любом конечномерном НЛП все нормы эквивалентны.

?

Задача 1.73

Доказать, что в любом конечномерном НЛП каждое ограниченное замкнутое множество компактно.

?

Задача 1.74

(1)(2)

?

(1)

Доказать, что в конечномерном НЛП каждая ограниченная последовательность имеет хотя бы один частичный предел (т.е. предел некоторой подпоследовательности).

(2)

Привести пример ограниченной последовательности в $l_{2}$ , не имеющей ни одного частичного предела.

Задача 1.75

Доказать, что в любом НЛП $X$ расстояние от произвольной фиксированной точки $x$ до любого конечномерного подпространства $M$ достигается.

?

Задача 1.76

Пусть $X$ — НЛП, $x_{1}, \ldots , x_{n} \in X$ . Доказать, что

\operatorname {span}\left(\left\{ x_{1}, \ldots , x_{n}\right\} \right) = \overline{\operatorname {span}\left(\left\{ x_{1}, \ldots , x_{n}\right\} \right)}

?

Задача 1.77

Пусть $X$ — НЛП, $x_{1}, \ldots , x_{n} \in X$ — линейно независимые элементы. Доказать, что $\rho \left(x_{n}, \operatorname {span}\left(\left\{ x_{1}, \ldots , x_{n-1}\right\} \right)\right) > 0$ .

?

Задача 1.78

Пусть $L_{1}, L_{2}$ — подпространства в НЛП $X$ , и хотя бы одно из этих подпространств конечномерно. Доказать, что $L_{1}+L_{2}$ является подпространством в $X$ .

?

Задача 1.79

(1)(2)

Пусть $(X_{1},\left\| \cdot \right\|_{X_{1}})$ и $(X_{2},\left\| \cdot \right\|_{X_{2}})$ — НЛП над полем $\mathbb {K}$ . Декартово произведение $X: = X_{1} \times X_{2}$ , в котором линейные операции определены следующим образом:

\left(x_{1}, x_{2}\right)+\left(y_{1}, y_{2}\right) = \left(x_{1}+y_{1}, x_{2}+y_{2}\right), \quad \alpha \left(x_{1}, x_{2}\right) = \left(\alpha x_{1}, \alpha x_{2}\right),

$\left(x_{1}, x_{2}\right) \in X,\left(y_{1}, y_{2}\right) \in X, \alpha \in \mathbb {K}$ , называется прямой суммой пространств $X_{1}$ и $X_{2}$ . Она обозначается через $X_{1} \bigoplus X_{2} = X$ .

?

(1)

Доказать, что $X$ является линейным пространством.

(2)

Доказать, что функции

\begin{gathered} \left\| \left(x_{1}, x_{2}\right)\right\| _{p} = \left(\left\| x_{1}\right\| _{X_{1}}^{p}+\left\| x_{2}\right\| _{X_{2}}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}, 1 \leq p < +\infty \\ \left\| \left(x_{1}, x_{2}\right)\right\| _{\infty } = \max \left\{ \left\| x_{1}\right\| _{X_{1}},\left\| x_{2}\right\| _{X_{2}}\right\} \end{gathered}

являются нормами в $X$ .

Задача 1.80

Пусть $X$ — НЛП над полем $\mathbb {K}$ . Доказать, что множество $M \subset X$ ограничено тогда и только тогда, когда для каждой последовательности $\left\{ x_{n}: n \geq 1\right\} \subset M$ и каждой последовательности $\left\{ \alpha_{n}: n \geq 1\right\} \subset \mathbb {K}$ такой, что $\alpha_{n} \rightarrow 0, n \rightarrow \infty$ , выполняется сходимость $\alpha_{n} x_{n} \rightarrow 0, n \rightarrow \infty$ , в $X$ .

?

Задача 1.81

Пусть $X$ — НЛП, а $M \subset X$ — линейное множество, $M \neq X$ . Доказать, что $M$ не имеет внутренних точек.

?

Задача 1.82

(1)(2)(3)(4)

Линейно независимая система $\left\{ x_{\alpha }: \alpha \in A\right\}$ элементов линейного пространства $X$ называется базисом Гамеля, если $\operatorname {span}\left(\left\{ x_{\alpha }: \alpha \in A\right\} \right) = X$ .

?

(1)

Доказать, что в каждом линейном пространстве существует базис Гамеля.

(2)

Доказать, что каждый элемент пространства $X$ единственным образом представляется в виде линейной комбинации конечного числа элементов базиса Гамеля пространства $X$ .

(3)

Используя теорему Бэра о категориях (см., например, [26], теорема III.8 или [21], гл. 2, §7, теорема 2), доказать, что в бесконечномерном банаховом пространстве не существует счётного базиса Гамеля.

(4)

Показать, что в пункте (3)* полнота пространства существенна.

Задача 1.83

Доказать, что НЛП несепарабельно тогда и только тогда, когда оно содержит несчётное число шаров некоторого фиксированного радиуса $r > 0$ , попарно не пересекающихся.

?

Задача 1.84

Пусть $X$ — банахово пространство, $\left\{ \bar{B}\left(x_{n}, r_{n}\right): n \geq 1\right\}$ — последовательность вложенных замкнутых шаров, и $\lim_{n \rightarrow \infty } r_{n} = 0$ . Доказать, что

\exists !x \in \bigcap _{n = 1}^{\infty } \bar{B}\left(x_{n}, r_{n}\right)

?

Задача 1.85

Пусть $X$ — НЛП, в котором каждая последовательность $\left\{ \bar{B}\left(x_{n}, r_{n}\right): n \geq 1\right\}$ вложенных замкнутых шаров, для которой $\lim_{n \rightarrow \infty } r_{n} = 0$ , имеет непустое пересечение. Доказать, что $X$ является банаховым пространством.

?

Задача 1.86

(1)(2)

?

(1)

Привести пример банахова пространства $X$ и последовательности вложенных непустых замкнутых множеств, имеющей пустое пересечение.

(2)

Доказать, что каждая последовательность вложенных замкнутых шаров в банаховом пространстве имеет непустое пересечение.

Задача 1.87

Пусть $X$ — банахово пространство, $M \subset X$ — линейное множество. Доказать, что пополнение $M$ по норме пространства $X$ совпадает с замыканием $M$ .

?

Задача 1.88

Пусть $X$ — НЛП. Рассмотрим множество $\bar{X}$ , состоящее из всех фундаментальных последовательностей пространства $X$ , т.е. $\bar{x} \in \bar{X}$ , если $\bar{x} = \left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right),\left\{ x_{n}: n \geq 1\right\}$ — фундаментальная последовательность в $X$ .

?

(1)

Две последовательности $\bar{x} = \left\{ x_{n}: n \geq 1\right\}$ и $\bar{y} = \left\{ y_{n}: n \geq 1\right\}$ называются эквивалентными $(\bar{x} \sim \bar{y})$ , если $\left\| x_{n}-y_{n}\right\| \rightarrow 0, n \rightarrow \infty$ . Доказать, что отношение $\bar{x} \sim \bar{y}$ является отношением эквивалентности, т.е. рефлексивно, симметрично и транзитивно.

(2)

Таким образом, множество $\bar{X}$ разбивается на классы эквивалентных последовательностей. Обозначим множество этих классов через $\widetilde{X}$ . Доказать, что в $\widetilde{X}$ можно ввести структуру линейного пространства.

(3)

Для каждого $\tilde{x} \in \tilde{X}$ положим $\left\| \tilde{x}\right\|_{\tilde{X}} = \lim_{n \rightarrow \infty }\left\| x_{n}\right\|_{X}$ . Доказать, что эта формула определяет норму на $\widetilde{X}$ .

(4)

Доказать, что $\left(\widetilde{X},\left\| \tilde{x}\right\|_{\tilde{X}}\right)$ является полным пространством.

(5)

Доказать, что $\underset {\sim }{X}$ плотно в $\widetilde{X}$ , если элемент $x \in X$ отождествляется с классом эквивалентности $\tilde{x} \in \tilde{X}$ , содержащим последовательность $(x, x, \ldots )$ .

Задача 1.89

(1)(2)

Назовём последовательность $\left\{ e_{1}, \ldots , e_{n}, \ldots \right\} \subset X$ базисом Шаудера в НЛП $X$ , если для каждого $x \in X$ существует единственное представление $x = \sum_{n = 1}^{\infty } \alpha_{n} e_{n}, \alpha_{n} \in \mathbb {K}, n \geq$ 1, где ряд сходится по норме.

?

(1)

Доказать, что любое пространство с базисом Шаудера сепарабельно.

(2)

Доказать, что в пространствах $l_{p}, 1 \leq p < +\infty , c_{0}, c$ существует базис Шаудера.

Задача 1.90

Пусть $\left\{ e_{n}: n \geq 1\right\} \subset X$ — последовательность ненулевых элементов в банаховом пространстве $X$ со следующими свойствами:

(a) $\overline{\operatorname {span}\left(\left\{ e_{n}: n \geq 1\right\} \right)} = X$ ;

(b) $\exists C > 0 \forall m > k \forall \lambda_{1}, \ldots , \lambda_{m} \in \mathbb {K}:\left\| \sum_{i = 1}^{k} \lambda_{i} e_{i}\right\| \leq C\left\| \sum_{i = 1}^{m} \lambda_{i} e_{i}\right\|$ .

Доказать, что $\left\{ e_{n}: n \geq 1\right\}$ является базисом Шаудера в пространстве $X$ .

?

Примечание.

?

Последовательность $\left\{ e_{n}: n \geq 1\right\} \subset X \backslash \left\{ 0\right\}$ является базисом Шаудера в банаховом пространстве $X$ тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условиям (a) и (b) (см. задачу 8.30*).

Задача 1.91

(1)(2)(3)

Рассмотрим последовательность функций на $\left[0,1\right]$ , определённую следующим образом:

h_{2^{k}+l}(t) = \begin{cases} 1, & \frac{2 l-2}{2^{k+1}} \leq t < \frac{2 l-1}{2^{k+1}} \\ -1, & \frac{2 l-1}{2^{k+1}} \leq t < \frac{2 l}{2^{k+1}} \\ 0, & \text{ в остальных случаях }\end{cases}

где $k = 0,1,2, \ldots$ и $1 \leq l \leq 2^{k}, h_{1}(t) = 1, t \in [0,1]$ . Последовательность $\left\{ h_{n}: n \geq 1\right\}$ называется системой Хаара. Доказать, что

?

(1)

$\overline{\operatorname {span}\left(\left\{ h_{n}: n \geq 1\right\} \right)} = L_{p}(\left[0,1\right])$ по норме $L_{p}(\left[0,1\right]), 1 \leq p < +\infty$ ;

(2)

система Хаара является базисом Шаудера в $L_{p}(\left[0,1\right])$ при каждом $1 \leq p < +\infty$ ;

(3)

$\forall n \geq 1 \forall \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots , \lambda_{n+1} \in \mathbb {K}:\left\| \sum_{i = 1}^{n} \lambda_{i} h_{i}\right\|_{p} \leq \left\| \sum_{i = 1}^{n+1} \lambda_{i} h_{i}\right\|_{p}$ .

Базис, удовлетворяющий этому условию, называется монотонным.

Задача 1.92

Пусть $\left\{ h_{n}: n \geq 1\right\}$ — система Хаара из предыдущей задачи. Рассмотрим последовательность функций $\left\{ s_{n}: n \geq 0\right\}$ в $C(\left[0,1\right])$ , определённую следующим образом: $s_{0}(t) = 1, t \in \left[0,1\right]$ , и $s_{n}(t) = \int_{0}^{t} h_{n}(\tau ) d \tau , t \in [0,1], n \geq 1$ . Последовательность $\left\{ s_{n}: n \geq 0\right\}$ называется системой Шаудера. Доказать, что система Шаудера является монотонным базисом Шаудера в $C(\left[0,1\right])$ .

?

Задача 1.93

Пусть $A$ — множество в НЛП $X$ , и $A$ содержит счётное подмножество, плотное в $A$ . Доказать, что $\overline{\operatorname {span}(A)}$ является сепарабельным подпространством в $X$ .

?

Задача 1.94

(1)(2)

НЛП $X$ называется строго нормированным, если для любых $x_{1}, x_{2} \in X$ равенства $\left\| x_{1}\right\| = \left\| x_{2}\right\| = \left\| \frac{1}{2}\left(x_{1}+x_{2}\right)\right\| = 1$ влекут $x_{1} = x_{2}$ . Норма на таком пространстве называется строго выпуклой. Доказать, что

?

(1)

$X$ строго нормировано тогда и только тогда, когда для всех $x_{1}, x_{2} \in X$ и $\alpha \in [0,1]$ равенства $\left\| x_{1}\right\| = \left\| x_{2}\right\| = \left\| \alpha x_{1}+(1-\alpha ) x_{2}\right\| = 1$ влекут $x_{1} = x_{2}$ ;

(2)

$X$ строго нормировано тогда и только тогда, когда единичный шар $\bar{B}(0,1)$ является строго выпуклым множеством (для открытого множества $A$ множество $\bar{A}$ называется строго выпуклым, если $\alpha x_{1}+(1-\alpha ) x_{2} \in A$ для всех $x_{1}, x_{2} \in \bar{A}$ и $\alpha \in (0,1)$ ).

Задача 1.95

При каких $1 \leq p \leq +\infty$ пространство $\mathbb {R}^{m}$ с нормой $\left\| \cdot \right\|_{p}$ строго нормировано?

?

Задача 1.96

(1)(2)

Доказать, что

?

(1)

пространства $L_{p}(T, \mu ), 1 < p < +\infty$ , строго нормированы;

(2)

пространства $C(\left[a, b\right]), L_{1}(\left[a, b\right]), L_{\infty }(\left[a, b\right])$ не являются строго нормированными.

Задача 1.97

(1)(2)

Доказать, что действительное НЛП $X$ строго нормировано тогда и только тогда, когда для произвольного выпуклого множества $L \subset X$ и для любого $x \in X$ существует не более одного элемента наилучшего приближения (т.е. если элемент наилучшего приближения существует, то он единственен).

В $(\mathbb {R}^{2},\left\| \cdot \right\|_{1})$ привести примеры подпространства $L \subset \mathbb {R}^{2}$ и элемента $x \in \mathbb {R}^{2}$ , для которых

?

(1)

существует единственный элемент наилучшего приближения в $L$ ;

(2)

существует несколько элементов наилучшего приближения в $L$ .

Задача 1.98

(1)(2)

Нормированное линейное пространство $X$ называется равномерно выпуклым, если

\begin{aligned} \forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x_{1}, x_{2} \in X,\left\| x_{1}\right\| & = \left\| x_{2}\right\| = 1, \\ & \left\| \frac{1}{2}\left(x_{1}+x_{2}\right)\right\| > 1-\delta :\left\| x_{1}-x_{2}\right\| < \varepsilon . \end{aligned}

Доказать, что

?

(1)

равномерно выпуклое пространство строго нормировано;

(2)

конечномерное строго нормированное пространство равномерно выпукло.

Задача 1.99

(1)(2)

?

(1)

Пусть $1 < p < \infty$ . Доказать, что для любого $0 < c < 1$ существует $a_{c} \geq 1$ такое, что

\frac{\left|z_{1}\right|^{p}+\left|z_{2}\right|^{p}}{2} \leq a_{c}\left(\frac{\left|z_{1}\right|^{p}+\left|z_{2}\right|^{p}}{2}-\left|\frac{z_{1}+z_{2}}{2}\right|^{p}\right)

для всех $z_{1}, z_{2} \in \mathbb {K}$ , для которых $\left|\frac{z_{1}-z_{2}}{2}\right|^{p} \geq c\left(\frac{\left|z_{1}\right|^{p}+\left|z_{2}\right|^{p}}{2}\right)$ .

(2)

Доказать, что пространство $L_{p}(T, \mu ), 1 < p < +\infty$ , равномерно выпукло.

Задача 1.100

Пусть $X$ — равномерно выпуклое банахово пространство. Доказать, что для каждого элемента $x \in X$ в произвольном выпуклом замкнутом множестве $L \subset X$ существует единственный элемент наилучшего приближения.

?

Задача 1.101

Пусть $X$ — равномерно выпуклое банахово пространство, $K \subset X$ — непустое замкнутое выпуклое множество. Доказать, что функция $f(x) = \left\| x\right\| , x \in X$ , достигает своего минимума на $K$ ровно один раз.

?

Задача 1.102

Пусть $(T, \mathcal{F}, \mu )$ — измеримое пространство с мерой $\mu , \mu (T) < +\infty$ . Пусть $\Phi$ обозначает множество всех $n \in \mathbb {N}$ , для которых существует разбиение пространства $T = \bigcup_{k = 1}^{n} A_{k}$ , где $A_{i} \in \mathcal{F}, \mu \left(A_{i}\right) > 0,1 \leq i \leq n, A_{i} \cap A_{j} = \varnothing , i \neq j$ . Доказать, что для каждого $1 \leq p < +\infty$ размерность пространства $L_{p}(T, \mu )$ задаётся формулой $\operatorname {dim} L_{p}(T, \mu ) = \sup \Phi$ . При этом

\operatorname {dim} L_{p}(T, \mu ) = n < +\infty \Leftrightarrow \text{ существует разбиение } T \text{ на } n \text{ атомов. }

(Множество $A \in \mathcal{F}$ называется атомом, если $\mu (A) > 0$ и для каждого подмножества $B \subset A, B \in \mathcal{F}$ , либо $\mu (B) = 0$ , либо $\mu (A \backslash B) = 0$ .)

?

Банаховы пространства