Задачи

Пусть $M$ — множество в банаховом пространстве такое, что для каждого $\varepsilon > 0$ существует предкомпактная $\varepsilon$-сеть для множества $M$. Доказать, что множество $M$ предкомпактно.

Доказать, что каждое подмножество предкомпактного множества предкомпактно.

Доказать, что если хотя бы один (открытый или замкнутый) шар в НЛП предкомпактен, то все открытые и замкнутые шары в этом пространстве предкомпактны.

Пусть $M$ — предкомпактное множество в метрическом пространстве $(X, \rho )$. Последовательность $\left\{ x_{n}: n \geq \right\}$ 1) $\subset X$ такова, что $\rho \left(x_{n}, M\right) \rightarrow 0, n \rightarrow \infty$. Доказать, что множество $K = \left\{ x_{n}: n \geq 1\right\}$ предкомпактно.

Пусть $M = \left\{ x_{n}: n \geq 1\right\}$ — предкомпактное множество в НЛП $X, x_{0} \in X$. Доказать, что $x_{n} \rightarrow x_{0}, n \rightarrow \infty$, в $X$, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

Пусть $\left\{ M_{n}: n \geq 1\right\}$ — последовательность компактных множеств в метрическом пространстве. Доказать, что если $\bigcap_{k = 1}^{n} M_{k} \neq \varnothing , n \geq 1$, то $\bigcap_{k = 1}^{\infty } M_{k} \neq \varnothing$.

Пусть $M$ — компактное множество в метрическом пространстве $(X, \rho )$. Доказать, что для любого $\varepsilon > 0$ множество $M$ можно представить в виде $M = \bigcup_{k = 1}^{n} M_{k}$, где $M_{k}$ — замкнутые множества, для которых

Пусть $X$ — НЛП, $M \subset X, N \subset X$. Верно ли, что множество $M+N$:

Пусть $(X, \rho )$ — метрическое пространство, $M \subset X$. Функция $f: M \rightarrow \mathbb {R}$ называется полунепрерывной снизу (полунепрерывной сверху) на множестве $M$, если

(соответственно $f(x) < f\left(x_{0}\right)+\varepsilon$). Доказать, что

Пусть $M$ — множество в банаховом пространстве такое, что каждая действительная непрерывная функция на $M$ равномерно непрерывна. Следует ли отсюда, что $M$ — компактное множество?

Пусть $\left\{ L_{n}: n \geq 1\right\}$ — последовательность конечномерных подпространств банахова пространства $X$ такая, что $L_{n} \subset L_{n+1}, n \geq 1$, и множество $\bigcup_{n = 1}^{\infty } L_{n}$ плотно в $X$. Доказать, что ограниченное множество $M$ предкомпактно в $X$ тогда и только тогда, когда $\sup_{x \in M} \rho \left(x, L_{n}\right) \rightarrow 0, n \rightarrow \infty$.

Доказать, что ограниченное множество $M$ предкомпактно

Сформулировать и доказать критерий предкомпактности в сепарабельном гильбертовом пространстве $H$ с ортонормированным базисом $\left\{ e_{n}: n \geq 1\right\}$.

Доказать, что следующие множества предкомпактны в $C(\left[a, b\right])$ (здесь $k_{1}, k_{2}$ — фиксированные неотрицательные константы):

Какие из следующих множеств предкомпактны (компактны) в $C(\left[0,1\right])$:

При каких условиях на множество $A \subset \mathbb {R}$ следующие множества предкомпактны (компактны) в $C(\left[0,1\right])$:

Являются ли следующие множества предкомпактными в $L_{2}(\left[0,1\right])$:

Доказать компактность следующих множеств в $l_{2}$:

Пусть $a_{n} > 0, n \in \mathbb {N}$. Сформулировать условия на $\left\{ a_{n}: n \geq 1\right\}$, при которых следующие множества компактны в $l_{2}$:

Доказать, что каждое множество, предкомпактное в $C^{1}(\left[a, b\right])$, также предкомпактно в $C(\left[a, b\right])$. Верно ли, что каждое подмножество $C^{1}(\left[a, b\right])$, предкомпактное в $C(\left[a, b\right])$, также предкомпактно в $C^{1}(\left[a, b\right])$?

Доказать, что шар $\bar{B}(0,1)$ пространства $C^{1}(\left[a, b\right])$ предкомпактен, но не является замкнутым множеством в $C(\left[a, b\right])$.

Сформулировать и доказать критерий предкомпактности в пространствах $C^{k}(\left[a, b\right]), k \in \mathbb {N}$.

Пусть $(K, \rho )$ — компактное метрическое пространство. Доказать, что множество $M$ предкомпактно в пространстве $C(K)$ тогда и только тогда, когда оно равномерно ограничено и равностепенно непрерывно (т.е.

Пусть $X_{1}, X_{2}$ — нормированные линейные пространства и $X_{1}$ — подмножество $X_{2}$. Найти необходимые и достаточные условия того, что каждое предкомпактное множество в $X_{1}$ предкомпактно в $X_{2}$.

Верно ли, что каждое предкомпактное множество в НЛП $X_{1}$ предкомпактно в НЛП $X_{2}$, если

Пусть $T$ — некоторое множество, $B(T)$ — линейное пространство всех ограниченных функций из $T$ в $\mathbb {R}$, и $\left\| x\right\|_{\infty } = \sup_{t \in T}\left|x(t)\right|, x \in B(T)$. Доказать следующие утверждения.

Пусть $T$ — некоторое множество, $Y$ — компактное подмножество НЛП $X,\left\| \cdot \right\|$ — норма в $X, B(T, Y)$ — линейное пространство всех отображений из $T$ в $Y$, и $\left\| x\right\|_{\infty } = \sup \left\| x(t)\right\| , x \in B(T, Y)$. Доказать, что $B(T, Y)$ с нормой $\left\| \cdot \right\|_{\infty }$ является банаховым $t \in T$ пространством. Сформулировать и доказать критерий предкомпактности в этом пространстве.

Пусть $X_{1}, X_{2}$ — нормированные линейные пространства. Доказать, что линейный оператор $A: X_{1} \rightarrow X_{2}$ компактен тогда и только тогда, когда для каждой ограниченной последовательности $\left\{ x_{n}: n \geq 1\right\} \subset X_{1}$ последовательность $\left\{ A x_{n}: n \geq 1\right\} \subset X_{2}$ содержит сходящуюся подпоследовательность.

Доказать, что в бесконечномерном НЛП

Пусть $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ — нормированные линейные пространства. Доказать, что

Пусть $X_{1}, X_{2}$ — нормированные линейные пространства, $A: X_{1} \rightarrow X_{2}$ — линейный оператор. Верно ли, что $A \in S_{\infty }\left(X_{1}, X_{2}\right)$, если

Какие из следующих операторов в $l_{2}$ компактны:

Найти необходимое и достаточное условие на ограниченную последовательность $\left\{ \alpha_{n}: n \geq 1\right\} \subset \mathbb {C}$, при котором оператор $A x = \left(\alpha_{1} x_{1}, \alpha_{2} x_{2}, \ldots \right), x \in X$, компактен в пространстве $X$, если

Найти необходимое и достаточное условие компактности оператора $A: l_{2} \rightarrow l_{2}$, представленного матрицей Якоби

Обязательно ли $A \in S_{\infty }\left(X_{1}, X_{2}\right)$, если

Пусть $K \in C\left(\left[a, b\right]^{2}\right)$ и

Доказать, что $A \in S_{\infty }(C(\left[a, b\right]))$.

Какие из следующих операторов $A: C(\left[0,1\right]) \rightarrow C(\left[0,1\right])$ компактны:

Доказать, что оператор $A: X_{1} \rightarrow X_{2}$, определённый формулой

компактен, если

Какие из операторов $A: L_{2}(\left[0,1\right]) \rightarrow L_{2}(\left[0,1\right])$ компактны:

При каких условиях на функцию $a$ оператор $(A x)(t) = a(t) x(t)$ компактен

Доказать, что оператор вложения НЛП $X_{1}$ в НЛП $X_{2}$, т.е. оператор $A: X_{1} \rightarrow X_{2}$, определённый как $A x = x, x \in X_{1}$, компактен, если

Является ли оператор вложения НЛП $X_{1}$ в НЛП $X_{2}$ компактным, если

При каких условиях на последовательность $\alpha = \left\{ \alpha_{n}: n \geq 1\right\} \subset [1,+\infty )$ оператор вложения пространства $l_{2, \alpha }$ (см. задачу $2.6^{\circ }$) в $c_{0}$ компактен?

Является ли оператор $A: X_{1} \rightarrow X_{2},(A x)(t) = x^{\prime }(t), t \in [0,1]$, компактным, если

Доказать, что оператор ортогонального проектирования в гильбертовом пространстве компактен тогда и только тогда, когда этот оператор конечномерен.

Привести пример оператора $A \in \mathcal{L}\left(l_{2}\right)$ такого, что

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A, B \in \mathcal{L}(H)$. Верно ли, что

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A: H \rightarrow H$ — линейный оператор. Обязательно ли $A \in \mathcal{L}(H)$, если

Доказать, что область значений каждого компактного оператора является сепарабельным множеством.

Пусть $c_{0}, c_{1}, \ldots , c_{n} \in \mathbb {C}$. Может ли компактный оператор $A$ в бесконечномерном НЛП удовлетворять уравнению $\sum_{k = 0}^{n} c_{k} A^{k} = 0$? (Здесь $A^{0} = I$.)

Может ли компактный оператор $A$ в бесконечномерном банаховом пространстве $X$ иметь алгебраический обратный, определённый

Пусть $X$ — НЛП, $A \in \mathcal{L}(X)$ и существует $c > 0$ такое, что $\left\| A x\right\| \geq c\left\| x\right\|$ для всех $x \in X$. При каких условиях на $X$ оператор $A$ может быть компактным?

Пусть $X_{1}, X_{2}$ — нормированные линейные пространства, $\operatorname {dim} X_{1} = +\infty$ и $A \in S_{\infty }\left(X_{1}, X_{2}\right)$. Доказать, что существует последовательность $\left\{ x_{n}: n \geq 1\right\} \subset X_{1}$ такая, что $\left\| x_{n}\right\| = 1$ и $A x_{n} \rightarrow 0, n \rightarrow \infty$.

Показать, что $C^{1}(\left[a, b\right])$ является множеством первой категории в банаховом пространстве $X$, если

Пусть $X_{1}$ — НЛП, $X_{2}$ — банахово пространство, и $A \in S_{\infty }\left(X_{1}, X_{2}\right)$ таков, что множество $R(A)$ замкнуто в $X_{2}$. Показать, что $\operatorname {dim} R(A) < +\infty$.

Показать, что в гильбертовом пространстве подпространство, лежащее в области значений компактного оператора, конечномерно.

Пусть $M$ — подпространство $C(\left[a, b\right])$ такое, что $M \subset C^{1}(\left[a, b\right])$. Показать, что $M$ конечномерно.

Пусть $H$ — гильбертово пространство и $A \in \mathcal{L}(H)$. Доказать, что оператор $A$ компактен тогда и только тогда, когда существует последовательность конечномерных линейных операторов, сходящаяся равномерно к $A$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A \in \mathcal{L}(H)$. Доказать, что операторы $A, A^{*}, A A^{*}$ и $A^{*} A$ одновременно компактны или не компактны.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A \in \mathcal{L}(H)$. Доказать, что