Банк задач по математике

Задача 14.17

(1)(2)(3)

Пусть $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb {R})$ — ненулевая функция. Сходятся ли следующие последовательности в $\mathcal{D}(\mathbb {R})$ :

?

(1)

$\left\{ \frac{1}{n} \varphi (x), x \in \mathbb {R}: n \geq 1\right\}$ ;

(2)

$\left\{ \frac{1}{n} \varphi (n x), x \in \mathbb {R}: n \geq 1\right\}$ ;

(3)

$\left\{ \varphi (x+n), x \in \mathbb {R}: n \geq 1\right\}$ ?

Задача 14.18

(1)(2)

Пусть $\varepsilon > 0$ . Для локально интегрируемой функции $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C}$ рассмотрим функцию $f_{\varepsilon }: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C}$ , определённую следующим образом:

f_{\varepsilon }(x) = \int _{\mathbb {R}} \omega _{\varepsilon }(x-y) f(y) d y, x \in \mathbb {R}

Доказать следующие утверждения:

?

(1)

если $f = \chi_{\left[-a, a\right]}$ и $\varepsilon < a < +\infty$ , то $f_{\varepsilon } \in \mathcal{D}(\mathbb {R})$ , причём $0 \leq f_{\varepsilon }(x) \leq 1$ для всех $x \in \mathbb {R}, f_{\varepsilon }(x) = 1$ при $\left|x\right| \leq a-\varepsilon$ и $f_{\varepsilon }(x) = 0$ при $\left|x\right| \geq a+\varepsilon$ ;

(2)

если $f \in C(\mathbb {R})$ и $\operatorname {supp} f \subset [-a, a]$ , то $f_{\varepsilon } \in \mathcal{D}(\mathbb {R})$ , и $f_{\varepsilon }(x) = 0$ при $\left|x\right| \geq a+\varepsilon$ .

Задача 14.19

(1)(2)(3)

Пусть $f_{\varepsilon }$ — функция, определённая в задаче $14.18^{\circ }$ . Доказать следующие утверждения:

?

(1)

если $f \in L_{p}(\mathbb {R}), 1 \leq p < +\infty$ , то для произвольного $\varepsilon > 0$ выполняется $f_{\varepsilon } \in L_{p}(\mathbb {R}) \cap C^{\infty }(\mathbb {R})$ , и $\left\| f_{\varepsilon }\right\|_{p} \leq \left\| f\right\|_{p}$ ;

(2)

если существует $a > 0$ такое, что $f = 0$ почти всюду при $\left|x\right| \geq a$ , то для $f \in C(\mathbb {R})$ имеет место сходимость $f_{\varepsilon } \rightarrow f$ при $\varepsilon \rightarrow 0+$ в $C(\mathbb {R})$ , а для $f \in L_{p}(\mathbb {R}), 1 \leq p < \infty$ , имеет место сходимость $f_{\varepsilon } \rightarrow f$ в $L_{p}(\mathbb {R})$ ;

(3)

множество $\mathcal{D}(\mathbb {R})$ плотно в $L_{p}(\mathbb {R}), 1 \leq p < +\infty$ .

Задача 14.20

Пусть $f \in L_{\infty }(\mathbb {R})$ , и существует $a > 0$ такое, что $f = 0$ почти всюду при $\left|x\right| \geq a$ . Доказать, что существует последовательность $\left\{ g_{n}\right\} \subset \mathcal{D}(\mathbb {R})$ такая, что $\left\| g_{n}\right\|_{\infty } \leq \left\| f\right\|_{\infty }, n \geq 1$ , и $g_{n} \rightarrow f(\bmod m), n \rightarrow \infty$ .

?

Задача 14.21

Множество $M \subset \mathcal{D}(\mathbb {R})$ называется ограниченным в $\mathcal{D}(\mathbb {R})$ , если носители всех функций из $M$ принадлежат одному и тому же отрезку $\left[a, b\right]$ , и $\forall k \in \mathbb {N} \cup \left\{ 0\right\} \exists C_{k} > 0 \forall \varphi \in M: \max_{a \leq x \leq b}\left|\varphi^{(k)}(x)\right| \leq C_{k}$ .

Доказать, что любое ограниченное в $\mathcal{D}(\mathbb {R})$ множество относительно компактно, т.е. любая последовательность его элементов содержит подпоследовательность, сходящуюся в $\mathcal{D}(\mathbb {R})$ .

?

Задача 14.22

(1)(2)

Доказать, что операции дифференцирования и умножения на функцию $\alpha \in C^{\infty }(\mathbb {R})$ непрерывны в $\mathcal{D}(\mathbb {R})$ , т.е. сходимость $\varphi_{n} \xrightarrow {\mathcal{D}(\mathbb {R})} \varphi$ влечёт, что

?

(1)

$\varphi_{n}^{\prime } \xrightarrow {\mathcal{D}(\mathbb {R})} \varphi^{\prime }$ ;

(2)

$\alpha \varphi_{n} \xrightarrow {\mathcal{D}(\mathbb {R})} \alpha \varphi , n \rightarrow \infty$ .

Задача 14.23

Пусть $\xi \in \mathcal{D}(\mathbb {R}), \xi (x) = 1$ в некоторой окрестности нуля, и функция $\alpha \in C^{\infty }(\mathbb {R})$ имеет единственный нуль порядка 1 в точке $x = 0$ . Пусть $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb {R})$ . Доказать, что функция

\psi (x) = \frac{\varphi (x)-\xi (x) \varphi (0)}{\alpha (x)}, x \in \mathbb {R} \backslash \left\{ 0\right\}

доопределённая по непрерывности в точке $x = 0$ , принадлежит пространству $\mathcal{D}(\mathbb {R})$ .

?

Задача 14.24

Доказать, что функция $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb {R})$ является производной некоторой другой функции $\psi \in \mathcal{D}(\mathbb {R})$ тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условию $\int_{\mathbb {R}} \varphi (x) d x = 0$ .

?

Задача 14.25

Доказать, что любую функцию $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb {R})$ можно представить в виде

\varphi (x) = \eta (x) \int _{\mathbb {R}} \varphi (y) d y+\psi ^{\prime }(x), x \in \mathbb {R}

где $\psi \in \mathcal{D}(\mathbb {R})$ , а $\eta$ — произвольная фиксированная функция из $\mathcal{D}(\mathbb {R})$ , удовлетворяющая условию $\int_{\mathbb {R}} \eta (x) d x = 1$ .

?

Задача 14.26

Доказать, что следующие функционалы $f: \mathcal{D}(\mathbb {R}) \rightarrow \mathbb {C}$ являются обобщёнными функциями, т.е. $f \in \mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})$ .

?

(1)

$f(\varphi ) = \varphi (0)+\varphi (1)$ ;

(2)

$f(\varphi ) = \varphi^{\prime }(0)$ ;

(3)

$f(\varphi ) = \int_{\mathbb {R}} \varphi (x) d x$ ;

(4)

$f(\varphi ) = \int_{-1}^{1}\left|x\right| \varphi^{\prime }(x) d x ;$

(5)

$f(\varphi ) = \int_{-2}^{2} \operatorname {sign} x \varphi^{\prime }(x) d x$ ;

(6)

$f(\varphi ) = \int_{\mathbb {R}} \ln \left|x\right| \varphi (x) d x$ ;

(7)

$f(\varphi ) = \int_{\mathbb {R}} e^{x} \varphi^{\prime }(x) d x$ ;

(8)

$f(\varphi ) = \int_{\mathbb {R}} e^{-x} \varphi^{(n)}(x) d x, n \in \mathbb {N}$ ;

(9)

$f(\varphi ) = \varphi^{\prime }(1)+\int_{0}^{2 \pi } \sin x \varphi (x) d x$ ;

(10)

$f(\varphi ) = \varphi (0)+\int_{1}^{3} x \varphi^{\prime \prime }(x) d x$ .

В каких из этих случаев функция регулярна? Найти носитель $f$ .

Задача 14.27

(1)(2)(3)(4)

Доказать, что следующие функционалы являются сингулярными обобщёнными функциями из $\mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})$ .

?

(1)

$\left\langle \mathcal{P} \frac{1}{x^{2}}, \varphi \right\rangle =$ v.p. $\int_{\mathbb {R}} \frac{\varphi (x)-\varphi (0)}{x^{2}} d x$ ;

(2)

$\left\langle \mathcal{P} \frac{1}{x^{3}}, \varphi \right\rangle =$ v.p. $\int_{\mathbb {R}} \frac{\varphi (x)-\varphi (0)-\varphi^{\prime }(0) x}{x^{3}} d x$ ;

(3)

$\left\langle \mathcal{P} \frac{1}{x^{n}}, \varphi \right\rangle = \mathrm{v}. \mathrm{p}. \int_{\mathbb {R}} \frac{\varphi (x)-\varphi (0)-\varphi^{\prime }(0) x-\ldots -\frac{\varphi^{(n-1)}(0)}{(n-1)!} x^{n-1}}{x^{n}} d x, n \in \mathbb {N}$ ;

(4)

$\left\langle \mathcal{P} \frac{\cos a x}{x}, \varphi \right\rangle =$ v. p. $\int_{\mathbb {R}} \frac{\cos a x}{x} \varphi (x) d x, a > 0$ , где v. p. $\int_{\mathbb {R}} f(x) d x: = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0+}\left(\int_{-\infty }^{-\varepsilon } f(x) d x+\int_{\varepsilon }^{\infty } f(x) d x\right)$ .

Задача 14.28

Пусть $f \in \mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})$ и $\langle f, \varphi \rangle \geq 0$ для каждой неотрицательной $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb {R})$ . Доказать, что существует мера $\mu$ , определённая на $\sigma$ -алгебре борелевских множеств $\mathcal{B}(\mathbb {R})$ , такая что $\langle f, \varphi \rangle = \int_{\mathbb {R}} \varphi (x) d \mu (x)$ для всех $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb {R})$ .

?

Задача 14.29

Доказать, что $\delta_{a} \xrightarrow {\mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})} 0, a \rightarrow +\infty$ .

?

Задача 14.30

(1)(2)

Доказать, что

?

(1)

$\eta_{\varepsilon } \xrightarrow {\mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})} \delta_{0}, \varepsilon \rightarrow 0+$ , где $\eta_{\varepsilon }(x) = \begin{cases} \frac{1}{2 \varepsilon }, & \left|x\right| \leq \varepsilon , \\ 0, & \left|x\right| > \varepsilon ;\end{cases}$

(2)

$f_{\varepsilon } \xrightarrow {\mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})} \delta_{0} \int_{\mathbb {R}} f(x) d x, \varepsilon \rightarrow 0+$ , где $f \in L_{1}(\mathbb {R})$ и $f_{\varepsilon }(x): = \frac{1}{\varepsilon } f\left(\frac{x}{\varepsilon }\right)$ .

Задача 14.31

Доказать, что

?

(1)

$\frac{\varepsilon }{x^{2}+\varepsilon^{2}} \xrightarrow {\mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})} \pi \delta_{0}, \varepsilon \rightarrow 0+$ ;

(2)

$\frac{1}{\sqrt{\varepsilon }} e^{-\frac{x^{2}}{\varepsilon }} \xrightarrow {\mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})} \sqrt{\pi } \delta_{0}, \varepsilon \rightarrow 0+$ ;

(3)

$\frac{1}{x} \sin \frac{x}{\varepsilon } \chi_{[0,+\infty )}(x) \xrightarrow {\mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})} \frac{\pi }{2} \delta_{0}, \varepsilon \rightarrow 0+$ ;

(4)

$\frac{1}{2 x+\varepsilon } \chi_{(\varepsilon , 4 \varepsilon )}(x) \xrightarrow {\mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})} \frac{\ln 3}{2} \delta_{0}, \varepsilon \rightarrow 0+;$

(5)

$t^{n} e^{i x t} \xrightarrow {\mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})} 0, t \rightarrow +\infty$ , для каждого $n \geq 0$ .

Задача 14.32

Доказать, что

\frac{1}{x \pm i \varepsilon } \xrightarrow {\mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})} \mathcal{P} \frac{1}{x} \mp i \pi \delta _{0}, \varepsilon \rightarrow 0+.

?

Задача 14.33

(1)(2)

Доказать, что

?

(1)

$\forall \alpha \in C^{\infty }(\mathbb {R}): \alpha \delta_{0} = \alpha (0) \delta_{0}$ ;

(2)

$\forall a \in \mathbb {R} \backslash \left\{ 0\right\} : \delta_{0}(a x) = \frac{1}{\left|a\right|} \delta_{0}(x)$ .

Задача 14.34

Пусть $\alpha \in C^{\infty }(\mathbb {R})$ имеет единственный нуль порядка 1 в точке $x = 0$ . Найти общее решение уравнения $\alpha f = 0$ в $\mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})$ .

?

Задача 14.35

Пусть $f \in \mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})$ , $\operatorname {supp} f \subset [-a, a], \eta \in C^{\infty }(\mathbb {R})$ , и существует $\varepsilon > 0$ такое, что $\eta (x) = 1$ для всех $x \in [-a-\varepsilon , a+\varepsilon ]$ . Доказать, что $\eta f = f$ .

?

Задача 14.36

(1)(2)(3)(4)

Доказать, что в $\mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})$ выполняются следующие равенства:

?

(1)

$x^{n} \mathcal{P} \frac{1}{x} = x^{n-1}, n \in \mathbb {N}$ ;

(2)

$x \mathcal{P} \frac{1}{x^{2}} = \mathcal{P} \frac{1}{x}$ ;

(3)

$x^{n} \mathcal{P} \frac{1}{x^{k}} = x^{n-k}, n, k \in \mathbb {N}, n \geq k$ ;

(4)

$x^{n} \mathcal{P} \frac{1}{x^{k}} = \mathcal{P} \frac{1}{x^{k-n}}, n, k \in \mathbb {N}, n < k$ , где $\mathcal{P} \frac{1}{x^{n}}, n \geq 1$ , — обобщённые функции, определённые в задачах 14.4 и 14.27.

Задача 14.37

(1)(2)

Найти производные в $\mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})$ функций

?

(1)

$f(x) = \left|x\right|, x \in \mathbb {R}$ ;

(2)

$f(x) = \operatorname {sign}(\sin x), x \in \mathbb {R}$ .

Задача 14.38

Доказать, что для любых $f \in \mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R}), a \in \mathbb {R}$ и $n \in \mathbb {N}$ верно равенство $(f(x+a))^{(n)} = f^{(n)}(x+a)$ .

?

Задача 14.39

Вычислить производные в $\mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})$ при $n \geq 1$ :

?

(1)

$\theta^{(n)}(x-a)$ ;

(2)

$\left(\theta (x) e^{a x}\right)^{(n)}$ ;

(3)

$(\operatorname {sign} x)^{(n)}$ ;

(4)

$\left|x\right|^{(n)}$ ;

(5)

$(\operatorname {sign}(\cos x))^{(n)}$ ;

(6)

$\left[x\right]^{(n)}$ , где $\theta (x) = \chi_{[0,+\infty )}(x)$ — функция Хевисайда, $\left[x\right]$ — целая часть числа $x$ .

Задача 14.40

Найти производные первых трёх порядков в $\mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})$ следующих функций:

?

(1)

$f(x) = \theta (x) \sin x$ ;

(2)

$f(x) = \theta (x) \cos x$ ;

(3)

$f(x) = \begin{cases} x^{2}, & \left|x\right| \leq 2, \\ 0, & \left|x\right| > 2 ;\end{cases}$

(4)

$f(x) = \begin{cases} 1, & x < 0, \\ x+1, & 0 \leq x < 1, \\ x^{2}+1, & x \geq 1 ;\end{cases}$

(5)

$f(x) = \begin{cases} 0, & x < -1, \\ (x+1)^{2}, & -1 \leq x < 0, \\ x^{2}+1, & x \geq 0 ;\end{cases}$

(6)

$f(x) = \sin x \chi_{\left[-\pi , \pi \right]}(x)$ ;

(7)

$f(x) = \begin{cases} x^{2}, & x < 1, \\ (x-2)^{2}, & 1 \leq x < 2, \\ 0, & x \geq 2 ;\end{cases}$

(8)

$f(x) = \left|\cos x\right| \chi_{\left[0,2 \pi \right]}(x)$ .

Задача 14.41

Доказать, что

?

(1)

$\frac{1}{\varepsilon^{2}} f^{\prime }\left(\frac{x}{\varepsilon }\right) \xrightarrow {\mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})} \delta_{0}^{\prime } \int_{\mathbb {R}} f(x) d x, \varepsilon \rightarrow 0+$ , где $f \in L_{1}(\mathbb {R}) \cap C^{1}(\mathbb {R})$ ;

(2)

$\frac{x \varepsilon }{\left(x^{2}+\varepsilon^{2}\right)^{2}} \xrightarrow {\mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})}-\frac{\pi }{2} \delta_{0}^{\prime }, \varepsilon \rightarrow 0+$ ;

(3)

$\frac{x}{\varepsilon \sqrt{\varepsilon }} e^{-\frac{x^{2}}{\varepsilon }} \xrightarrow {\mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})}-\frac{\sqrt{\pi }}{2} \delta_{0}^{\prime }, \varepsilon \rightarrow 0+$ ;

(4)

$\frac{1}{x^{2}} \chi_{[\varepsilon , 2 \varepsilon )}(x)-\frac{1}{\varepsilon } \delta_{\varepsilon }+\frac{1}{2 \varepsilon } \delta_{2 \varepsilon } \xrightarrow {\mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})}-\ln 2 \delta_{0}^{\prime }, \varepsilon \rightarrow 0+$ ;

(5)

$\frac{e}{\varepsilon^{2}} e^{-\frac{x}{\varepsilon }} \chi_{[\varepsilon ,+\infty )}(x)-\frac{1}{\varepsilon } \delta_{\varepsilon } \xrightarrow {\mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})}-\delta_{0}^{\prime }, \varepsilon \rightarrow 0+$ .

Задача 14.42

(1)(2)(3)(4)

Доказать, что в $\mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})$ выполняются следующие равенства:

?

(1)

$(\ln \left|x\right|)^{\prime } = \mathcal{P} \frac{1}{x}$ ;

(2)

$\left(\mathcal{P} \frac{1}{x}\right)^{\prime } = -\mathcal{P} \frac{1}{x^{2}}$ ;

(3)

$\left(\mathcal{P} \frac{1}{x^{2}}\right)^{\prime } = -2 \mathcal{P} \frac{1}{x^{3}}$ ;

(4)

$\left(\mathcal{P} \frac{1}{x^{n}}\right)^{\prime } = -n \mathcal{P} \frac{1}{x^{n+1}}, n \geq 1$ , где $\mathcal{P} \frac{1}{x^{n}}, n \geq 1$ , — обобщённые функции, определённые в задачах 14.4 и 14.27.

Задача 14.43

Пусть $\alpha \in C^{\infty }(\mathbb {R})$ и $f \in \mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})$ . Доказать, что $(\alpha f)^{\prime } = \alpha^{\prime } f+\alpha f^{\prime }$ . Вычислить $(\alpha \theta )^{\prime }$ , где $\theta$ — функция Хевисайда.

?

Задача 14.44

Доказать в $\mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})$ следующие равенства

?

(1)

$x \delta_{0}^{(n)} = -n \delta_{0}^{(n-1)}, n \in \mathbb {N}$ ;

(2)

$e^{x} \delta_{0}^{\prime \prime \prime } = \delta_{0}^{\prime \prime \prime }-3 \delta_{0}^{\prime \prime }+3 \delta_{0}^{\prime }-\delta_{0}$ ;

(3)

$x^{k} \delta_{0}^{(n)} = (-1)^{k}\binom {n}{k} \delta_{0}^{(n-k)}, n, k \in \mathbb {N}, n \geq k$ ;

(4)

$x^{k} \delta_{0}^{(n)} = 0, n, k \in \mathbb {N}, n < k$ ;

(5)

$\alpha \delta_{0}^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n}(-1)^{k}\binom {n}{k} \alpha^{(k)}(0) \delta_{0}^{(n-k)}, \alpha \in C^{\infty }(\mathbb {R})$ .

Задача 14.45

Доказать, что обобщённые функции $\delta_{0}, \delta_{0}^{\prime }, \ldots , \delta_{0}^{(n)}$ линейно независимы в $\mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})$ .

?

Задача 14.46

Доказать в $\mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})$ равенство $\left|\cos x\right|^{\prime \prime }+\left|\cos x\right| = 2 \sum_{k \in \mathbb {Z}} \delta_{\left(k+\frac{1}{2}\right) \pi }$ .

?

Задача 14.47

Используя разложение

\frac{x}{2}-\frac{x^{2}}{4 \pi } = \frac{\pi }{6}-\frac{1}{2 \pi } \sum _{k \in \mathbb {Z} \backslash \left\{ 0\right\} } \frac{1}{k^{2}} e^{i k x}, x \in [0,2 \pi ]

доказать, что в $\mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})$ выполняется равенство $\frac{1}{2 \pi } \sum_{k \in \mathbb {Z}} e^{i k x} = \sum_{k \in \mathbb {Z}} \delta_{2 \pi k}$ .

?

Задача 14.48

Доказать в $\mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})$ равенство $\frac{2}{\pi } \sum_{k = 0}^{\infty } \cos (2 k+1) x = \sum_{k \in \mathbb {Z}}(-1)^{k} \delta_{\pi k}$ .

?

Задача 14.49

Найти общее решение уравнения $y^{\prime \prime } = 0$ в $\mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})$ .

?

Задача 14.50

Доказать, что общее решение уравнения $x u^{\prime } = 1$ в $\mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})$ имеет вид $u = c_{1}+c_{2} \theta (x)+\ln \left|x\right|$ , где $c_{1}, c_{2} \in \mathbb {C}$ произвольны и $\theta$ — функция Хевисайда.

?

Задача 14.51

Найти общие решения в $\mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})$ следующих уравнений

?

(1)

$(x-1) u = 0$ ;

(2)

$\left(x^{2}-1\right) u = 0$ ;

(3)

$x u = \mathcal{P} \frac{1}{x}$ ;

(4)

$x^{2} u^{\prime } = 0$ ;

(5)

$(x+1)^{2} u^{\prime \prime } = 0$ ;

(6)

$x(x-1) u = 0$ ;

(7)

$x u = 1$ ;

(8)

$x^{2} u = 0$ ;

(9)

$x u^{\prime } = \mathcal{P} \frac{1}{x}$ ;

(10)

$x^{2} u^{\prime } = 1$ ;

(11)

$(x+1) u^{\prime \prime \prime } = 0$ .

Задача 14.52

(1)(2)

Найти общее решение в $\mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})$ уравнений

?

(1)

$\sin x \cdot y = 0$ ;

(2)

$\cos x \cdot y = 0$ .

Задача 14.53

Доказать, что при $n > m$ общее решение в $\mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})$ уравнения $x^{n} u^{(m)} =$ 0 — это обобщённая функция

u = \sum _{k = 0}^{m-1} a_{k} x^{k}+\sum _{k = 0}^{m-1} b_{k} \theta (x) x^{k}+\sum _{k = m}^{n-1} b_{k} \delta _{0}^{(k-m)}

где $a_{k}, b_{k}$ — произвольные комплексные числа.

?

Задача 14.54

Доказать, что $f_{1} * f_{2} = f_{2} * f_{1}$ и $\left(f_{1} * f_{2}\right) * f_{3} = f_{1} *\left(f_{2} * f_{3}\right)$ для всех $f_{1}, f_{2}, f_{3} \in L_{1}(\mathbb {R})$ .

?

Задача 14.55

Доказать, что для всех $f, g \in L_{1}(\mathbb {R})$ и $y \in \mathbb {R}$

F\left[f * g\right](y) = \sqrt{2 \pi } F\left[f\right](y) F\left[g\right](y)

?

Задача 14.56

(1)(2)(3)

Доказать, что

?

(1)

$\delta_{0} * \varphi = \varphi , \delta_{a} * \varphi = \varphi (x-a)$ для всех $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb {R})$ и $a \in \mathbb {R}$ .

(2)

$f * \varphi \in C^{\infty }(\mathbb {R})$ и $(f * \varphi )^{(n)} = f * \varphi^{(n)} = f^{(n)} * \varphi$ для всех $n \geq 1, f \in \mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})$ и $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb {R})$ .

(3)

$\delta_{0}^{(n)} * \varphi = \varphi^{(n)}$ для всех $n \geq 1$ и $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb {R})$ .

Задача 14.57

Найти фундаментальное решение оператора $D+a I, a \in \mathbb {R}$ , и общее решение уравнения $\frac{d u}{d x}+a u = \varphi , \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb {R})$ .

?

Задача 14.58

Найти фундаментальное решение оператора $L$ и общее решение уравнения $L u = \varphi , \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb {R})$ .

?

(1)

$L = D^{2}-I$ ;

(2)

$L = (D-a I)^{n}, a \in \mathbb {R}, n \geq 2$ ;

(3)

$L = D^{2}+4 D$ ;

(4)

$L = D^{2}-2 D+I$ ;

(5)

$L = D^{2}+3 D+2 I$ ;

(6)

$L = D^{2}-4 D+5 I$ ;

(7)

$L = D^{3}-I$ ;

(8)

$L = D^{3}-3 D^{2}+2 D$ ;

(9)

$L = D^{4}-I$ ;

(10)

$L = D^{4}-2 D^{2}+1$ .

Задача 14.59

(1)(2)(3)

Пусть $a_{1}, \ldots , a_{n} \in C^{\infty }(\mathbb {R}), t \in \mathbb {R}, z(x, t)$ — решение линейного однородного дифференциального уравнения

L z = z^{(n)}+a_{1}(x) z^{(n-1)}+\ldots +a_{n}(x) z = 0

для которого $z(t) = z^{\prime }(t) = \ldots = z^{(n-2)}(t) = 0, z^{(n-1)}(t) = 1$ . Доказать, что

?

(1)

для любого $t \in \mathbb {R}$ функция $\mathcal{E}(x, t) = \theta (x-t) z(x, t), x \in \mathbb {R}$ , удовлетворяет в $\mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})$ уравнению $L \mathcal{E} = \delta_{t}$ (функция $\mathcal{E}$ называется фундаментальным решением оператора $L$ );

(2)

для $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb {R})$ неоднородное дифференциальное уравнение $L u = \varphi , u \in C^{\infty }(\mathbb {R})$ , имеет частное решение $u(x) = \langle \mathcal{E}(x, t), \varphi (t)\rangle , x \in \mathbb {R}$ ;

(3)

если все коэффициенты оператора $L$ постоянны, то $\mathcal{E}(x, t) = \mathcal{E}(x-t, 0)$ .

Задача 14.60

Найти фундаментальное решение $\mathcal{E}$ оператора $L$ .

?

(1)

$L = D-\frac{2 x}{1+x^{2}}$ ;

(2)

$L = D-2 x$ ;

(3)

$L = D+3 x^{2}$ ;

(4)

$L = D-\sin x$ ;

(5)

$L = D+\cos x$ ;

(6)

$L = D+4 x \sin x^{2}$ ;

(7)

$L = D-\frac{\arctan x}{1+x^{2}}$ ;

(8)

$L = D-4 x^{3}+1$ ;

(9)

$L = D-2^{x}$ ;

(10)

$L = D+x^{2} 3^{x^{3}+1}$ .

Задача 14.61

(1)(2)(3)(4)

Принадлежат ли функции

?

(1)

$e^{-x^{2}}$ ,

(2)

$e^{-x}$ ,

(3)

$x e^{-x^{2}}$ ,

(4)

$\frac{1}{1+x^{2}}$ ,

$x \in \mathbb {R}$ пространству $\mathcal{S}(\mathbb {R})$ ?

Задача 14.62

(1)(2)

?

(1)

Пусть $\varphi \in \mathcal{S}(\mathbb {R})$ и $P$ — многочлен. Доказать, что $P \varphi \in \mathcal{S}(\mathbb {R})$ .

(2)

Пусть $\varphi \in \mathcal{S}(\mathbb {R})$ и $k \geq 1$ . Доказать, что $\varphi^{(k)} \in \mathcal{S}(\mathbb {R})$ .

Задача 14.63

Предположим, что функция $\psi$ принадлежит $C^{\infty }(\mathbb {R})$ , равна нулю на $(-\infty , 0)$ и ограничена вместе со всеми своими производными. Доказать, что при $\sigma > 0$ функция $\psi (x) e^{-\sigma x}, x \in \mathbb {R}$ , принадлежит пространству $\mathcal{S}(\mathbb {R})$ .

?

Задача 14.64

Доказать, что множество $\mathcal{S}(\mathbb {R})$ плотно в $L_{p}(\mathbb {R}), 1 \leq p < +\infty$ .

?

Задача 14.65

(1)(2)(3)

Пусть $\varphi$ — ненулевая функция из $\mathcal{S}(\mathbb {R})$ . Сходятся ли следующие последовательности в $\mathcal{S}(\mathbb {R})$ :

?

(1)

$\left\{ \frac{1}{n} \varphi (x), x \in \mathbb {R}: n \geq 1\right\}$ ;

(2)

$\left\{ \frac{1}{n} \varphi (n x), x \in \mathbb {R}: n \geq 1\right\}$ ;

(3)

$\left\{ \frac{1}{n} \varphi \left(\frac{x}{n}\right), x \in \mathbb {R}: n \geq 1\right\}$ ?

Задача 14.66

Доказать, что $\delta_{0} \in \mathcal{S}^{\prime }(\mathbb {R})$ и $\delta_{0}^{(k)} \in \mathcal{S}^{\prime }(\mathbb {R})$ для всех $k \geq 1$ .

?

Задача 14.67

Доказать, что $e^{x^{2}} \in \mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})$ , но $e^{x^{2}}$ не порождает регулярную обобщённую функцию умеренного роста из пространства $S^{\prime }(\mathbb {R})$ .

?

Задача 14.68

Доказать, что $\mathcal{S}^{\prime }(\mathbb {R}) \subset \mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})$ и оператор вложения непрерывен.

?

Задача 14.69

Пусть $f \in \mathcal{S}^{\prime }(\mathbb {R})$ и $P$ — многочлен. Определим функционал $\langle P f, \varphi \rangle = \langle f, P \varphi \rangle , \varphi \in \mathcal{S}(\mathbb {R})$ . Доказать, что $P f \in \mathcal{S}^{\prime }(\mathbb {R})$ .

?

Задача 14.70

Доказать, что если $\left|a_{k}\right| \leq C(1+\left|k\right|)^{m}$ для всех $k \in \mathbb {Z}$ , где $C > 0, m \geq 0$ — некоторые постоянные, то ряд $\sum_{k \in \mathbb {Z}} a_{k} \delta_{k}$ сходится в $S^{\prime }(\mathbb {R})$ ,

?

Задача 14.71

(1)(2)

?

(1)

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C}$ — измеримая по Лебегу функция, для которой существует $m \geq 0$ такое, что $\int_{\mathbb {R}} \frac{\left|f(x)\right|}{1+\left|x\right|^{m}} d x < \infty$ . Доказать, что $f$ определяет регулярную обобщённую функцию умеренного роста из $\mathcal{S}^{\prime }(\mathbb {R})$ по формуле

\langle f, \varphi \rangle = \int _{\mathbb {R}} f(x) \varphi (x) d x, \varphi \in \mathcal{S}(\mathbb {R})

(2)

Доказать, что функция $f(x) = e^{x} \cos e^{x}, x \in \mathbb {R}$ не удовлетворяет условиям пункта (1), но определяет обобщённую функцию умеренного роста из $S^{\prime }(\mathbb {R})$ по формуле $\langle f, \varphi \rangle = \int_{-\infty }^{+\infty } e^{x} \cos e^{x} \varphi (x) d x, \varphi \in \mathcal{S}(\mathbb {R})$ . Здесь интеграл следует понимать как несобственный интеграл Римана первого рода.

Задача 14.72

(1)(2)(3)(4)

Доказать, что для всех $\varphi \in \mathcal{S}(\mathbb {R})$ выполняются следующие равенства

?

(1)

$F\left[\varphi (x-a)\right] = e^{i a y} F\left[\varphi \right], a \in \mathbb {R}$ ;

(2)

$F\left[\varphi^{(k)}\right] = (-i y)^{k} F\left[\varphi \right], k \geq 1$ ;

(3)

$(F\left[\varphi \right])^{(k)} = F\left[(i x)^{k} \varphi \right], k \geq 1$ ;

(4)

$y^{k}(F\left[\varphi \right])^{(l)} = i^{k+l} F\left[\left(x^{l} \varphi \right)^{(k)}\right], k \geq 1, l \geq 1$ .

Задача 14.73

(1)(2)(3)(4)

Найти преобразования Фурье функций

?

(1)

$e^{-\frac{x^{2}}{2}}$ ;

(2)

$x e^{-\frac{x^{2}}{2}}$ ;

(3)

$x^{2} e^{-\frac{x^{2}}{2}}$ ;

(4)

$x^{3} e^{-\frac{x^{2}}{2}}$

Задача 14.74

Пусть $F$ — преобразование Фурье в $L_{2}(\mathbb {R})$ . Доказать, что $\sigma_{p}(F) = \sigma (F) = \left\{ 1, i,-1,-i\right\}$ .

?

Задача 14.75

Пусть $a > 0$ . Найти преобразования Фурье функций

?

(1)

$\theta (x) e^{-a x}$ ;

(2)

$e^{-a\left|x\right|}$ ;

(3)

$x e^{-a\left|x\right|}$ ;

(4)

$\frac{\sqrt{2} a}{\sqrt{\pi }\left(x^{2}+a^{2}\right)}$ ;

(5)

$\chi_{\left[0, a\right]}(x) ;$

(6)

$\chi_{\left[-a, a\right]}(x)$ ;

(7)

$e^{-\frac{x^{2}}{2}} \cos (a x)$ ;

(8)

$e^{-\frac{x^{2}}{2}} \sin (a x)$ .

Задача 14.76

(1)(2)

Пусть $F$ — преобразование Фурье в $\mathcal{S}^{\prime }(\mathbb {R})$ . Показать, что для всех $f \in \mathcal{S}^{\prime }(\mathbb {R})$ выполняются следующие равенства

?

(1)

$(F\left[f\right])^{(k)} = F\left[(i x)^{k} f\right], k \geq 1$ ;

(2)

$F\left[f^{(k)}\right] = (-i y)^{k} F\left[f\right], k \geq 1$ .

Задача 14.77

(1)(2)(3)

Доказать, что

?

(1)

$F\left[\delta_{a}\right] = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} e^{i a y}, y \in \mathbb {R}, a \in \mathbb {R}$ ;

(2)

$F\left[x^{k}\right] = \sqrt{2 \pi }(-i)^{k} \delta_{0}^{(k)}, k \geq 1$ ;

(3)

$F\left[\delta_{0}^{(k)}\right] = \frac{(-i y)^{k}}{\sqrt{2 \pi }}, k \geq 1$ .

Задача 14.78

(1)(2)(3)

Доказать, что в $S^{\prime }(\mathbb {R})$ выполняются следующие равенства

?

(1)

$F\left[\frac{1}{2}\left(\delta_{a}+\delta_{-a}\right)\right] = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \cos (a y), a \in \mathbb {R}$ ;

(2)

$F\left[\frac{1}{2}\left(\delta_{a}-\delta_{-a}\right)\right] = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \sin (a y), a \in \mathbb {R}$ ;

(3)

$F\left[3 x^{2}+2 x-1\right] = \sqrt{2 \pi }\left(-3 \delta_{0}^{\prime \prime }+2 i \delta_{0}^{\prime }-\delta_{0}\right)$ .

Задача 14.79

Найти преобразования Фурье следующих обобщённых функций умеренного роста

?

(1)

$\theta (x)$ ;

(2)

$\theta (-x)$ ;

(3)

$\operatorname {sign} x$ ;

(4)

$\left|x\right|$ ;

(5)

$\mathcal{P} \frac{1}{x}$ ;

(6)

$\mathcal{P} \frac{1}{x^{2}}$ .

Задача 14.80

(1)(2)(3)(4)

?

(1)

Операторы $A, B$ определены формулами

(A f)(y) = \lim _{t \rightarrow +\infty } \int _{0}^{t} \cos (y x) f(x) d x,(B f)(y) = \lim _{t \rightarrow +\infty } \int _{0}^{t} \sin (y x) f(x) d x

$f \in L_{2}([0,+\infty ))$ , где пределы берутся в смысле сходимости в $L_{2}([0,+\infty ))$ . Доказать, что $A, B \in \mathcal{L}\left(L_{2}([0,+\infty ))\right)$ .

(2)

Найти спектры и собственные значения операторов $A$ и $B$ .

(3)

Доказать, что все функции вида $f = g \pm \sqrt{\frac{2}{\pi }} A g, g \in L_{2}([0,+\infty ))$ , удовлетворяют уравнению $f = \pm \sqrt{\frac{2}{\pi }} A f$ .

(4)

Доказать, что все функции вида $f = g \pm \sqrt{\frac{2}{\pi }} B g, g \in L_{2}([0,+\infty ))$ , удовлетворяют уравнению $f = \pm \sqrt{\frac{2}{\pi }} B f$ .

Задача 14.81

(1)(2)

Пусть $f \in L_{1}(\mathbb {R})$ и $g \in L_{2}(\mathbb {R})$ . Доказать, что

?

(1)

формула $(f * g)(x) = \int_{\mathbb {R}} f(x-y) g(y) d y$ , где интеграл сходится для почти всех $x \in \mathbb {R}$ , определяет функцию $f * g \in L_{2}(\mathbb {R})$ ;

(2)

$F\left[f * g\right](y) = \sqrt{2 \pi } F\left[f\right](y) \cdot F\left[g\right](y)$ для почти всех $y \in \mathbb {R}$ .

Задача 14.82

Пусть $f \in L_{1}(\mathbb {R})$ . Оператор $A \in \mathcal{L}\left(L_{2}(\mathbb {R})\right)$ определён формулой $A g = f * g$ (оператор свёртки с функцией $f$ ). Найти $\sigma (A)$ .

?

Задача 14.83

Доказать, что обобщённая функция

\langle f, \varphi \rangle = \int _{\left\{ x^{2}+y^{2} < 1\right\} } \frac{\varphi (x, y)-\varphi (0,0)}{x^{2}+y^{2}} d x d y+\int _{\left\{ x^{2}+y^{2} > 1\right\} } \frac{\varphi (x, y)}{x^{2}+y^{2}} d x d y,

$\varphi \in \mathcal{D}\left(\mathbb {R}^{2}\right)$ , удовлетворяет уравнению $\left(x^{2}+y^{2}\right) f = 1$ в $\mathcal{D}^{\prime }\left(\mathbb {R}^{2}\right)$ .

?

Задача 14.84

(1)(2)

?

(1)

Рассмотрим квадрат $\left[0,1\right]^{2}$ на плоскости $(x, y)$ . Пусть функция $f$ равна 1 внутри этого квадрата и 0 вне его. Вычислить $f_{x y}^{\prime \prime }$ в $\mathcal{D}^{\prime }\left(\mathbb {R}^{2}\right)$ .

(2)

Рассмотрим квадрат $S$ с вершинами $(-1,0),(0,-1),(1,0)$ и $(0,1)$ . Пусть функция $f$ равна 1 внутри $S$ и 0 вне его. Вычислить $f_{y y}^{\prime \prime }-f_{x x}^{\prime \prime }$ в $\mathcal{D}^{\prime }\left(\mathbb {R}^{2}\right)$ .

Задача 14.85

(1)(2)(3)(4)

Принадлежат ли функции

?

(1)

$e^{-\left\| x\right\|^{2}}$ ,

(2)

$e^{-\left\| x\right\| }$ ,

(3)

$\frac{1}{1+\left\| x\right\|^{2}}$ ,

(4)

$\left(x_{1}^{2}+\ldots +x_{m}^{2}\right) e^{-\left\| x\right\|^{2}}, x \in \mathbb {R}^{m}$ пространству $\mathcal{S}\left(\mathbb {R}^{m}\right)$ ?

Задача 14.86

(1)(2)(3)

?

(1)

Пусть $\mu$ — мера на $\mathcal{B}\left(\mathbb {R}^{m}\right)$ , принимающая конечные значения на компактных множествах. Доказать, что равенство $\alpha_{\mu }(\varphi ) = \int_{\mathbb {R}^{m}} \varphi (t) d \mu (t), \varphi \in \mathcal{D}\left(\mathbb {R}^{m}\right)$ , определяет обобщённую функцию $\alpha_{\mu } \in \mathcal{D}^{\prime }\left(\mathbb {R}^{m}\right)$ .

(2)

Пусть $\mu$ — мера на $\mathcal{B}\left(\mathbb {R}^{m}\right)$ , для которой существует $k \in \mathbb {N}$ такое, что $(1+ \left\| x\right\| )^{-k} \in L_{1}\left(\mathbb {R}^{m}, \mu \right)$ (такая мера называется мерой умеренного роста). Доказать, что формула из пункта (1) определяет обобщённую функцию умеренного роста $\alpha_{\mu } \in S^{\prime }\left(\mathbb {R}^{m}\right)$ .

(3)

Показать, что не каждая мера, принимающая конечные значения на компактах, определяет $\alpha_{\mu } \in \mathcal{S}^{\prime }\left(\mathbb {R}^{m}\right)$ .

Задача 14.87

(1)(2)

Доказать следующие свойства преобразования Фурье в $\mathcal{S}^{\prime }\left(\mathbb {R}^{m}\right)$ :

?

(1)

$F\left[f(x-a)\right](y) = e^{i(y, a)} F\left[f\right](y), a \in \mathbb {R}^{m}$ ;

(2)

$F\left[f\right](y+b) = F\left[e^{i(b, x)} f(x)\right](y), b \in \mathbb {R}^{m}$ .

Задача 14.88

(1)(2)(3)

Доказать в $S^{\prime }\left(\mathbb {R}^{m}\right)$ равенства

?

(1)

$F\left[\delta_{0}\right] = \frac{1}{(2 \pi )^{\frac{m}{2}}}$ ;

(2)

$F\left[\delta_{a}\right] = \frac{e^{i(y, a)}}{(2 \pi )^{\frac{m}{2}}}, a \in \mathbb {R}^{m}$ ;

(3)

$F\left[1\right] = (2 \pi )^{\frac{m}{2}} \delta_{0}$ .

Задача 14.89

(1)(2)

Доказать в $S^{\prime }\left(\mathbb {R}^{m}\right)$ равенства

?

(1)

$F\left[D^{\alpha } \delta_{0}\right] = \frac{(-i y)^{\alpha }}{(2 \pi )^{\frac{m}{2}}}$ ;

(2)

$F\left[x^{\alpha }\right] = (2 \pi )^{\frac{m}{2}}(-1)^{\left|\alpha \right|} D^{\alpha } \delta_{0}$ , где $x^{\alpha } = \prod_{k = 1}^{m} x_{k}^{\alpha_{k}}$ .

Задачи