Банк задач по математике

Задача 3.5

Пусть $X$ — НЛП над полем $\mathbb {K}$ . Доказать, что множество значений ненулевого линейного функционала на $X$ совпадает с $\mathbb {K}$ .

?

Задача 3.6

Пусть $X$ — НЛП, $f, g \in X^{*}$ . Доказать, что для любых $\alpha , \beta \in \mathbb {K}$ функционал $\alpha f+\beta g$ , где $(\alpha f+\beta g)(x): = \alpha f(x)+\beta g(x), x \in X$ , также принадлежит $X^{*}$ .

?

Задача 3.7

Пусть $X$ — НЛП, $f \in X^{*}$ . Доказать, что

?

(1)

$\left\| f\right\| = \sup_{\left\| x\right\| \leq 1}\left|f(x)\right|$ ;

(2)

$\left\| f\right\| = \sup_{\left\| x\right\| = 1}\left|f(x)\right|$ ;

(3)

$\left\| f\right\| = \min \left\{ C \geq 0 \mid \left|f(x)\right| \leq C\left\| x\right\| , x \in X\right\}$ ;

(4)

$\left\| f\right\| = \sup_{\left\| x\right\| \leq 1} f(x)$ , если пространство $X$ действительное;

(5)

$\left\| f\right\| = \sup_{x \in M, x \neq 0} \frac{\left|f(x)\right|}{\left\| x\right\| }$ , где $M$ — плотное подмножество $X$ .

Задача 3.8

Пусть $X$ — НЛП, $f_{n} \in X^{*}$ и $\left\| f_{n}\right\| \leq 1, n \geq 1$ . Положим

f(x) = \sum _{n = 1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}} f_{n}(x), x \in X

Доказать, что $f \in X^{*}$ .

?

Задача 3.9

Определить, являются ли данные функционалы на $C(\left[0,1\right])$ линейными и непрерывными. Для непрерывных линейных функционалов вычислить их норму, используя определение:

?

(1)

$f(x) = x(0)$ ;

(2)

$f(x) = \int_{0}^{1} x(t) d t$ ;

(3)

$f(x) = \int_{0}^{1}\left|x(t)\right| d t$ ;

(4)

$f(x) = \left\| x\right\|$ ;

(5)

$f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{2^{n}} x\left(\frac{1}{2^{n}}\right)$ ;

(6)

$f(x) = \int_{0}^{1} t x(t) d t$ ;

(7)

$f(x) = \int_{0}^{1} x(t) \operatorname {sign}\left(t-\frac{1}{2}\right) d t$ ;

(8)

$f(x) = \int_{0}^{1} \operatorname {sign} x(t) d t$ ;

(9)

$f(x) = \int_{0}^{1} t x^{2}(t) d t$ ;

(10)

$f(x) = \int_{0}^{1}(1-2 t) x(t) d t ;$

(11)

$f(x) = \int_{0}^{1} x(t) \cos \pi t d t$ ;

(12)

$f(x) = \int_{0}^{1} x(t) \sin \pi t d t$ ;

(13)

$f(x) = \int_{0}^{1}\left|x(t)\right| \cos \pi t d t$ ;

(14)

$f(x) = \int_{0}^{1} x(t) d t-x(0)$ ;

(15)

$f(x) = \int_{0}^{\frac{1}{3}} x(t) d t-\int_{\frac{1}{3}}^{1} x(t) d t ;$

(16)

$f(x) = \sum_{k = 1}^{n} \lambda_{k} x\left(t_{k}\right)$ , где $t_{1}, \ldots , t_{n}$ — набор различных точек из $\left[0,1\right], \lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ — набор действительных чисел.

Задача 3.10

Определить, являются ли данные функционалы линейными и непрерывными. Для непрерывных линейных функционалов вычислить их норму, используя определение:

?

(1)

$X = l_{1}, f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } x_{n}$ ;

(2)

$X = l_{1}, f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty }\left(1-\frac{1}{n}\right) x_{n}$ ;

(3)

$X = l_{1}, f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } x_{n} y_{n}$ , где $y \in l_{\infty }$ фиксировано;

(4)

$X = l_{2}, f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty }\left|x_{n}\right|^{2}$ ;

(5)

$X = l_{2}, f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{x_{n}}{\sqrt{n(n+1)}}$ ;

(6)

$X = l_{2}, f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty }(-1)^{n} \frac{x_{n}}{n}$ ;

(7)

$X = l_{\frac{4}{3}}, f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{x_{2 n}}{3^{n / 4}}$ ;

(8)

$X = l_{1}, f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty }\left(1-(-1)^{n}\right) \frac{n-1}{n} x_{n}$ ;

(9)

$X = l_{p}, 1 \leq p < +\infty , f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{x_{n}}{n}$ ;

(10)

$X = l_{p}, 1 \leq p \leq +\infty , f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{x_{n}}{2^{n}}$ ;

(11)

$X = l_{p}, 1 \leq p \leq +\infty , f(x) = \operatorname {sign}\left(x_{1}\right)$ ;

(12)

$X = l_{p}, 1 \leq p < +\infty , f(x) = \sum_{n: x_{n} \neq 0} e^{-\frac{1}{\left|x_{n}\right|}}$ ;

(13)

$X = l_{p}, 1 \leq p \leq +\infty , f(x) = x_{j}, j \in \mathbb {N}$ фиксировано;

(14)

$X = l_{p}, 1 \leq p \leq +\infty , f(x) = x_{j}+x_{j+1}, j \in \mathbb {N}$ фиксировано;

(15)

$X = l_{p}, 1 \leq p \leq +\infty , f(x) = x_{1}+2 x_{2}$ .

Задача 3.11

Определить, являются ли данные функционалы линейными и непрерывными. Для непрерывных линейных функционалов вычислить их норму, используя определение:

?

(1)

$X = L_{2}(\left[0,1\right]), f(x) = \int_{0}^{1} t x(t) d t ;$

(2)

$X = L_{2}(\left[0,1\right]), f(x) = \int_{0}^{1} x(t) \operatorname {sign}\left(t-\frac{1}{2}\right) d t$ ;

(3)

$X = L_{2}(\left[0,1\right]), f(x) = \int_{0}^{1} \frac{x(t)}{\sqrt[4]{t}} d t$ ;

(4)

$X = L_{2}(\left[0,1\right]), f(x) = \int_{0}^{1}\left|x(t)\right|^{\frac{3}{4}} d t$ ;

(5)

$X = L_{p}(\left[0,1\right]), 1 \leq p \leq +\infty , f(x) = \int_{0}^{1} t x(t) d t ;$

(6)

$X = L_{p}\left(\left[0, \frac{\pi }{2}\right]\right), 1 \leq p \leq +\infty , f(x) = \int_{0}^{\frac{\pi }{2}} x(t) \sin t d t ;$

(7)

$X = L_{p}(\left[0,1\right]), 1 \leq p \leq +\infty , f(x) = \int_{0}^{\frac{1}{2}} t x(t) d t ;$

(8)

$X = L_{p}(\left[0,2\right]), 1 \leq p \leq +\infty , f(x) = \int_{0}^{1} x(t) d t-3 \int_{1}^{2} x(t) d t$ ;

(9)

$X = L_{1}(\mathbb {R}), f(x) = \int_{\mathbb {R}} x(t) \operatorname {arctg} t d t$ .

Задача 3.12

Определить, являются ли данные функционалы линейными и непрерывными. Для непрерывных линейных функционалов вычислить их норму, используя определение:

?

(1)

$X = C^{1}(\left[0,1\right])$ с нормой $\left\| x\right\| = \max_{t \in [0,1]}\left|x(t)\right|+\max_{t \in [0,1]}\left|x^{\prime }(t)\right|, f(x) = x^{\prime }(0) ;$

(2)

$X = C^{1}(\left[0,1\right])$ с равномерной нормой, $f(x) = x^{\prime }(0)$ ;

(3)

$X = C^{1}(\left[0,1\right])$ с равномерной нормой, $f(x) = \int_{0}^{1} x^{\prime }(t) \sin \pi t d t$ ;

(4)

$X = C^{1}(\left[0,1\right])$ с нормой $\left\| x\right\| = \max_{t \in [0,1]}\left|x(t)\right|+\max_{t \in [0,1]}\left|x^{\prime }(t)\right|, f(x) = x^{\prime }(0)+ x(1) ;$

(5)

$X = C(\left[0,1\right]), f(x) = \int_{0}^{1} x(\sqrt{t}) d t$ ;

(6)

$X = C(\left[0,1\right]), f(x) = \int_{0}^{1} x\left(t^{2}\right) d t$ ;

(7)

$X = \left\{ x \in L_{2}(\left[0,1\right])\left|\int_{0}^{1}\right| x\left(t^{\alpha }\right) \mid d t < +\infty \right\} , \alpha > 0,\left\| \cdot \right\|_{X} = \left\| \cdot \right\|_{L_{2}(\left[0,1\right])}$ ,

f(x) = \int _{0}^{1} x\left(t^{\alpha }\right) d t

(8)

$X = C(\left[0,1\right]), f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty } \int_{0}^{1} x\left(t^{n}\right) d t$ ;

(9)

$X = c, f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}$ ;

(10)

$X = \left\{ x \in l_{2} \mid \sum_{n = 1}^{\infty } x_{n} \sin n \text{ сходится}\right\} , \left\| \cdot \right\|_{X} = \left\| \cdot \right\|_{l_{2}}, f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } x_{n} \sin n$ ;

(11)

$X = \left\{ x \in l_{2} \mid \sum_{n = 1}^{\infty } x_{n^{2}} \text{ сходится}\right\} , \left\| \cdot \right\|_{X} = \left\| \cdot \right\|_{l_{2}}, f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } x_{n^{2}}$ ;

(12)

$X = \left\{ x \in l_{\infty } \mid \sum_{n = 1}^{\infty } x_{n} y_{n} \text{ сходится}\right\}$ , где $\left\{ y_{n}: n \geq 1\right\}$ — фиксированная последовательность такая, что ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } y_{n}$ сходится условно, $\left\| \cdot \right\|_{X} = \left\| \cdot \right\|_{l_{\infty }}, f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } x_{n} y_{n}$ .

Задача 3.13

Доказать, что $l_{1} \subset l_{\infty }^{*}$ , т.е. для каждого элемента $a = \left(a_{1}, \ldots , a_{n}, \ldots \right) \in l_{1}$ функционал

f_{a}(x) = \sum _{n = 1}^{\infty } a_{n} x_{n}, x = \left(x_{1}, \ldots , x_{n}, \ldots \right) \in l_{\infty }

линеен и непрерывен на $l_{\infty }$ , и $\left\| f_{a}\right\| = \left\| a\right\|_{1}$ .

?

Задача 3.14

Доказать, что $L_{1}(T, \mu ) \subset \left(L_{\infty }(T, \mu )\right)^{*}$ , т.е. для каждого элемента $h \in L_{1}(T, \mu )$ функционал $f(x) = \int_{T} h(t) x(t) d \mu (t), x \in L_{\infty }(T, \mu )$ , линеен и непрерывен на $L_{\infty }(T, \mu )$ , и $\left\| f\right\| = \left\| h\right\|_{1}$ .

?

Задача 3.15

Используя описание сопряжённого пространства $(C(\left[a, b\right]))^{*}$ , доказать линейность и непрерывность данных функционалов на $C(\left[a, b\right])$ и вычислить их нормы:

?

(1)

$X = C(\left[a, b\right]), f(x) = \frac{1}{2}(x(a)+x(b))$ ;

(2)

$X = C(\left[0,1\right]), f(x) = x(0)$ ;

(3)

$X = C(\left[-1,1\right]), f(x) = x(0)-2 i x(-1)+(4+3 i) x(1)$ ;

(4)

$X = C(\left[0,1\right]), f(x) = x(0)+\int_{0}^{1} t^{2} x(t) d t$ ;

(5)

$X = C(\left[-1,1\right]), f(x) = \int_{-1}^{0} x(t) d t-\int_{0}^{1} x(t) d t ;$

(6)

$X = C(\left[0,2\right]), f(x) = \int_{0}^{1} t x(t) d t$ ;

(7)

$X = C(\left[0,2\right]), f(x) = \int_{0}^{1}(1-2 t) x(t) d t-i x(0)+2 x(2) ;$

(8)

$X = C(\left[0, \pi \right]), f(x) = \int_{0}^{\pi } x(t) \cos t d t ;$

(9)

$X = C(\left[0, \pi \right]), f(x) = \int_{0}^{\pi } x(t)\left|\cos t\right| d t ;$

(10)

$X = C(\left[0, \pi \right]), f(x) = \int_{0}^{\pi } x(t) \cos t d t+i \int_{0}^{\pi } x(t) \sin t d t ;$

(11)

$X = C(\left[0,1\right]), f(x) = \int_{0}^{\ln 2} e^{t} x(t) d t+2 i x(1) ;$

(12)

$X = C(\left[-1,2\right]), f(x) = \int_{-1}^{1}\left|t\right| x(t) d t+3 \int_{1}^{2} x(t) d t-2 x(0) ;$

(13)

$X = C(\left[0,1\right]), f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{n^{2}} x\left(\frac{1}{n}\right)$ ;

(14)

$X = C(\left[0,1\right]), f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{(4 n+1)(4 n+5)} x\left(\frac{1}{n^{2}}\right)$ ;

(15)

$X = C(\left[0,1\right]), f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{2^{n}} x\left(1-\frac{1}{n}\right)$ ;

(16)

$X = C(\left[a, b\right]), f(x) = \sum_{k = 1}^{n} \lambda_{k} x\left(t_{k}\right)$ , где $t_{1}, \ldots , t_{n}$ — набор различных точек из $\left[a, b\right], \lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ — набор комплексных чисел;

(17)

$X = C(\left[0,1\right]), f(x) = \int_{0}^{1} x\left(t^{2}\right) d t$ .

Задача 3.16

Пусть $1 \leq p \leq +\infty$ фиксировано. Используя описания соответствующих сопряжённых пространств, доказать линейность и непрерывность данных функционалов и вычислить их нормы:

?

(1)

$X = l_{1}, f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{x_{n}}{n}$ ;

(2)

$X = l_{1}, f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } x_{n} \operatorname {arctg} n$ ;

(3)

$X = l_{2}, f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{x_{n}}{\sqrt{n(n+1)}}$ ;

(4)

$X = l_{\infty }, f(x) = \sum_{n = 2}^{\infty } \frac{x_{n}}{n^{2}-1}$ ;

(5)

$X = l_{\frac{4}{3}}, f(x) = x_{1}+\sqrt[4]{3} i x_{3}$ ;

(6)

$X = l_{\frac{7}{5}}, f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{x_{3 n}}{\sqrt[7]{n^{4}}}$ ;

(7)

$X = l_{p}, f(x) = x_{j}$ , где $j \in \mathbb {N}$ фиксировано;

(8)

$X = l_{p}, f(x) = 2 i x_{1}+4 x_{2}$ ;

(9)

$X = l_{p}, f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{x_{n}}{2^{n}}$ ;

(10)

$X = l_{2}, f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\sqrt{n}}{2^{n / 2}} x_{n}$ ;

(11)

$X = L_{1}(\mathbb {R}), f(x) = \int_{\mathbb {R}} x(t) \operatorname {arcctg} t d t ;$

(12)

$X = L_{2}(\left[0,2 \pi \right]), f(x) = \int_{0}^{\pi } x(t) e^{i t} \sin t d t ;$

(13)

$X = L_{p}(\left[1,4\right]), f(x) = \int_{1}^{2} t x(t) d t-2 \int_{3}^{4} x(t) d t$ ;

(14)

$X = L_{p}(\mathbb {R}), f(x) = \int_{\mathbb {R}} e^{-t^{2}} x(t) d t ;$

(15)

$X = L_{\infty }([0,+\infty )), f(x) = \int_{0}^{+\infty } \frac{\sin^{2} t}{t^{2}} x(t) d t$ .

Задача 3.17

Пусть $1 \leq p < +\infty$ фиксировано. При каких $\alpha \in \mathbb {R}$ следующие функционалы принадлежат соответствующим сопряжённым пространствам? Вычислить нормы этих функционалов.

?

(1)

$X = l_{p}, f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{x_{n}}{n^{\alpha }}$ ;

(2)

$X = l_{p}, f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } x_{n}\left((n+1)^{\alpha }-n^{\alpha }\right)$ ;

(3)

$X = L_{p}(\left[0,1\right]), f(x) = \int_{0}^{1} \frac{x(t)}{t^{\alpha }} d t$ ;

(4)

$X = L_{p}([0,+\infty )), f(x) = \int_{0}^{+\infty } t^{\alpha } e^{-t} x(t) d t$ ;

(5)

$X = L_{p}\left(\left[0, \frac{\pi }{2}\right]\right), f(x) = \int_{0}^{\frac{\pi }{2}} x(t) \sin^{\alpha } t d t$ .

Задача 3.18

(1)(2)

?

(1)

Установить общий вид линейного функционала на конечномерном НЛП и доказать, что каждый линейный функционал на этом пространстве непрерывен.

(2)

Описать все подмножества $M \subset \mathbb {R}^{2}$ , для которых существует ненулевой линейный функционал $f$ на $\mathbb {R}^{2}$ такой, что $\operatorname {Ker} f = M$ . Также решить эту задачу для подмножеств $\mathbb {R}^{3}$ .

Задача 3.19

Доказать, что $c_{0}^{*} = l_{1}$ , и каждый непрерывный линейный функционал на $c_{0}$ задаётся формулой $f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } x_{n} a_{n}, x \in c_{0}$ , где $a = \left(a_{1}, \ldots , a_{n}, \ldots \right) \in l_{1}$ — фиксированный элемент, $\left\| f\right\| = \left\| a\right\|_{1}$ .

?

Задача 3.20

Доказать, что $c^{*} = l_{1}$ , и каждый непрерывный линейный функционал на $c$ задаётся формулой $f(x) = a_{0} \lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}+\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n} x_{n}, x \in c$ , где $a = \left(a_{0}, a_{1}, \ldots , a_{n}, \ldots \right) \in l_{1}$ — фиксированный элемент, $\left\| f\right\| = \left\| a\right\|_{1}$ .

?

Задача 3.21

Описать все непрерывные линейные функционалы на $c_{0}$ , которые достигают своей нормы на $\bar{B}(0,1)$ .

?

Задача 3.22

(1)(2)

?

(1)

Найти общий вид непрерывного линейного функционала в действительном банаховом пространстве $C^{1}(\left[a, b\right])$ .

(2)

Найти общий вид непрерывного линейного функционала в действительном банаховом пространстве $C^{n}(\left[a, b\right])$ , где $n \in \mathbb {N}$ фиксировано.

Задача 3.23

(1)(2)

Доказать, что $f(x) = \int_{a}^{b} p(t) x(t) d t, x \in C(\left[a, b\right])$ является непрерывным линейным функционалом, и вычислить его норму, если

?

(1)

$p \in C(\left[a, b\right])$ — фиксированная функция;

(2)

$p \in L_{1}(\left[a, b\right])$ — фиксированная функция.

Задача 3.24

(1)(2)(3)

Привести пример функционала $f \in C(\left[0,1\right])^{*}$ , для которого

?

(1)

не существует элемента $x_{0} \in C(\left[0,1\right])$ такого, что $\left\| x_{0}\right\| = 1$ и $f\left(x_{0}\right) = \left\| f\right\|$ ;

(2)

существует бесконечно много таких элементов;

(3)

существует ровно один такой элемент.

Задача 3.25

В пространствах $l_{1}$ и $c$ привести примеры непрерывных линейных функционалов, которые достигают и которые не достигают своей нормы на замкнутом единичном шаре.

?

Задача 3.26

(1)(2)(3)

Пусть $X$ — НЛП.

?

(1)

Может ли существовать функционал $f \in X^{*}$ , для которого

(a) $\exists !x_{0} \in \bar{B}(0,1):\left|f\left(x_{0}\right)\right| = \left\| f\right\|$ ?

(b) $\exists !x_{0} \in \bar{B}(0,1): f\left(x_{0}\right) = \left\| f\right\|$ ?

(2)

Пусть $f \in X^{*} \backslash \left\{ 0\right\}$ . Верно ли, что

(b) если $x \in \bar{B}(0,1),\left|f(x)\right| = \left\| f\right\|$ , то $\left\| x\right\| = 1$ ?

(3)

Пусть $f \in X^{*}$ . Рассмотрим следующие утверждения:

(b) $\exists x \in \bar{B}(0,1):\left|f(x)\right| = \left\| f\right\|$ ;

(c) $\exists x \in \bar{B}(0,1): f(x) = \left\| f\right\|$ .

Какие из этих утверждений равносильны?

Задача 3.27

Пусть $X_{1}, X_{2}$ — два нормированных линейных пространства такие, что $X_{1} \subset X_{2}$ , и сходимость $x_{n} \rightarrow x$ в $X_{1}$ влечёт сходимость $x_{n} \rightarrow x$ в $X_{2}$ . Для заданного $f \in X_{2}^{*}$ положим $g(x) = f(x), x \in X_{1}$ . Доказать, что $g \in X_{1}^{*}$ .

?

Задача 3.28

Пусть $X$ — НЛП, $f \in X^{*} \backslash \left\{ 0\right\} , L: = \left\{ x \in X \mid f(x) = 1\right\}$ . Доказать, что $\frac{1}{\left\| f\right\| } = \inf_{x \in L}\left\| x\right\|$ .

?

Задача 3.29

Пусть $X$ — НЛП над полем $\mathbb {K}, f$ — линейный функционал на $X$ . Доказать, что каждое из следующих условий равносильно непрерывности $f$ :

?

(1)

существует $R > 0$ такое, что множество $f(\bar{B}(0, R))$ ограничено;

(2)

для любой последовательности $\left\{ x_{n}: n \geq 1\right\} \subset X$ , сходящейся к нулю, множество $\left\{ f\left(x_{n}\right) : n \geq 1\right\}$ ограничено;

(3)

для любой фундаментальной последовательности $\left\{ x_{n}: n \geq 1\right\} \subset X$ последовательность чисел $\left\{ f\left(x_{n}\right) : n \geq 1\right\}$ сходится в $\mathbb {K}$ .

(4)

для любого действительного $c \in \mathbb {R}$ множество $\left\{ x \mid f(x) < c\right\}$ является открытым множеством (в случае $\mathbb {K} = \mathbb {R}$ );

(5)

существует $C > 0$ такое, что множество $\left\{ x \mid \left|f(x)\right| \leq C\right\}$ имеет внутренние точки.

Задача 3.30

Пусть $X$ — НЛП над полем $\mathbb {K}$ , а $f$ — линейный неограниченный функционал на $X$ . Доказать, что $f$ принимает все значения из поля $\mathbb {K}$ в любой окрестности нуля. Верно ли, что $f$ принимает все значения из поля $\mathbb {K}$ в любой окрестности любой точки?

?

Задача 3.31

Пусть $X$ — НЛП над полем $\mathbb {K}$ , а $f, g \in X^{*}$ таковы, что $\operatorname {Ker} f \subset \operatorname {Ker} g$ . Доказать, что существует $\alpha \in \mathbb {K}$ такое, что $g = \alpha f$ .

?

Задача 3.32

Пусть $X$ — НЛП, $f, f_{1}, \ldots , f_{n}$ — линейные функционалы на $X$ . Доказать, что $f$ является линейной комбинацией функционалов $f_{1}, \ldots , f_{n}$ тогда и только тогда, когда

\bigcap _{k = 1}^{n} \operatorname {Ker} f_{k} \subset \operatorname {Ker} f.

?

Задача 3.33

(1)(2)

В каких нормированных линейных пространствах $X$ существует функционал $f \in X^{*}$

?

(1)

(2)

такой, что $\operatorname {Ker} f = \left\{ 0\right\}$ ?

Задача 3.34

Пусть на НЛП $X$ заданы функционалы $f, g \in X^{*}$ такие, что $\operatorname {Ker} f \cap \operatorname {Ker} g = \left\{ 0\right\}$ . Доказать, что $\operatorname {dim} X \leq 2$ .

?

Задача 3.35

Пусть $X$ — НЛП над полем $\mathbb {K}, f$ — ненулевой линейный функционал на $X$ . Доказать, что $f$ — открытое отображение, т.е. образ любого открытого множества в $X$ при отображении $f$ является открытым множеством в $\mathbb {K}$ .

?

Задача 3.36

Пусть $X$ — НЛП, $f$ — линейный функционал на $X$ . Доказать, что $f \in X^{*}$ тогда и только тогда, когда $\operatorname {Ker} f$ — замкнутое множество.

?

Задача 3.37

(1)(2)

Пусть $X$ — НЛП над полем $\mathbb {K}$ , $f$ — линейный функционал на $X$ . Доказать, что

?

(1)

$\operatorname {Ker} f$ замкнуто в $X$ или плотно в $X$ ;

(2)

если множество $\left\{ x \in X \mid f(x) = c_{0}\right\}$ замкнуто при некотором $c_{0} \in \mathbb {K}$ , то множество $\left\{ x \in X \mid f(x) = c\right\}$ замкнуто при каждом $c \in \mathbb {K}$ .

Задача 3.38

Пусть $X$ — НЛП, $f \in X^{*}$ . Доказать, что $\left|f(x)\right| = \left\| f\right\| \cdot \rho (x, \operatorname {Ker} f)$ для всех $x \in X$ , где $\rho (x, \operatorname {Ker} f) = \inf_{y \in \operatorname {Ker} f}\left\| x-y\right\|$ .

?

Задача 3.39

Пусть $X$ — НЛП над полем $\mathbb {K} = \mathbb {R}, f \in X^{*}$ , а элементы $x_{0}, y_{0} \in X$ таковы, что $f\left(x_{0}\right) \cdot f\left(y_{0}\right) < 0$ . Доказать, что

\left\| x_{0}-y_{0}\right\| \geq \rho \left(x_{0}, \operatorname {Ker} f\right)+\rho \left(y_{0}, \operatorname {Ker} f\right)

?

Задача 3.40

(1)(2)

Пусть $X$ — НЛП, $f \in X^{*}, f \neq 0$ .

?

(1)

Доказать, что следующие утверждения равносильны:

(a) существует элемент $z \in \bar{B}(0,1)$ такой, что $\left|f(z)\right| = \left\| f\right\|$ ;

(b) для каждого $x \in X$ существует $y \in \operatorname {Ker} f$ такой, что $\rho (x, \operatorname {Ker} f) = \left\| x-y\right\|$ (т.е. $y$ — элемент наилучшего приближения для $x$ в $\operatorname {Ker} f$ );

(c) для некоторого $x \in X \backslash \operatorname {Ker} f$ существует $y \in \operatorname {Ker} f$ такой, что $\rho (x, \operatorname {Ker} f) = \left\| x-y\right\|$ .

(2)

При каких условиях на функционал $f$ для каждого элемента $x \in X$ существует не более одного элемента наилучшего приближения в $\operatorname {Ker} f$ ?

Задача 3.41

(1)(2)

Привести примеры подпространств $L$ в $X = C(\left[0,1\right])$ и в $X = c_{0}$ таких, что

?

(1)

для любого $x_{0} \notin L$ не существует элемента наилучшего приближения в $L$ ;

(2)

для любого $x_{0} \notin L$ существует бесконечно много элементов наилучшего приближения в $L$ .

Задача 3.42

(1)(2)(3)

Линейный функционал $f$ на пространстве $C(\left[a, b\right])$ называется неотрицательным, если для каждой $x \in C(\left[a, b\right])$ такой, что $x(t) \geq 0, t \in [a, b]$ , выполняется неравенство $f(x) \geq 0$ . Доказать следующие утверждения.

?

(1)

Неотрицательный функционал $f$ на действительном пространстве $C(\left[a, b\right])$ непрерывен, и $\left\| f\right\| = f\left(e_{0}\right)$ , где $e_{0}(t) = 1, t \in [a, b]$ .

(2)

Утверждение пункта (1) верно и в комплексном пространстве $C(\left[a, b\right])$ .

(3)

Если функционал $f \in (C(\left[a, b\right]))^{*}$ таков, что $\left\| f\right\| = f\left(e_{0}\right)$ , то $f$ неотрицателен.

Задача 3.43

Установить необходимое и достаточное условие на функцию $g \in B V_{0}(\left[a, b\right])$ , при котором функционал $f(x) = \int_{a}^{b} x(t) d g(t)$ неотрицателен.

?

Задача 3.44

Доказать, что для каждого функционала $f \in (C(\left[a, b\right]))^{*}$ , где $C(\left[a, b\right])$ — действительное пространство, существуют неотрицательные функционалы $f_{1}$ и $f_{2}$ такие, что $f = f_{1}-f_{2}$ .

?

Задача 3.45

(1)(2)(3)

Линейный функционал $f$ на действительном пространстве $C(\left[a, b\right])$ называется мультипликативным, если $f(x y) = f(x) f(y), x, y \in C(\left[a, b\right])$ . Доказать, что

?

(1)

для фиксированного $\tau \in [a, b]$ функционал $f(x) = x(\tau ), x \in C(\left[a, b\right])$ , мультипликативен;

(2)

каждый ненулевой мультипликативный функционал непрерывен и имеет норму, равную единице;

(3)

если $f$ — ненулевой мультипликативный функционал, то существует $\tau \in [a, b]$ такое, что $f(x) = x(\tau ), x \in C(\left[a, b\right])$ .

Задача 3.46

Пусть $X_{1}, X_{2}$ — два нормированных линейных пространства, $X: = X_{1} \bigoplus X_{2}$ — их прямая сумма с нормой

\left\| \left(x_{1}, x_{2}\right)\right\| _{p} = \left(\left\| x_{1}\right\| _{X_{1}}^{p}+\left\| x_{2}\right\| _{X_{2}}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}, 1 \leq p < +\infty .

Доказать, что каждый функционал $h \in X^{*}$ единственным образом представляется в виде

h((x, y)) = f_{1}(x)+f_{2}(y), \quad (x, y) \in X,

где $f_{i} \in X_{i}^{*}, i = 1,2$ .

?

Задача 3.47

Доказать, что в бесконечномерном НЛП существуют линейные разрывные функционалы.

?

Задача 3.48

Пусть $X$ — НЛП, $M \subset X$ — выпуклое плотное подмножество в $X$ и $f \in X^{*}$ . Доказать, что множество $M \cap \operatorname {Ker} f$ плотно в $\operatorname {Ker} f$ .

?

Задача 3.49

(Ямабэ) Пусть $X$ — НЛП, $M \subset X$ — выпуклое плотное подмножество в $X, x \in X, \varepsilon > 0, f_{1}, \ldots , f_{n} \in X^{*}$ . Доказать, что $\exists y \in M,\left\| x-y\right\| < \varepsilon : f_{i}(y) = f_{i}(x), 1 \leq i \leq n$ .

?

Задача 3.50

Доказать, что для любой функции $x \in C(\left[a, b\right])$ , любых точек $t_{1}, \ldots , t_{n} \in [a, b]$ и любого $\varepsilon > 0$ существует многочлен $p$ такой, что $\max_{t \in [a, b]}\left|x(t)-p(t)\right| < \varepsilon$ , и $p\left(t_{i}\right) = x\left(t_{i}\right), 1 \leq i \leq n$ .

?

Задачи