Примеры с решениями

Функционал $f$ на подпространстве $G = \left\{ \left(x_{1}, 0\right) \mid x_{1} \in \mathbb {R}\right\}$ пространства $\mathbb {R}^{2}$ определён формулой $f(x) = \alpha x_{1}, x = \left(x_{1}, 0\right) \in G$, где $\alpha \in \mathbb {R}$ фиксировано.

Описать все линейные продолжения $F$ функционала $f$ на $\mathbb {R}^{2}$. Для каких из этих продолжений $\left\| F\right\| = \left\| f\right\|$, если $\mathbb {R}^{2}$ снабжено нормой $\left\| \cdot \right\|_{p}, 1 \leq p \leq +\infty$? В каких случаях продолжение, сохраняющее норму, единственно?

Пусть $G = \left\{ x \in C(\left[0,1\right]) \mid \int_{0}^{1} x(t) d t = 0, x(1) = 0\right\}$. Построить функционал $f \in (C(\left[0,1\right]))^{*}$ такой, что $f(x) = 0, x \in G$, и $f\left(x_{1}\right) = f\left(x_{2}\right) = 1$, где $x_{1}(t) = 1, x_{2}(t) = 1-t, t \in [0,1]$.

Доказать, что существует ненулевой функционал $F \in \left(L_{\infty }(\left[a, b\right])\right)^{*}$ такой, что