Примеры с решениями

(Критерий слабой сходимости элементов в $C(\left[a, b\right])$.) Последовательность $\left\{ x_{n}: n \geq 1\right\} \subset C(\left[a, b\right])$ слабо сходится к элементу $x \in C(\left[a, b\right])$ тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

(a) $\exists C > 0 \forall n \geq 1:\left\| x_{n}\right\| \leq C$;

(b) $\forall t \in [a, b]: x_{n}(t) \rightarrow x(t), n \rightarrow \infty$.

(Критерий слабой сходимости элементов в $l_{p}, 1 < p < +\infty$.) Последовательность $\left\{ x^{(n)} = \left(x_{1}^{(n)}, x_{2}^{(n)}, \ldots \right): n \geq 1\right\} \subset l_{p}, 1 < p < +\infty$, слабо сходится к элементу $x = \left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right) \in l_{p}$ тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

(a) $\exists C > 0 \forall n \geq 1:\left\| x^{(n)}\right\| \leq C$;

(b) $\forall k \geq 1: x_{k}^{(n)} \rightarrow x_{k}, n \rightarrow \infty$.

(Критерий слабой сходимости элементов в $L_{p}(\left[a, b\right]), 1 < p < +\infty$.) Последовательность $\left\{ x_{n}: n \geq 1\right\} \subset L_{p}(\left[a, b\right]), 1 < p < +\infty$, слабо сходится к элементу $x \in L_{p}(\left[a, b\right])$ тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

(a) $\exists C > 0 \forall n \geq 1:\left\| x_{n}\right\| \leq C$;

(b) $\forall \tau \in (a, b]: \int_{a}^{\tau } x_{n}(t) d t \rightarrow \int_{a}^{\tau } x(t) d t, n \rightarrow \infty$.

$X = l_{p}, 1 \leq p < +\infty , x^{(n)} = (0, \ldots , 0, \underbrace{\frac{n}{n+1}}_{n}, 0, \ldots )$;

$X = l_{p}, 1 \leq p \leq +\infty , x^{(n)} = \left(1, \frac{1}{2}, \ldots , \frac{1}{n}, 0, \ldots \right)$;

$X = L_{p}(\left[0,1\right]), 1 \leq p \leq +\infty , x_{n}(t) = \begin{cases} n, & t \in \left[0, \frac{1}{n^{2}}\right], \\ 0, & t \in \left(\frac{1}{n^{2}}, 1\right] ;\end{cases}$

$X = L_{p}(\left[0,1\right]), 1 < p < +\infty , x_{n}(t) = \sin \pi n t, t \in [0,1]$;

$X = C(\left[0,1\right]), x_{n}(t) = \frac{n t^{2}}{1+n^{2} t^{4}}, t \in [0,1]$.

$X = L_{1}(\left[a, b\right]), f_{n}(x) = \int_{a}^{b} x(t) e^{i n t} d t ;$

$X = L_{p}(\left[0,1\right]), 2 \leq p < +\infty , f_{n}(x) = \int_{0}^{1 / n^{2}} n x(t) d t$;

$X = C(\left[0,1\right]), f_{n}(x) = \sqrt{n} \int_{1-\frac{1}{\sqrt{n}}}^{1} x(t) d t$.