Задачи

для *-слабо сходящейся последовательности непрерывных линейных функционалов;

для слабо сходящейся последовательности элементов НЛП.

Доказать, что последовательность $\left\{ x^{(n)} = \left(x_{1}^{(n)}, x_{2}^{(n)}, \ldots \right): n \geq 1\right\} \subset c_{0}$ слабо сходится к элементу $x = \left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right) \in c_{0}$ тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

(a) $\exists C > 0 \forall n \geq 1:\left\| x^{(n)}\right\| \leq C$;

(b) $\forall k \geq 1: x_{k}^{(n)} \rightarrow x_{k}, n \rightarrow \infty$.

Сформулировать и доказать критерий слабой сходимости в пространстве $c$.

$X = l_{p}, 1 < p < +\infty , x^{(n)} = (\underbrace{0, \ldots , 0}_{n}, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots )$;

$X = l_{p}, 1 < p < +\infty , x^{(n)} = (\underbrace{0, \ldots , 0}_{n}, \frac{1}{n+1}, \frac{1}{n+2}, \ldots )$;

$X = l_{p}, 1 < p < +\infty , x^{(n)} = (\underbrace{1, \ldots , 1}_{n-1}, \frac{1}{n}, \frac{1}{n+1}, \ldots )$;

$X = l_{p}, 1 < p < +\infty , x^{(n)} = \left(\frac{1}{n}, \frac{1}{n+1}, \ldots \right)$;

$X = l_{p}, 1 < p < +\infty , x^{(n)} = \left(\frac{1+n}{1+n}, \frac{1+n}{1+2 n}, \ldots , \frac{1+n}{1+k n}, \ldots \right)$;

$X = l_{p}, 1 \leq p < +\infty , x^{(n)} = \left(\frac{1}{2}, \frac{2}{2^{2}}, \ldots , \frac{n}{2^{n}}, \frac{1}{(n+1)^{2}}, \frac{1}{(n+2)^{2}}, \ldots \right)$;

$X = l_{p}, 1 \leq p < +\infty , x^{(n)} = \left(1,0, \frac{1}{3^{2}}, 0, \frac{1}{5^{2}}, \ldots , 0, \frac{1}{(2 n-1)^{2}}, \frac{1}{(2 n)^{2}}, \frac{1}{(2 n+1)^{2}}\right.$, ...);

$X = l_{\infty }, x^{(n)} = (\underbrace{0, \ldots , 0}_{n-1}, \ln n, 0,0, \ldots )$;

$X = L_{p}(\left[0,1\right]), 1 \leq p < +\infty , x_{n}(t) = t^{n}$;

$X = L_{p}(\left[0,1\right]), 1 \leq p \leq +\infty , x_{n}(t) = \begin{cases} \sqrt{n}, & t \in \left[0, \frac{1}{n}\right), \\ 0, & t \in \left[\frac{1}{n}, 1\right] ;\end{cases}$

$X = L_{p}(\left[0,1\right]), 1 < p < +\infty , x_{n}(t) = e^{\text{int }}$;

$X = L_{p}(\left[0,1\right]), 1 < p < +\infty , x_{n}(t) = \sin (t \cdot \ln n)$;

$X = L_{p}(\left[0,1\right]), 1 < p < +\infty , x_{n}(t) = \cos \left(n^{2} t\right)$;

$X = L_{p}(\left[0,1\right]), 1 < p < +\infty , x_{n}(t) = \sin \left(2^{n} t\right)$;

$X = L_{p}(\left[0,1\right]), 1 < p < +\infty , x_{n}(t) = \begin{cases} \sqrt{n}-n \sqrt{n} t, & t \in \left[0, \frac{1}{n}\right), \\ 0, & t \in \left[\frac{1}{n}, 1\right] ;\end{cases}$

$X = L_{p}(\left[0,1\right]), 1 < p \leq +\infty , x_{n}(t) = \begin{cases} 2 n(1-n t), & t \in \left[0, \frac{1}{n}\right), \\ 0, & t \in \left[\frac{1}{n}, 1\right] ;\end{cases}$

$X = L_{p}(\left[0,1\right]), 1 \leq p < +\infty , x_{n}(t) = \sin \left(t^{n}\right)$;

$X = L_{p}(\mathbb {R}), 1 \leq p \leq +\infty , x_{n}(t) = \sqrt[4]{n} \chi_{\left[n, n+\frac{1}{n}\right]}(t)$;

$X = L_{p}(\mathbb {R}), 1 < p < +\infty , x_{n}(t) = \chi_{\left[n, n+1\right]}(t)$;

$X = L_{p}(\mathbb {R}), 1 \leq p \leq +\infty , x_{n}(t) = \frac{1}{\sqrt{n}} \chi_{\left[n, 2 n\right]}(t)$.

$x_{n}(t) = t^{n}-t^{3 n}$;

$x_{n}(t) = e^{-\frac{t}{n}}$;

$x_{n}(t) = e^{-n t}$;

$x_{n}(t) = t e^{-n t}$;

$x_{n}(t) = n t e^{-n t}$;

$x_{n}(t) = \frac{n^{2} t}{1+n^{4} t^{2}}$;

$x_{n}(t) = \frac{n^{3} t^{2}}{1+4 n^{4} t^{4}}$.

$X = L_{2}(\left[0,1\right]), x_{n}(t) = \sin \left(n t^{2}\right)$;

$X = L_{2}(\left[0,1\right]), x_{n}(t) = \sin \left(n e^{t}\right)$;

$X = L_{p}(\left[0,1\right]), 1 < p < +\infty , x_{n}(t) = x_{0}\left(2^{n} t\right), t \in [0,1]$, где $x_{0}(t) = (-1)^{k}$ при $t \in [k, k+1), k \in \mathbb {N} \cup \left\{ 0\right\}$;

$X = L_{1}(\mathbb {R}), x_{n}(t) = \chi_{\left[n, n+1\right]}(t)$;

$X = l_{1}, x_{n} = e_{n}$.

$X = L_{2}(\left[0,1\right]), f_{n}(x) = \int_{0}^{1} \cos 2 \pi n t x(t) d t$;

$X = L_{2}(\left[0,1\right]), f_{n}(x) = \int_{0}^{1} e^{2 \pi i n t} x(t) d t$;

$X = C(\left[0,1\right]), f_{n}(x) = n \int_{0}^{\frac{1}{n}}(1-2 n t) x(t) d t ;$

$X = C(\left[0,1\right]), f_{n}(x) = n \int_{0}^{1} x(t) t^{n} d t ;$

$X = C^{1}(\left[-1,1\right]), f_{n}(x) = \frac{n}{2}\left(x\left(\frac{1}{n}\right)-x\left(-\frac{1}{n}\right)\right)$.

Доказать, что для каждой $x \in C^{1}(\left[-1,1\right])$ последовательность $\left\{ f_{n}(x): n \geq 1\right\}$ сходится, и найти её предел.

Доказать, что последовательность $\left\{ f_{n}: n \geq 1\right\}$ не сходится *-слабо.

Доказать, что последовательность $\left\{ \left\| f_{n}\right\| : n \geq 1\right\}$ не ограничена.

Противоречат ли эти утверждения принципу равномерной ограниченности?

Пусть функционалы $\left\{ f_{n}: n \geq 1\right\} \subset c_{0}^{*}$ определены следующим образом: $f_{n}(x) = x_{n}$, $x \in c_{0}, n \in \mathbb {N}$. Доказать, что $f_{n} \xrightarrow {w-*} 0$, но $f_{n} \xrightarrow {w} 0, n \rightarrow \infty$.

Пусть функционалы $\left\{ f_{n}: n \geq 1\right\} \subset l_{1}^{*}$ определены следующим образом: $f_{n}(x) = \sum_{k = n+1}^{\infty } x_{k}$, $x \in l_{1}, n \in \mathbb {N}$. Доказать, что $f_{n} \xrightarrow {w-*} 0$, но $f_{n} \xrightarrow {w} 0, n \rightarrow \infty$.

Пусть функционалы $\left\{ f_{n}: n \geq 1\right\} \subset (C(\left[0,1\right]))^{*}, f_{0} \in (C(\left[0,1\right]))^{*}$ определены следующим образом: $f_{n}(x) = x\left(\frac{1}{n}\right), n \in \mathbb {N}, f_{0}(x) = x(0), x \in C(\left[0,1\right])$. Доказать, что $f_{n} \xrightarrow {w-*} f_{0}$, но $f_{n} \xrightarrow {w} f_{0}, n \rightarrow \infty$.

$x_{n} \xrightarrow {w} x$ тогда и только тогда, когда $\left(x_{n}, a\right) \rightarrow (x, a), n \rightarrow \infty$, для всех $a \in H$;

если $x_{n} \xrightarrow {w} x$ и $y_{n} \rightarrow y$ по норме, то $\left(x_{n}, y_{n}\right) \rightarrow (x, y), n \rightarrow \infty$;

каждая ортонормированная последовательность слабо сходится к нулю;

если $x_{n} \xrightarrow {w} x$ и $\left\| x_{n}\right\| \rightarrow \left\| x\right\|$ (или $\limsup_{n \rightarrow \infty }\left\| x_{n}\right\| \leq \left\| x\right\|$), то $x_{n} \rightarrow x$ по норме.

$x_{n} \xrightarrow {w} x, y_{n} \xrightarrow {w} y$, где $x, y \in H$, но $\left(x_{n}, y_{n}\right) \nrightarrow (x, y)$;

$x_{n} \xrightarrow {w} x, y_{n} \xrightarrow {w} y$, где $x, y \in H, x_{n} \nrightarrow x, y_{n} \nrightarrow y$ по норме, но $\left(x_{n}, y_{n}\right) \rightarrow (x, y)$.

ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } x_{n}$ сходится сильно;

ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } x_{n}$ сходится слабо;

ряд $\sum_{n = 1}^{\infty }\left\| x_{n}\right\|^{2}$ сходится.

Пусть $X$ — банахово пространство, и последовательность $\left\{ f_{n}: n \geq 1\right\} \subset X^{*}$ такова, что для всех $x \in X$ существует $\lim_{n \rightarrow \infty } f_{n}(x) = f(x)$. Доказать, что $f \in X^{*}$ и $\left\| f\right\| \leq \liminf_{n \rightarrow \infty }\left\| f_{n}\right\|$.

Пусть $X$ — НЛП, и последовательность $\left\{ x_{n}: n \geq 1\right\} \subset X$ слабо сходится к $x \in X$. Доказать, что $\left\| x\right\| \leq \liminf_{n \rightarrow \infty }\left\| x_{n}\right\|$.

$C(\left[0,1\right])$;

$c_{0}$;

$c$.

$x_{n} \rightarrow x, f_{n} \rightarrow f$ по норме;

$x_{n} \xrightarrow {w} x, f_{n} \rightarrow f$ по норме;

$x_{n} \rightarrow x$ по норме, $f_{n} \xrightarrow {w-*} f$.

каждое слабо замкнутое множество в $X$ сильно замкнуто;

обратное утверждение к утверждению (1) неверно;

каждое подпространство в $X$ является слабо замкнутым множеством;

каждый замкнутый шар в $X$ является слабо замкнутым множеством.

Пусть последовательность $a = \left\{ a_{n}: n \geq 1\right\}$ такова, что для каждого $x \in l_{p}$ ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n} x_{n}$ сходится. Доказать, что $a \in l_{q}$.

Пусть измеримая функция $h$ такова, что для каждого $x \in L_{p}(\left[a, b\right])$ интеграл Лебега $\int_{a}^{b} h(t) x(t) d t$ конечен. Доказать, что $h \in L_{q}(\left[a, b\right])$.

Пусть $p_{n}(t) \leq p_{n+1}(t)$ почти всюду на $\left[0,1\right]$ относительно меры Лебега для всех $n \in \mathbb {N}$, а также для каждого $x \in C(\left[0,1\right])$ последовательность $\left\{ f_{n}(x): n \geq 1\right\}$ ограничена. Показать, что последовательность $\left\{ f_{n}: n \geq 1\right\}$ сходится *-слабо.

Пусть $f_{n} \xrightarrow {w-*} 0$. Верно ли, что обязательно существует подпоследовательность последовательности $\left\{ p_{n}: n \geq 1\right\}$, которая сходится почти всюду на $\left[0,1\right]$?

Тот же вопрос, что и в пункте (2), если $f_{n} \rightarrow 0$ по норме.

*-слабо?

по норме?

для каждой $x \in C(\left[a, b\right])$ и каждого $\varepsilon > 0$ выполняется следующее неравенство:

где число $\delta = \delta (x, \varepsilon ) > 0$ таково, что $\left|x(t)-x(c)\right| < \varepsilon$ для всех $t \in [a, b]$, для которых $\left|t-c\right| < \delta$.

(Коровкин) $f_{n} \xrightarrow {w-*} f$, если выполняется одно из следующих условий:

(a) $f_{n}\left(e_{0}\right) \rightarrow f\left(e_{0}\right)$ и $f_{n}(y) \rightarrow f(y), n \rightarrow \infty$;

(b) $f_{n}\left(e_{k}\right) \rightarrow f\left(e_{k}\right), n \rightarrow \infty$, для $k = 0,1,2$.

$\forall k \geq 1: \lim_{n \rightarrow \infty } a_{n k} = 0$;

$\lim_{n \rightarrow \infty } \sum_{k = 1}^{\infty } a_{n k} = 1$;

$\exists C > 0 \forall n \geq 1: \sum_{k = 1}^{\infty }\left|a_{n k}\right| \leq C$.

Отображение $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n} \mapsto \sum_{n = 1}^{\infty } a_{n} b_{n}$, задаваемое последовательностью $\left\{ b_{n}: n \geq 1\right\} \subset \mathbb {C}$, переводит сходящиеся ряды в сходящиеся тогда и только тогда, когда $\sum_{n = 1}^{\infty } \left|b_{n+1}-b_{n}\right| < +\infty ;$

Ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n} b_{n}$ сходится для всех последовательностей $\left\{ a_{n}: n \geq 1\right\} \subset \mathbb {C}$, для которых частичные суммы $\sum_{k = 1}^{n} a_{k}, n \geq 1$, равномерно ограничены, тогда и только тогда, когда $b_{n} \rightarrow 0$, $n \rightarrow \infty$, и $\sum_{n = 1}^{\infty }\left|b_{n+1}-b_{n}\right| < +\infty$.