Задачи

Доказать, что оператор $A^{-1}$, обратный к линейному оператору $A$, также линеен.

Пусть $X = \mathbb {C}^{m}$, снабжённое любой нормой. Доказать, что для линейного оператора $A$ : $X \rightarrow X$ следующие утверждения равносильны:

Пусть $A \in \mathcal{L}\left(l_{2}\right)$ определён формулой $A x = \left(x_{1}, \frac{x_{2}}{2}, \ldots , \frac{x_{n}}{n}, \ldots \right), x \in l_{2}$. Доказать, что область значений $R(A)$ не является замкнутым множеством в $l_{2}$.

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{L}(X),\left\| A\right\| < 1$. Доказать, что оператор $I+A$ непрерывно обратим, и найти $(I+A)^{-1}$.

Пусть $X$ — НЛП, $A, B \in \mathcal{L}(X)$ непрерывно обратимы. Доказать, что оператор $A B$ непрерывно обратим и $(A B)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$.

Пусть $X$ — НЛП. Доказать, что оператор $A \in \mathcal{L}(X)$ непрерывно обратим тогда и только тогда, когда $A^{2}$ непрерывно обратим.

Обозначим через $X_{0}$ и $X_{1}$ пространство $\left\{ x \in C^{1}(\left[0,1\right]) \mid x(0) = 0\right\}$, снабжённое нормами $\left\| x\right\|_{0} = \max_{t \in [0,1]}\left|x(t)\right|$ и $\left\| x\right\|_{1} = \max_{t \in [0,1]}\left|x(t)\right|+\max_{t \in [0,1]}\left|x^{\prime }(t)\right|$ соответственно.

Пусть $A_{i}: C(\left[0,1\right]) \rightarrow X_{i},\left(A_{i} x\right)(t) = \int_{0}^{t} x(s) d s, i = 0,1$. Найти $A_{i}^{-1}$. Доказать, что $A_{1}^{-1}$ непрерывен, а $A_{0}^{-1}$ не ограничен.

Пусть $X_{1}$ — пространство из задачи $8.10^{\circ }$. Доказать, что каждый из следующих операторов $A: X_{1} \rightarrow C(\left[0,1\right])$ непрерывно обратим, и найти $A^{-1}$.

Пусть $K(t, s) = f(t) g(s)$, где $f, g \in C(\left[0,1\right])$ и $\int_{0}^{1} f(t) g(t) d t \neq 1$. Доказать, что оператор $A: C(\left[0,1\right]) \rightarrow C(\left[0,1\right])$, где

непрерывно обратим. Найти $A^{-1}$.

Пусть $K(t, s) = f(t) g(s)$, где $f, g \in C(\left[0,1\right])$. Доказать, что оператор $A: C(\left[0,1\right]) \rightarrow C(\left[0,1\right])$, где $(A x)(t) = x(t)-\int_{0}^{t} K(t, s) x(s) d s, t \in [0,1]$, непрерывно обратим. Найти $A^{-1}$.

В пространстве $C(\left[0,1\right])$ операторы $A$ и $B$ определены формулами $(A x)(t) = (t+1) x(t),(B x)(t) = x\left(t^{2}\right), t \in [0,1]$. Найти $(A B)^{-1}$ и $(B A)^{-1}$.

Пусть $X$ — НЛП, $A, B A \in \mathcal{L}(X)$ непрерывно обратимы. Доказать, что оператор $B$ также непрерывно обратим.

Пусть $X$ — НЛП, $A, B \in \mathcal{L}(X)$.

Пусть $X$ — НЛП, $A, B \in \mathcal{L}(X)$.

Пусть $X$ — НЛП. Доказать, что если для оператора $A \in \mathcal{L}(X)$ существует последовательность $\left\{ x_{n}: n \geq 1\right\} \subset X$ такая, что $\left\| x_{n}\right\| = 1$ и $A x_{n} \rightarrow 0, n \rightarrow \infty$, то $A$ не является непрерывно обратимым.

Доказать, что оператор $A: C(\left[0,1\right]) \rightarrow C(\left[0,1\right])$, определённый формулой $(A x)(t) = \alpha (t) x(t), \alpha \in C(\left[0,1\right])$, непрерывно обратим тогда и только тогда, когда $\alpha (t) \neq 0, t \in [0,1]$.

Пусть операторы $A_{i}: C(\left[0,1\right]) \rightarrow C^{i}(\left[0,1\right]), i = 0,1$, определены формулой $\left(A_{i} x\right)(t) = \int_{0}^{t} e^{t-s} x(s) d s$. Для каждого из случаев $i = 0,1$ ответить на следующие вопросы:

Пусть $A, B: C(\left[-1,1\right]) \rightarrow C(\left[-1,1\right])$, где $(A x)(t) = x\left(t^{2}\right),(B x)(t) = x\left(t^{3}\right), t \in [-1,1]$. Доказать, что $A^{-1}$ не существует, тогда как $B$ непрерывно обратим. Найти $B^{-1}$.

Пусть $X_{2} = \left\{ x \in C^{2}(\left[0,1\right]): x(0) = x(1) = 0\right\}$ с нормой $\left\| x\right\|_{2} = \sum_{k = 0}^{2} \max_{t \in [0,1]}\left|x^{(k)}(t)\right|$, оператор $A: X_{2} \rightarrow C(\left[0,1\right])$ определён формулой $(A x)(t) = x^{\prime \prime }(t)-4 x(t), t \in [0,1]$. Найти $A^{-1}$ и доказать, что $A$ непрерывно обратим.

Пусть $X_{3} = \left\{ x \in C^{3}(\left[0,1\right]) \quad : \quad x(0) = x^{\prime }(0) = x^{\prime \prime }(0) = 0\right\} ,\left\| x\right\|_{3} = \sum_{k = 0}^{3} \max_{t \in [0,1]}\left|x^{(k)}(t)\right|$, оператор $A: X_{3} \rightarrow C(\left[0,1\right])$ определён формулой $(A x)(t) = x^{\prime \prime \prime }(t)-x^{\prime \prime }(t), t \in [0,1]$. Найти $A^{-1}$ и доказать, что $A$ непрерывно обратим.

Является ли оператор $A: l_{2} \rightarrow l_{2}$ непрерывно обратимым, если

Пусть $A: C(\left[0,1\right]) \rightarrow C(\left[0,1\right]),(A x)(t) = \int_{0}^{1}\left(t s+t^{2} s^{2}\right) x(s) d s$. Доказать, что оператор $A^{-1}$ не существует.

Пусть $A: C(\left[-1,1\right]) \rightarrow C(\left[-1,1\right]),(A x)(t) = \frac{1}{2}(x(t)+x(-t))$. Существует ли $A^{-1}$?

Пусть $X$ — банахово пространство относительно норм $\left\| \cdot \right\|_{1}$ и $\left\| \cdot \right\|_{2}$. Предположим, что $\left\| \cdot \right\|_{2}$ оценивается через $\left\| \cdot \right\|_{1}$, т.е. существует $c > 0$ такое, что $\left\| x\right\|_{2} \leq c\left\| x\right\|_{1}, x \in X$. Доказать, что нормы $\left\| \cdot \right\|_{1}$ и $\left\| \cdot \right\|_{2}$ эквивалентны. Существенна ли полнота пространства относительно обеих норм?

Какие условия на функцию $\alpha \in C(\left[a, b\right])$ обеспечивают, что

Пусть $\mu (T) < +\infty , M$ — подпространство $L_{2}(T, \mu )$, и $M \subset L_{\infty }(T, \mu )$. Доказать, что

Пусть $\left\{ e_{n}: n \geq 1\right\}$ — базис Шаудера в банаховом пространстве $X$ с нормой $\left\| \cdot \right\|$ (см. задачу 1.89). Для $x = \sum_{i = 1}^{\infty } \alpha_{i}(x) e_{i}$ положим $P_{k} x = \sum_{i = 1}^{k} \alpha_{i}(x) e_{i}, k \geq 1$, и $||| x ||| = \sup_{k \geq 1}\left\| P_{k} x \right\| , x \in X$. Доказать, что

Пусть $\left\{ e_{n}: n \geq 1\right\}$ — базис Шаудера в банаховом пространстве $X$.

Пусть $\left\{ e_{n}: n \geq 1\right\}$ — базис Шаудера в банаховом пространстве $X,\left\| e_{n}\right\| = 1, n \geq 1$, $\sup_{n \geq 1}\left\| P_{n}\right\| = C < +\infty$, где $P_{n} x = \sum_{i = 1}^{n} \alpha_{i}(x) e_{i}$ для $x = \sum_{i = 1}^{\infty } \alpha_{i}(x) e_{i}$. Доказать, что любая последовательность $\left\{ v_{n}: n \geq 1\right\} \subset X$ такая, что $\sum_{n \geq 1}\left\| e_{n}-v_{n}\right\| < \frac{1}{2 C}$, также является базисом Шаудера в $X$.