Примеры с решениями

$A^{* *} = \left(A^{*}\right)^{*} = A$;

$\left\| A^{*}\right\| = \left\| A\right\| = \sqrt{\left\| A^{*} A\right\| } = \sqrt{\left\| A A^{*}\right\| }$;

если $A = A^{*}$, то $\left\| A^{2}\right\| = \left\| A\right\|^{2}$.

Если $(T, \mu )$ — пространство с $\sigma$-конечной мерой и $A$ — интегральный оператор в комплексном гильбертовом пространстве $L_{2}(T, \mu )$ с ядром $K \in L_{2}(T \times T, \mu \times \mu )$, т.е.

то $A^{*}$ — интегральный оператор с ядром $K^{*}(t, s) = \overline{K(s, t)},(t, s) \in T \times T$.

Если $H$ — комплексное сепарабельное гильбертово пространство и оператор $A$ представлен матрицей $\left(a_{j k}\right)_{j, k = 1}^{\infty }$, то оператор $A^{*}$ представлен матрицей $\left(a_{j k}^{*}\right)_{j, k = 1}^{\infty }$, где $a_{j k}^{*} = \overline{a_{k j}}, j, k \in \mathbb {N}$.

$H = l_{2}, A x = \left(0, x_{1}, x_{2}, \ldots \right)$;

$H = L_{2}(\left[0,1\right]),(A x)(t) = \int_{0}^{t} x(s) d s$.

Если $U: H \rightarrow H, R(U) = H$ и $(U x, U y) = (x, y), x, y \in H$, то $U$ — непрерывный линейный оператор (и, следовательно, $U$ — унитарный оператор) и $\left\| U\right\| = 1$.

Оператор $U \in \mathcal{L}(H)$ унитарен тогда и только тогда, когда он непрерывно обратим и $U^{-1} = U^{*}$; в этом случае $U^{*}$ также унитарный оператор.

Если $P: H \rightarrow H$ — оператор ортогонального проектирования на подпространство $G \subset H$, то $P \in \mathcal{L}(H)$, и если $G \neq \left\{ 0\right\}$, то $\left\| P\right\| = 1$.

Оператор $P \in \mathcal{L}(H)$ является оператором ортогонального проектирования на некоторое подпространство $G \subset H$ тогда и только тогда, когда $P^{*} = P$ и $P^{2} = P$. В этом случае $G = \left\{ x \in H: P x = x\right\}$.