Множества и отношения

$A \cap B \subseteq A \subseteq A \cup B$;

$A \backslash B \subseteq A$.

$A \cup A=A \cap A=A$;

$A \cap (B \cup C)=(A \cap B) \cup (A \cap C)$;

$(A \cup B) \cap A=(A \cap B) \cup A=A$;

$A \backslash (B \cup C)=(A \backslash B) \cap (A \backslash C)$;

$A \backslash (B \cap C)=(A \backslash B) \cup (A \backslash C)$;

$(A \backslash B) \cap C=(A \cap C) \backslash B$;

$A \backslash (B \backslash C)=(A \backslash B) \cup (A \cap C)$;

$(A \backslash B) \backslash C=A \backslash (B \cup C)$;

$A-B=(A \cup B) \backslash (A \cap B)$;

$A \cup \varnothing =\varnothing \cup A=A$;

$A \cap \varnothing =\varnothing \cap A=\varnothing$;

$A-\varnothing =\varnothing -A=A$;

$A-A=\varnothing$.

$A \times (B \cup C)=(A \times B) \cup (A \times C)$;

$A \times (B \cap C)=(A \times B) \cap (A \times C)$;

$A \times (B \backslash C)=(A \times B) \backslash (A \times C)$;

если $A \subseteq B$ и $C \subseteq D$, то $(A \times C)=(A \times D) \cap (B \times C)$.

$R=\left\{ (x, y): x, y \in \omega \text{ и }x\text{ делит }y\right\} , x$ делит $y$, если существует такое $z$, что $x z=y$;

$R=\left\{ (x, y): x, y \in \omega \text{ и }x+y \leqslant 10\right\}$;

$R=\left\{ (x, y): x, y \in \omega \text{ и }y=3 x+1\right\}$;

$R=\left\{ \left(x, x^{2}\right): x \in \omega \text{ и } x \leqslant 10\right\}$;

$R=\left\{ (a, b),(b, c),(b, d),(c, d),(d, b)\right\}$.

$L=\left\{ (a, b)\text{ : ладья за один ход может перейти с клетки }a\text{ на клетку }b\right\}$;

$K=\left\{ (a, b)\text{ : конь за один ход может перейти с клетки }a\text{ на клетку }b\right\}$.

Будут ли эти отношения эквивалентностями? Описать отношение $L \circ L$.

параллельность прямых (будем считать, что прямая параллельна себе самой);

перпендикулярность прямых.

$x$ и $y$ возможно совместить;

$x$ и $y$ подобны; щадь;

$x$ и $y$ имеют одинаковый угол;

$x$ и $y$ пересекаются;

$x$ и $y$ имеют одинаковую пло-

$x$ и $y$ имеют общую вершину;

$x$ и $y$ равносоставлены.

$x$ и $y$ состоят из одних и тех же

$x$ и $y$ состоят из одних и тех же позиции; символов с учётом количества;

$x y$ имеет чётную длину; букву;

$x$ и $y$ имеют одинаковую длину;

$x$ и $y$ имеют одинаковую длину и символов без учёта количества; отличаются не более чем в одной

$x$ и $y$ имеют хотя бы одну общую

$x$ и $y$ начинаются одной и той же буквой.

Определим следующее отношение $R_{1}$ на словах из $\Sigma^{n}$. Пусть $v=a_{i_{1}} a_{i_{2}} \ldots a_{i_{n}}, w=a_{j_{1}} a_{j_{2}} \ldots a_{j_{n}}$. Тогда $(v, w) \in R_{1}$ тогда и только тогда, когда $i_{k} \leqslant j_{k}$ для всех $k$ от 1 до $n$ и $i_{k}<j_{k}$ для некоторого такого $k$, то есть номер каждой буквы слова $v$ не больше номера той же буквы в слове $w$ и хотя бы у одной из букв он меньше. Определить, является ли это отношение $R_{1}$ отношением частичного (линейного) порядка.

Определим следующее отношение $R_{2}$ на словах из $\Sigma^{*}$. Пусть $v=a_{i_{1}} a_{i_{2}} \ldots a_{i_{n}}, w=a_{j_{1}} a_{j_{2}} \ldots a_{j_{r}}$. Тогда $(v, w) \in R_{2}$ тогда и только тогда, когда существует такое $k$ в интервале от 1 до $n$, что $i_{l}=j_{l}$ при $l<k$ и $i_{k}<j_{k}$ или $n<r$ и первые $n$ символов $w$ совпадают со словом $v$. Определить, является ли это отношение $R_{2}$ отношением частичного (линейного) порядка.

Замечание 3 (Упорядочение наборов). Определённое в пункте (а) отношение $R_{1}$ называется отношением покоординатного порядка, а отношение $R_{2}$ из пункта (б) — отношением лексикографического порядка. В соответствии с лексикографическим порядком упорядочены, например, слова в словарях и энциклопедиях.

$\left|A \times B\right|=\left|A\right| \cdot \left|B\right|$;

$|A \cup B|=|A|+|B|-|A \cap B|$;

$\left|\left\{ 0,1\right\}^{n}\right|=2^{n}$;

$\left|\mathrm{P}(A)\right|=2^{\left|A\right|}$.