Множества, отношения и функции

$F_{1}=(A \backslash B) \times (C \cap D)$;

$F_{2}=(A \cap B) \times (C \cap D)$; $\circledast$

$F_{3}=(B \backslash A) \times (C \backslash D)$.

$A \cap B \subseteq A \subseteq A \cup B$;

$A \backslash B \subseteq A$.

$A \cup A=A \cap A=A$;

$A \cap (B \cup C)=(A \cap B) \cup (A \cap C)$;

$(A \cup B) \cap A=(A \cap B) \cup A=A$;

$A \backslash (B \cup C)=(A \backslash B) \cap (A \backslash C)$;

$A \backslash (B \cap C)=(A \backslash B) \cup (A \backslash C)$;

$(A \backslash B) \cap C=(A \cap C) \backslash B$;

$A \backslash (B \backslash C)=(A \backslash B) \cup (A \cap C) ;$

$(A \backslash B) \backslash C=A \backslash (B \cup C)$;

$A \cup \varnothing =\varnothing \cup A=A$;

$A \cap \varnothing =\varnothing \cap A=\varnothing$;

$A \doteq \varnothing =\varnothing \doteq A=A$;

$A-A=\varnothing$.

$\overline{A \cap B}=\bar{A} \cup \bar{B}$;

$\overline{A \cup B}=\bar{A} \cap \bar{B}$;

$A \backslash \bar{B}=A \cap B$; $\circledast$

$\bar{A} \backslash B=\bar{A} \cap \bar{B}$;

$\bar{A} \backslash \bar{B}=B \backslash A$.

$A \times (B \cup C)=(A \times B) \cup (A \times C)$;

$A \times (B \cap C)=(A \times B) \cap (A \times C)$;

$A \times (B \backslash C)=(A \times B) \backslash (A \times C)$;

если $A \subseteq B$ и $C \subseteq D$, то $(A \times C)=(A \times D) \cap (B \times C)$.

$A \subseteq B \cap C$ тогда и только тогда, когда $A \subseteq B$ и $A \subseteq C$;

$A \subseteq B \backslash C$ тогда и только тогда, когда $A \subseteq B$ и $A \cap C=\varnothing$.

$\mathrm{P}(A \cap B)=\mathrm{P}(A) \cap \mathrm{P}(B)$;

$\mathrm{P}(A \cup B) \supseteq \mathrm{P}(A) \cup \mathrm{P}(B)$;

$\mathrm{P}(A \backslash B) \subseteq (\mathrm{P}(A) \backslash \mathrm{P}(B)) \cup \left\{ \varnothing \right\}$.

Привести примеры, когда указанные включения будут строгими.

$R=\left\{ (x, y): x, y \in \omega \text{ и }x\text{ делит }y\right\} , x$ делит $y$, если существует такое $z$, что $x z=y$;

$R=\left\{ (x, y): x, y \in \omega \text{ и }x+y \leqslant 10\right\}$;

$R=\left\{ (x, y): x, y \in \omega \text{ и }y=3 x+1\right\}$;

$R=\left\{ \left(x, x^{2}\right): x \in \omega \text{ и } x \leqslant 10\right\}$;

$R=\left\{ (a, b),(b, c),(b, d),(c, d),(d, b)\right\}$.

$R_{1}=\left\{ (a, a),(a, b),(b, a),(b, b),(c, c)\right\}$;

$R_{2}=\left\{ (a, a),(a, c),(c, b),(a, b),(b, b),(c, c)\right\}$;

$R_{3}=\left\{ (a, a),(a, c),(c, b),(a, b)\right\}$.

$P=\left\{ ([a, b],[c, d]): c<a<b<d\right\}$,

$Q=\left\{ ([a, b],[c, d]): a<c<b<d\right\}$ и

$R=\left\{ ([a, b],[c, d]): b<c\right\}$.

Определить, какие из них являются отношениями частичного порядка.

$P \cap Q$;

$P \cup Q$;

$P \circ Q$;

$P^{-1}$. $\circledast$

$P \cap Q$;

$P \cup Q$;

$P \circ Q$;

$P^{-1}$. $\circledast$

$P \cap Q$;

$P \cup Q$;

$P \circ Q$;

$P^{-1}$. $\circledast$

$P \cap Q$;

$P \cup Q$;

$P \circ Q$;

$P^{-1}$.

$L=\left\{ (a, b)\text{ : ладья за один ход может перейти с клетки }a\text{ на клетку }b\right\}$;

$K=\left\{ (a, b)\text{ : конь за один ход может перейти с клетки }a\text{ на клетку }b\right\}$.

Будут ли эти отношения эквивалентностями? Описать отношение $L \circ L$.

$\left\{ (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,4),(4,1)\right\}$;

$\left\{ (1,2),(2,1),(3,3),(4,5),(5,4),(5,5)\right\}$;

$\left\{ (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,4),(4,1),(4,2),(2,4)\right\}$;

$\left\{ (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,2),(2,1), (2,4),(4,2),(3,5),(5,3),(1,4),(4,1)\right\} ;$

$\left\{ (a, b): a \in A, b \in A\text{ и }a+b\text{ делится на 3}\right\}$;

$\left\{ (a, b): a \in A, b \in A\text{ и }a-b\text{ делится на 2}\right\}$;

$\left\{ (a, b): a \in A, b \in A\text{ и }a+3\text{ делится на }b\right\}$.

параллельность прямых (будем считать, что прямая параллельна себе самой);

перпендикулярность прямых.

$D_{1}=\left\{ (x, y): x\text{ делится на }y\right\}$;

$D_{2}=\left\{ (x, y): x\text{ делится на }y\text{ или }y\text{ делится на }x\right\}$;

$D_{3}=\left\{ (x, y): x\text{ не делится на }y\right\}$.

$R_{1}=\left\{ (A, B)\text{ : для любого }\varepsilon >0\text{ существуют }a \in A\text{ и }b \in B\text{ такие, что }\left|a-b\right| \leqslant \varepsilon \right\}$;

$R_{2}=\left\{ (A, B)\text{ : для любых }a \in A\text{ и }\varepsilon >0\text{ существует }b \in B\text{ такое, что }\left|a-b\right| \leqslant \varepsilon \right\}$;

$R_{3}=\left\{ (A, B): \text{для любых } a \in A, b \in B \text{ и } \varepsilon >0 \text{ существуют } a^{\prime } \in A \text{ и } b^{\prime } \in B \text{ такие, что } \left|a-b^{\prime }\right| \leqslant \varepsilon \text{ и } \left|a^{\prime }-b\right| \leqslant \varepsilon \right\}$.

$x$ и $y$ возможно совместить;

$x$ и $y$ подобны;

$x$ и $y$ имеют одинаковый угол;

$x$ и $y$ пересекаются;

$x$ и $y$ имеют одинаковую площадь;

$x$ и $y$ имеют общую вершину;

$x$ и $y$ равносоставлены.

$x$ и $y$ состоят из одних и тех же символов без учёта количества;

$x$ и $y$ состоят из одних и тех же символов с учётом количества;

$x y$ имеет чётную длину;

$x$ и $y$ имеют одинаковую длину;

$x$ и $y$ имеют одинаковую длину и отличаются не более чем в одной позиции;

$x$ и $y$ имеют хотя бы одну общую букву;

$x$ и $y$ начинаются одной и той же буквой.

Определим следующее отношение $R_{1}$ на словах из $A^{n}$. Пусть $v=a_{i_{1}} a_{i_{2}} \ldots a_{i_{n}}, w=a_{j_{1}} a_{j_{2}} \ldots a_{j_{n}}$. Тогда $(v, w) \in R_{1}$ тогда и только тогда, когда $i_{k} \leqslant j_{k}$ для всех $k$ от 1 до $n$ и $i_{k}<j_{k}$ для некоторого такого $k$, то есть номер каждой буквы слова $v$ не больше номера той же буквы в слове $w$ и хотя бы у одной из букв он меньше. Определить, является ли это отношение $R_{1}$ отношением частичного (линейного) порядка.

Определим следующее отношение $R_{2}$ на словах из $A^{*}$. Пусть $v=a_{i_{1}} a_{i_{2}} \ldots a_{i_{n}}, w=a_{j_{1}} a_{j_{2}} \ldots a_{j_{r}}$. Тогда $(v, w) \in R_{2}$ тогда и только тогда, когда существует такое $k$ в интервале от 1 до $n$, что $i_{l}=j_{l}$ при $l<k$ и $i_{k}<j_{k}$ или $n<r$ и первые $n$ символов $w$ совпадают со словом $v$. Определить, является ли это отношение $R_{2}$ отношением частичного (линейного) порядка.

Замечание 1. Определённое в пункте (а) отношение $R_{1}$ называется отношением покоординатного порядка, а отношение $R_{2}$ из пункта (б) — отношением лексикографического порядка. В соответствии с лексикографическим порядком упорядочены, например, слова в словарях и энциклопедиях.

существует в точности один наибольший элемент;

существует не более одного наибольшего элемента;

существует в точности один максимальный элемент;

существует не более одного максимального элемента;

каждый наибольший элемент является максимальным;

каждый максимальный элемент является наибольшим;

все наибольшие элементы попарно сравнимы;

все максимальные элементы попарно сравнимы;

различные максимальные элементы попарно несравнимы;

среди максимальных элементов есть наибольший;

если максимальный элемент только один, то он — наибольший.

$f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}, f(x)=3 x+1$;

$f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}, f(x)=x^{2}+1$;

$f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}, f(x)=x^{3}-1$;

$f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}, f(x)=e^{x}$;

$f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}, f(x)=\sqrt{3 x^{2}+1}$;

$f:[-\pi / 2, \pi / 2] \rightarrow \mathbb {R}, f(x)=\sin x$;

$f:[0, \pi ] \rightarrow \mathbb {R}, f(x)=\sin x$;

$f: \mathbb {R} \rightarrow [-1,1], f(x)=\sin x$;

$f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}, f(x)=x^{2} \sin x$.

Если $g$ является разнозначной функцией, то $g \circ f$ также является разнозначной.

Если $g$ и $f$ являются сюръективными функциями, то $g \circ f$ также является сюръективной.

Если $g$ и $f$ являются взаимно однозначными функциями, то $g \circ f$ также является взаимно однозначной.

Если $g \circ f$ является разнозначной функцией, то $f$ также является разнозначной.

Если $g \circ f$ является разнозначной функцией, то $g$ также является разнозначной.

Если $g \circ f$ является сюръективной функцией, то $f$ также является сюръективной.

$f[A \cap B] \subseteq f[A] \cap f[B]$;

$f[A \cup B]=f[A] \cup f[B]$;

$f[A \backslash B] \supseteq f[A] \backslash f[B]$;

$f^{-1}[A \cap B]=f^{-1}[A] \cap f^{-1}[B]$;

$f^{-1}[A \cup B]=f^{-1}[A] \cup f^{-1}[B]$;

$f^{-1}[A \backslash B]=f^{-1}[A] \backslash f^{-1}[B]$.

Привести примеры, когда эти включения будут строгими.

$\left|A \times B\right|=\left|A\right| \cdot \left|B\right|$;

$|A \cup B|=|A|+|B|-|A \cap B|$;

$\left|\left\{ 0,1\right\}^{n}\right|=2^{n}$;

$\left|\mathrm{P}(A)\right|=2^{\left|A\right|}$.

всего;

рефлексивных;

антирефлексивных;

симметричных;

антисимметричных;

линейных порядков.

множество всех точек евклидовой плоскости с целочисленными координатами;

множество всех векторов размера $n>0$ с неотрицательными целочисленными координатами, то есть множество

множество всех векторов с неотрицательными целочисленными координатами, то есть множество $\bigcup_{n=1}^{\infty } \omega^{n}$;

множество всех слов в алфавите с $m$ символами;

множество всех рациональных чисел;

множество всех многочленов с целыми коэффициентами;

множество всех корней таких многочленов.