События как множества

Пусть $\left\{ A_{i}: i \in I\right\}$ — семейство множеств. Докажите «законы де Моргана»:

Пусть $A$ и $B$ принадлежат некоторой $\sigma$-алгебре $\mathcal{F}$. Покажите, что $\mathcal{F}$ содержит множества $A \cap B, A \backslash B$ и $A \triangle B$.

Обычный турнир на выбывание (такой, как в Уимблдоне) начинается с $2^{n}$ участников и состоит из $n$ раундов. За места $2,3, \ldots , 2^{n}-1$ переигровок не проводится, а начальная сетка розыгрыша задана заранее. Дайте краткое описание пространства элементарных исходов для всех возможных результатов.

Пусть $\mathcal{F}$ — $\sigma$-алгебра подмножеств $\Omega$, и пусть $B \in \mathcal{F}$. Покажите, что $q = \left\{ A \cap B: A \in \mathcal{F}\right\}$ является $\sigma$-алгеброй подмножеств $B$.

Какие из следующих утверждений тождественно истинны? Для тех, которые не являются таковыми, укажите, при каких условиях они истинны.