Вероятность

Пусть $A$ и $B$ — события с вероятностями $\mathbb {P}\left(A\right) = \frac{3}{4}$ и $\mathbb {P}\left(B\right) = \frac{1}{3}$. Покажите, что $\frac{1}{12} \leq \mathbb {P}\left(A \cap B\right) \leq \frac{1}{3}$, и приведите примеры, показывающие, что оба крайних значения возможны. Найдите соответствующие границы для $\mathbb {P}\left(A \cup B\right)$.

Правильная монета подбрасывается многократно. Покажите, что с вероятностью единица рано или поздно выпадет орёл. Аналогично покажите, что любая заданная конечная последовательность орлов и решек рано или поздно появится с вероятностью единица. Объясните связь с законом Мёрфи.

Шесть чашек и шесть блюдец образуют пары: две чашки и два блюдца красного цвета, два — белого, и два — со звёздочками. Если чашки расставляются на блюдца случайным образом (по одной на каждое), найдите вероятность того, что ни одна чашка не окажется на блюдце того же узора.

Пусть $A_{1}, A_{2}, \ldots , A_{n}$ — события, где $n \geq 2$, и докажите, что

В каждой пачке кукурузных хлопьев может обнаружиться пластиковый бюст одного из последних пяти вице-канцлеров Кембриджского университета, причём вероятность того, что в данной пачке окажется конкретный вице-канцлер, равна $\frac{1}{5}$, независимо от всех остальных пачек. Покажите, что вероятность получить каждого из последних трёх вице-канцлеров при покупке партии из шести пачек равна $1-3\left(\frac{4}{5}\right)^{6}+3\left(\frac{3}{5}\right)^{6}-\left(\frac{2}{5}\right)^{6}$.

Пусть $A_{r}, r \geq 1$ — события такие, что $\mathbb {P}\left(A_{r}\right) = 1$ для всех $r$. Покажите, что $\mathbb {P}\left(\bigcap_{r = 1}^{\infty } A_{r}\right) = 1$.

Известно, что хотя бы одно из событий $A_{r}, 1 \leq r \leq n$, обязательно происходит, но при этом происходит заведомо не более двух. Если $\mathbb {P}\left(A_{r}\right) = p$ и $\mathbb {P}\left(A_{r} \cap A_{s}\right) = q, r \neq s$, покажите, что $p \geq 1 / n$ и $q \leq 2 / n$.

Известно, что происходит хотя бы одно, но не более трёх из событий $A_{r}, 1 \leq r \leq n$, где $n \geq 3$. Вероятность того, что происходит хотя бы два, равна $\frac{1}{2}$. Если $\mathbb {P}\left(A_{r}\right) = p, \mathbb {P}\left(A_{r} \cap A_{s}\right) = q, r \neq s$, и $\mathbb {P}\left(A_{r} \cap A_{s} \cap A_{t}\right) = x, r < s < t$, покажите, что $p \geq 3 /(2 n)$, и $q \leq 4 / n$.