Банк задач по математике

Задача 1.4.1

Докажите, что $\mathbb {P}\left(A \mid B\right) = \mathbb {P}\left(B \mid A\right) \mathbb {P}\left(A\right) / \mathbb {P}\left(B\right)$ , при условии $\mathbb {P}\left(A\right) \mathbb {P}\left(B\right) \neq 0$ . Покажите, что если $\mathbb {P}\left(A \mid B\right) > \mathbb {P}\left(A\right)$ , то $\mathbb {P}\left(B \mid A\right) > \mathbb {P}\left(B\right)$ .

?

Задача 1.4.2

Для событий $A_{1}, A_{2}, \ldots , A_{n}$ , удовлетворяющих условию $\mathbb {P}\left(A_{1} \cap A_{2} \cap \cdots \cap A_{n-1}\right) > 0$ , докажите, что

\mathbb {P}\left(A_{1} \cap A_{2} \cap \cdots \cap A_{n}\right) = \mathbb {P}\left(A_{1}\right) \mathbb {P}\left(A_{2} \mid A_{1}\right) \mathbb {P}\left(A_{3} \mid A_{1} \cap A_{2}\right) \cdots \mathbb {P}\left(A_{n} \mid A_{1} \cap A_{2} \cap \cdots \cap A_{n-1}\right)

?

Задача 1.4.3

У человека есть пять монет, две из которых двуглавые (орёл с обеих сторон), одна двухрешёточная (решка с обеих сторон), а две обычные. Он закрывает глаза, наугад выбирает монету и подбрасывает её. Какова вероятность того, что нижняя сторона монеты — орёл?

Он открывает глаза и видит, что монета показывает орла; какова вероятность того, что нижняя сторона — орёл? Он снова закрывает глаза и снова подбрасывает монету. Какова вероятность того, что нижняя сторона — орёл? Он открывает глаза и видит, что монета показывает орла; какова вероятность того, что нижняя сторона — орёл?

Он откладывает эту монету, наугад выбирает другую и подбрасывает её. Какова вероятность того, что она покажет орла?

?

Задача 1.4.4

Что вы думаете о следующем «доказательстве» Льюиса Кэрролла того, что урна не может содержать два шара одного цвета? Предположим, что урна содержит два шара, каждый из которых либо чёрный, либо белый; таким образом, в очевидных обозначениях $\mathbb {P}\left(\mathrm{BB}\right) = \mathbb {P}\left(\mathrm{BW}\right) = \mathbb {P}\left(\mathrm{WB}\right) = \mathbb {P}\left(\mathrm{WW}\right) = \frac{1}{4}$ . Мы добавляем чёрный шар, так что $\mathbb {P}\left(\mathrm{BBB}\right) = \mathbb {P}\left(\mathrm{BBW}\right) = \mathbb {P}\left(\mathrm{BWB}\right) = \mathbb {P}\left(\mathrm{BWW}\right) = \frac{1}{4}$ . Затем мы наугад извлекаем шар; вероятность того, что шар чёрный, равна (используя условные вероятности) $1 \cdot \frac{1}{4}+\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4}+\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{3}$ . Однако если вероятность того, что шар, выбранный наугад из трёх, окажется чёрным, равна $\frac{2}{3}$ , то среди них должно быть два чёрных и один белый, а значит, изначально в урне был один чёрный и один белый шар.

?

Задача 1.4.5

(a)(b)(c)

Задача Монти Холла: козы и автомобили.

?

(a)

В игровом шоу вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной скрывается новый автомобиль, за двумя — старые козы. Вы делаете выбор, но выбранная дверь сразу не открывается. Вместо этого ведущий открывает другую дверь, за которой оказывается коза. Он предлагает вам возможность изменить свой выбор в пользу третьей двери (неоткрытой и пока не выбранной). Пусть $p$ — (условная) вероятность того, что за третьей дверью скрывается автомобиль. Протокол ведущего таков:

(i) он твёрдо намерен показать вам козу; имея выбор из двух, он выбирает одну наугад. Покажите, что $p = \frac{2}{3}$ .

(ii) он твёрдо намерен показать вам козу; имея выбор из двух коз (скажем, Билла и Нэн), он показывает вам Билла с вероятностью $b$ . Покажите, что при условии, что вы видите Билла, вероятность равна $1 /(1+b)$ .

(iii) он открывает дверь, выбранную наугад, независимо от того, что за ней находится. Покажите, что $p = \frac{1}{2}$ .

(b)

Покажите, что для $\alpha \in \left[\frac{1}{2}, \frac{2}{3}\right]$ существует протокол, при котором $p = \alpha$ . Разумно ли вам изменить свой выбор в пользу третьей двери?

(c)

В одном из вариантов этой задачи ведущему разрешается открыть первоначально выбранную дверь и вручить вам то, что за ней находится. Если же он предпочитает открыть другую дверь, то за этой дверью неизменно оказывается коза. Пусть $p$ — вероятность того, что за неоткрытой дверью скрывается автомобиль, при условии, что ведущий предпочёл открыть вторую дверь. Придумайте протоколы, дающие значения $p = 0$ , $p = 1$ , и выведите отсюда, что для любого $\alpha \in [0,1]$ существует протокол с $p = \alpha$ .

Задача 1.4.6

Пусть $G$ — событие, состоящее в том, что обвиняемый виновен, а $T$ — событие, состоящее в том, что некоторое показание истинно. Некоторые юристы приводили доводы, исходя из предположения, что $\mathbb {P}\left(G \mid T\right) = \mathbb {P}\left(T \mid G\right)$ . Покажите, что это выполняется тогда и только тогда, когда $\mathbb {P}\left(G\right) = \mathbb {P}\left(T\right)$ .

?

Задача 1.4.7

(a)(b)

Имеется $n$ урн, причём $r$ -я урна содержит $r-1$ красных шаров и $n-r$ пурпурных шаров. Вы наугад выбираете урну и извлекаете из неё наугад два шара без возвращения. Найдите вероятность того, что:

?

(a)

второй шар пурпурный;

(b)

второй шар пурпурный, при условии что первый шар пурпурный.

Задача 1.4.8

Мальчики и девочки, снова о примере (1.4.3). Рассмотрим семью с двумя детьми в популяции, в которой каждый ребёнок с равной вероятностью может быть мальчиком или девочкой; у каждого ребёнка рыжие волосы с вероятностью $r$ ; эти признаки независимы друг от друга и проявляются независимо у разных детей.

Какова вероятность того, что оба ребёнка — мальчики, при условии что в семье есть хотя бы один рыжий мальчик? Покажите, что вероятность того, что оба ребёнка — мальчики, при условии что один из них — мальчик, родившийся в понедельник, равна $13 / 27$ .

?

Условная вероятность