Задачи

Обычную правильную кость бросают дважды. Какова вероятность того, что:

Правильную монету подбрасывают многократно. Какова вероятность того, что при $n$-м подбрасывании:

Пусть $\mathcal{F}$ и $\mathcal{g}$ — $\sigma$-алгебры подмножеств $\Omega$.

Опишите соответствующие вероятностные пространства для следующих экспериментов:

Покажите, что вероятность того, что происходит ровно одно из событий $A$ и $B$, равна

Докажите, что $\mathbb {P}\left(A \cup B \cup C\right) = 1-\mathbb {P}\left(A^{\complement } \mid B^{\complement } \cap C^{\complement }\right) \mathbb {P}\left(B^{\complement } \mid C^{\complement }\right) \mathbb {P}\left(C^{\complement }\right)$.

Пусть $\mathcal{F}$ — $\sigma$-алгебра подмножеств $\Omega$, и пусть $\mathbb {P}: \mathcal{F} \rightarrow [0,1]$ удовлетворяет условиям: (i) $\mathbb {P}\left(\Omega \right) = 1$, и (ii) $\mathbb {P}$ аддитивна, то есть $\mathbb {P}\left(A \cup B\right) = \mathbb {P}\left(A\right)+\mathbb {P}\left(B\right)$, когда $A \cap B = \varnothing$. Покажите, что $\mathbb {P}\left(\varnothing \right) = 0$.

Предположим, что $(\Omega , \mathcal{F}, \mathbb {P})$ — вероятностное пространство и $B \in \mathcal{F}$ удовлетворяет условию $\mathbb {P}\left(B\right) > 0$. Пусть $\mathbb {Q}: \mathcal{F} \rightarrow [0,1]$ определена как $\mathbb {Q}(A) = \mathbb {P}\left(A \mid B\right)$. Покажите, что $(\Omega , \mathcal{F}, \mathbb {Q})$ — вероятностное пространство. Если $C \in \mathcal{F}$ и $\mathbb {Q}(C) > 0$, покажите, что $\mathbb {Q}(A \mid C) = \mathbb {P}\left(A \mid B \cap C\right)$; обсудите этот результат.

Пусть $B_{1}, B_{2}, \ldots$ — разбиение пространства элементарных исходов $\Omega$, причём каждое $B_{i}$ имеет положительную вероятность, и покажите, что

Докажите неравенства Буля:

Докажите, что

Пусть $A_{1}, A_{2}, \ldots , A_{n}$ — события, и пусть $N_{k}$ — событие, состоящее в том, что происходит ровно $k$ из событий $A_{i}$. Докажите результат, иногда называемый теоремой Варинга:

Используйте этот результат, чтобы найти выражение для вероятности того, что покупка шести пачек кукурузных хлопьев даст ровно три различных бюста (см. упражнение (1.3.4)).

Докажите формулу Байеса: если $A_{1}, A_{2}, \ldots , A_{n}$ — разбиение $\Omega$, причём каждое $A_{i}$ имеет положительную вероятность, то

Бросается случайное число $N$ костей. Пусть $A_{i}$ — событие, состоящее в том, что $N = i$, и предположим, что $\mathbb {P}\left(A_{i}\right) = 2^{-i}, i \geq 1$. Сумма очков равна $S$. Найдите вероятность того, что:

Пусть $A_{1}, A_{2}, \ldots$ — последовательность событий. Определим

Очевидно, $C_{n} \subseteq A_{n} \subseteq B_{n}$. Последовательности $\left\{ B_{n}\right\}$ и $\left\{ C_{n}\right\}$ являются, соответственно, убывающей и возрастающей с пределами

События $B$ и $C$ обозначаются соответственно $\lim \sup_{n \rightarrow \infty } A_{n}$ и $\liminf_{n \rightarrow \infty } A_{n}$. Покажите, что

В задаче (1.8.16) выше покажите, что $B$ и $C$ независимы всякий раз, когда $B_{n}$ и $C_{n}$ независимы при всех $n$. Выведите отсюда, что если это выполняется и, кроме того, $A_{n} \rightarrow A$, то $\mathbb {P}\left(A\right)$ равно либо нулю, либо единице.

Покажите, что предположение о счётной аддитивности $\mathbb {P}$ эквивалентно предположению о непрерывности $\mathbb {P}$. Иными словами, покажите, что если функция $\mathbb {P}: \mathcal{F} \rightarrow [0,1]$ удовлетворяет условиям $\mathbb {P}\left(\varnothing \right) = 0, \mathbb {P}\left(\Omega \right) = 1$ и $\mathbb {P}\left(A \cup B\right) = \mathbb {P}\left(A\right)+\mathbb {P}\left(B\right)$, когда $A, B \in \mathcal{F}$ и $A \cap B = \varnothing$, то $\mathbb {P}$ счётно аддитивна (в смысле определения (1.3.1b)) тогда и только тогда, когда $\mathbb {P}$ непрерывна (в смысле леммы (1.3.5)).

Анна, Бетти, Хлоя и Дейзи дружили в школе. Впоследствии каждая из $\binom {4}{2} = 6$ пар встречается друг с другом; на каждой из шести встреч соответствующая пара ссорится с некоторой фиксированной вероятностью $p$ либо становится близкими подругами с вероятностью $1-p$. Ссоры происходят независимо друг от друга. В дальнейшем, если кто-то из четырёх услышит слух, она расскажет его только своим близким подругам. Если Анна услышит слух, какова вероятность того, что:

Несимметричная монета подбрасывается многократно. При каждом подбрасывании вероятность выпадения орла равна $p$. Пусть $p_{n}$ — вероятность того, что после $n$ подбрасываний число выпавших орлов чётно (ноль считается чётным числом). Покажите, что $p_{0} = 1$ и что $p_{n} = p\left(1-p_{n-1}\right)+(1-p) p_{n-1}$ при $n \geq 1$. Решите это разностное уравнение.

Несимметричная монета подбрасывается многократно. Найдите вероятность того, что подряд выпадет серия из $r$ орлов раньше, чем серия из $s$ решек, где $r$ и $s$ — натуральные числа.

Задача о «менажах» ставит следующий вопрос. Некоторые считают желательным, чтобы мужчины и женщины чередовались, сидя за круглым столом. Если $n$ гетеросексуальных пар рассаживаются случайным образом по этому правилу, покажите, что вероятность того, что никто не сидит рядом со своим партнёром, равна

Вам может оказаться полезным сначала показать, что число способов выбрать $k$ непересекающихся пар соседних мест равно $\binom {2 n-k}{k} 2 n(2 n-k)^{-1}$.

Урна содержит $b$ синих шаров и $r$ красных шаров. Они извлекаются наугад без возвращения. Покажите, что вероятность того, что первый извлечённый красный шар окажется $(k+1)$-м извлечённым шаром, равна $\binom {r+b-k-1}{r-1} /\binom {r+b}{b}$. Найдите вероятность того, что последний извлечённый шар — красный.

Урна содержит $a$ лазурных шаров и $c$ карминовых шаров, где $a c \neq 0$. Шары извлекаются наугад и откладываются в сторону до первого момента, когда извлечённый шар (назовём его $B$) окажется другого цвета, чем предыдущий. Шар $B$ теперь возвращается в урну, и процедура начинается заново. Этот процесс продолжается до тех пор, пока из урны не будет извлечён последний шар. Покажите, что этот последний шар с равной вероятностью окажется лазурным или карминовым.

Колода из четырёх карт содержит одну пику, одну трефу и два красных туза. Вы наугад сдаёте две карты рубашкой вверх перед правдивой подругой. Она рассматривает их и сообщает вам, что одна из них — туз червей. Какова вероятность того, что другая карта — туз бубен? Быть может, $\frac{1}{3}$?

Предположим, что протокол вашей подруги был таким:

(i) если нет ни одного красного туза, сказать «нет красного туза»,

(ii) если есть туз червей, сказать «туз червей»,

(iii) если есть туз бубен, но нет туза червей, сказать «туз бубен».

Четыре свидетеля, A, B, C и D, на суде каждый говорит правду с вероятностью $\frac{1}{3}$ независимо друг от друга. В своих показаниях A утверждал, что B отрицал, что C заявил, что D солгал. Какова (условная) вероятность того, что D сказал правду?

10 процентов поверхности сферы окрашено в синий цвет, остальная часть — в красный. Покажите, что независимо от того, как распределены цвета, в сферу $S$ можно вписать куб, все вершины которого красные.

Говорят, что событие $A$ отталкивается событием $B$, если $\mathbb {P}\left(A \mid B\right) < \mathbb {P}\left(A\right)$, и притягивается событием $B$, если $\mathbb {P}\left(A \mid B\right) > \mathbb {P}\left(A\right)$. Покажите, что если $B$ притягивает $A$, то $A$ притягивает $B$, а $B^{\complement }$ отталкивает $A$. Если $A$ притягивает $B$, а $B$ притягивает $C$, притягивает ли $A$ событие $C$?

На лекции присутствуют $m$ студентов, родившихся в независимо выбранные дни 2007 года.

Вы выбираете $r$ чисел из первых $n$ натуральных чисел, а лотерея выбирает случайное подмножество $L$ того же размера. Какова вероятность того, что:

Во время игры в бридж вам наугад сдают руку из тринадцати карт. Используя очевидные обозначения, покажите, что $\mathbb {P}\left(4 \mathrm{~ S}, 3 \mathrm{H}, 3 \mathrm{D}, 3 \mathrm{C}\right) \simeq 0.026$ и $\mathbb {P}\left(4 \mathrm{~ S}, 4 \mathrm{H}, 3 \mathrm{D}, 2 \mathrm{C}\right) \simeq 0.018$. Однако если мастей не указывать, так что числа обозначают лишь форму вашей руки, покажите, что $\mathbb {P}\left(4,3,3,3\right) \simeq 0.11$ и $\mathbb {P}\left(4,4,3,2\right) \simeq 0.22$.

Во время игры в покер вам наугад сдают руку из пяти карт. С учётом того, что туз может считаться и старшей, и младшей картой, покажите, что:

Имеется пять костей, на каждой из которых нанесены $9,10, \mathrm{~ J}, \mathrm{Q}, \mathrm{K}, \mathrm{A}$. Покажите, что при броске:

Вы заблудились в национальном парке Бандрика. Туристы составляют две трети посетителей парка и дают правильный ответ на просьбу указать дорогу с вероятностью $\frac{3}{4}$. (Ответы на повторные вопросы независимы, даже если вопрос и человек одни и те же.) Если вы спросите дорогу у бандриканца, ответ всегда будет ложным.

Том находится в том же положении, в котором были вы в предыдущей задаче, но у него есть основания полагать, что с вероятностью $\epsilon$ верным ответом является «восток». Покажите, что:

Покажите, что

Покажите, что

$n$ пассажирам рейса компании Bell-Air на самолёте с $n$ местами сообщили номера их мест. Они заходят в самолёт по одному. Первый пассажир садится не на своё место. Последующие пассажиры садятся на назначенные им места, если они свободны, либо, в противном случае, на случайно выбранное свободное место. Какова вероятность того, что последний пассажир обнаружит своё место свободным?

Каков будет ответ, если первый пассажир садится на место, выбранное равномерно случайным образом из $n$ доступных?

$n$ космических кораблей приземляются независимо и равномерно случайным образом на поверхность планеты Монго. Каждый корабль контролирует полушарие, центром которого он является. Покажите, что вероятность того, что каждая точка Монго контролируется хотя бы одним кораблём, равна $1-2^{-n}\left(n^{2}-n+2\right)$.

Пусть $X$ имеет равномерное распределение на $\left\{ 1,2, \ldots , n-1\right\}$, где $n \geq 2$. При заданном $X$ команда размера $X$ выбирается наугад из пула $n$ игроков (включая вас), причём каждое такое подмножество размера $X$ равновероятно. Назовём выбранную команду A, а оставшихся — командой B.

Алиса и Боб по очереди подбрасывают правильную монету. A выигрывает, если у неё выпадает орёл, при условии что её предыдущее подбрасывание дало решку; B выигрывает, если у него выпадает решка, при условии что его предыдущее подбрасывание дало орла. Пусть $n \geq 3$. Покажите, что вероятность того, что игра закончится на $n$-м подбрасывании, равна $(n+1)(n-1) / 2^{n+2}$, если $n$ нечётно, и $(n+2)(n-2) / 2^{n+2}$, если чётно.

Какова вероятность того, что A выиграет игру?

Монета выпадает орлом с вероятностью $p \in (0,1)$. Пусть $k \geq 1$, и пусть $\rho_{m}$ — вероятность того, что среди $m( \geq 1)$ подбрасываний монеты длина самой длинной серии подряд идущих орлов строго меньше $k$. Покажите, что

и найдите $\rho_{m}$ при $k = 2$.