Теоремы о пределах

Самолёты приземляются в аэропорту Хитроу в моменты процесса восстановления с функцией распределения времени между поступлениями $F$. Каждый самолёт содержит случайное число людей с заданным общим распределением и конечным средним. Предполагая обычную независимость, найдите выражение для интенсивности прибытия пассажиров за длительный период времени.

Пусть $Z_{1}, Z_{2}, \ldots$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с нулевым средним и конечной дисперсией $\sigma^{2}$, и пусть $T_{n} = \sum_{i = 1}^{n} Z_{i}$. Пусть $M$ — конечный момент остановки относительно $Z_{i}$, такой что $\mathbb {E}\left[M\right] < \infty$. Покажите, что $\operatorname {Var}\left(T_{M}\right) = \mathbb {E}\left[M\right] \sigma^{2}$.

Покажите, что $\mathbb {E}\left[T_{N(t)+k}\right] = \mu (m(t)+k)$ для всех $k \geq 1$, но что равенство $\mathbb {E}\left[T_{N(t)}\right] = \mu m(t)$ в общем случае неверно.

Покажите, используя обычные обозначения, что семейство $\left\{ N(t) / t: 0 \leq t < \infty \right\}$ равномерно интегрируемо. Как можно использовать это наблюдение?

Рассмотрим процесс восстановления $N$ с временами между поступлениями, имеющими производящую функцию моментов $M$, и пусть $T$ — положительная случайная величина, независимая от $N$. Найдите $\mathbb {E}\left[s^{N(T)}\right]$, когда: