Банк задач по математике

Задача 10.3.1

Предположим, что распределение остаточного времени жизни $\mathbb {E}\left[t\right]$ не зависит от $t$ . Покажите, что процесс восстановления является пуассоновским процессом.

?

Задача 10.3.2

(a)(b)

Покажите, что следующие процессы являются марковскими:

?

(a)

процесс остаточного времени жизни $E(t)$ ,

(b)

процесс текущего времени жизни $C(t)$ .

Задача 10.3.3

(a)(b)(c)

Предположим, что $X_{1}$ нерешётчата и имеет конечное среднее $\mu$ .

?

(a)

Покажите, что $\mathbb {E}\left[t\right]$ сходится по распределению при $t \rightarrow \infty$ , причём предельная функция распределения равна

H(x) = \int _{0}^{x} \frac{1}{\mu }[1-F(y)] d y

(b)

Покажите, что $r$ -й момент этого предельного распределения задаётся как

\int _{0}^{\infty } x^{r} d H(x) = \frac{\mathbb {E}\left[X_{1}^{r+1}\right]}{\mu (r+1)}

при условии, что он конечен.

(c)

Покажите, что

\mathbb {E}\left[\mathbb {E}\left[t\right]^{r}\right] = \mathbb {E}\left[\left\{ \left(X_{1}-t\right)^{+}\right\} ^{r}\right]+\int _{0}^{t} h(t-x) d m(x)

для некоторой подходящей функции $h$ , которую нужно найти, и выведите с помощью ключевой теоремы восстановления, что $\mathbb {E}\left[\mathbb {E}\left[t\right]^{r}\right] \rightarrow \mathbb {E}\left[X_{1}^{r+1}\right] /\left\{ \mu (r+1)\right\}$ при $t \rightarrow \infty$ , при условии, что этот предел конечен.

Задача 10.3.4

Найдите выражение для среднего значения остаточного времени жизни $\mathbb {E}\left[t\right]$ при условии, что текущее время жизни $C(t)$ равно $x$ .

?

Задача 10.3.5

(a)(b)

Пусть $M(t) = N(t)+1$ , и предположим, что $X_{1}$ имеет конечную ненулевую дисперсию $\sigma^{2}$ .

?

(a)

Покажите, что $\operatorname {Var}\left(T_{M(t)}-\mu M(t)\right) = \sigma^{2}(m(t)+1)$ .

(b)

В нерешётчатом случае покажите, что $\operatorname {Var}\left(M(t\right)) / t \rightarrow \sigma^{2} / \mu^{3}$ при $t \rightarrow \infty$ .

Избыточная продолжительность жизни