Задачи

Покажите, что

Найдите $v(t)$, когда $N$ — пуассоновский процесс.

Предположим, что $\sigma^{2} = \operatorname {Var}\left(X_{1}\right) > 0$. Покажите, что процесс восстановления $N$ удовлетворяет

Найдите асимптотическое распределение текущего срока жизни $C(t)$ процесса $N$ при $t \rightarrow \infty$, когда $X_{1}$ не арифметическая.

Пусть $N$ — пуассоновский процесс с интенсивностью $\lambda$. Покажите, что полный срок жизни $D(t)$ в момент $t$ имеет функцию распределения $\mathbb {P}\left(D(t\right) \leq x) = 1-(1+\lambda \min \left\{ t, x\right\} ) e^{-\lambda x}$ при $x \geq 0$. Выведите отсюда, что $\mathbb {E}\left[D(t\right]) = \left(2-e^{-\lambda t}\right) / \lambda$.

Счётчик типа 1 регистрирует поступления радиоактивных частиц. Предположим, что процесс поступлений пуассоновский с интенсивностью $\lambda$, и что счётчик блокируется на мёртвый период фиксированной длины $T$ после каждого зарегистрированного поступления. Покажите, что процесс регистрации $\widetilde{N}$ является процессом восстановления с распределением времени между поступлениями $\widetilde{F}(x) = 1-e^{-\lambda (x-T)}$, если $x \geq T$. Найдите выражение для $\mathbb {P}\left(\widetilde{N}(t\right) \geq k)$.

Частицы поступают на счётчик типа 1 по закону процесса восстановления $N$; каждое зарегистрированное поступление блокирует счётчик на мёртвый период случайной положительной длины. Покажите, что

где $F_{L}$ — функция распределения типичного мёртвого периода.

Покажите, что пуассоновские процессы являются единственными процессами восстановления с неарифметическими временами между поступлениями, обладающими тем свойством, что остаточный срок жизни $\mathbb {E}\left[t\right]$ и текущий срок жизни $C(t)$ независимы при каждом выборе $t$.

Пусть $N_{1}$ — пуассоновский процесс, а $N_{2}$ — процесс восстановления, независимый от $N_{1}$, с неарифметическими временами между поступлениями, имеющими конечное среднее. Покажите, что $N(t) = N_{1}(t)+N_{2}(t)$ является процессом восстановления тогда и только тогда, когда $N_{2}$ — пуассоновский процесс.

Пусть $N$ — процесс восстановления, и предположим, что $F$ неарифметическая и что $\sigma^{2} = \operatorname {Var}\left(X_{1}\right) < \infty$. Используя свойства производящей функции моментов $F^{*}(-\theta )$ величины $X_{1}$, выведите формальное разложение

Обратите это преобразование Лапласа–Стилтьеса формально, чтобы получить

Докажите это строго, показав, что

где $F_{E}$ — асимптотическая функция распределения остаточного срока жизни (см. упражнение (10.3.3)), и применив ключевую теорему восстановления. Сравните результат с теоремами восстановления.

Покажите, что функция восстановления $m^{d}$ запаздывающего процесса восстановления удовлетворяет

Покажите, что $v^{\mathrm{d}}(t) = \mathbb {E}\left[N^{\mathrm{d}}(t)^{2}\right]$ удовлетворяет

где $m$ — функция восстановления процесса восстановления с временами между поступлениями $X_{2}, X_{3}, \ldots$

Пусть $m(t)$ — среднее число живых особей в момент времени $t$ в возрастно-зависимом процессе ветвления с экспоненциальными временами жизни, параметром $\lambda$ и средним размером семьи $v( > 1)$. Докажите, что $m(t) = I e^{(\nu -1) \lambda t}$, где $I$ — число начальных особей.

Времена между поступлениями этого процесса суть $Z_{0}, Y_{1}, Z_{1}, Y_{2}, \ldots$, где $Y_{i}$ и $Z_{j}$ независимы, с соответствующими общими производящими функциями моментов $M_{Y}$ и $M_{Z}$. Пусть $p(t)$ — вероятность того, что момент времени $t$ лежит в интервале типа $Z$. Покажите, что преобразование Лапласа–Стилтьеса $p^{*}$ функции $p$ удовлетворяет

Частицы регистрируются счётчиком типа 2 следующего рода. Поступающие частицы образуют пуассоновский процесс с интенсивностью $\lambda$. $j$-я частица блокирует счётчик на время $Y_{j}$ и аннулирует любое последействие своих предшественников. Предположим, что $Y_{1}, Y_{2}, \ldots$ независимы друг от друга и от пуассоновского процесса, каждая с функцией распределения $G$. Счётчик разблокирован в момент времени 0.

Пусть $L$ — (максимальная) длина первого интервала времени, в течение которого счётчик заблокирован. Покажите, что $H(t) = \mathbb {P}\left(L > t\right)$ удовлетворяет

Решите уравнение относительно $H$ через $G$, и вычислите получившееся выражение в случае $G(x) = 1-e^{-\mu x}$, где $\mu > 0$.

Рассмотрим процесс восстановления $N$ и предположим, что каждое поступление «пропускается» с вероятностью $q$, независимо от всех остальных поступлений. Пусть $M(t)$ — число поступлений, зарегистрированных до момента времени $t / p$, где $p = 1-q$.

Пусть $N$ — стационарный процесс восстановления. Пусть $s$ — фиксированное положительное вещественное число, и определим $X(t) = N(s+t)-N(t)$ при $t \geq 0$. Покажите, что $X$ — строго стационарный процесс.

Медведи прибывают в деревню в моменты процесса восстановления; их отлавливают и содержат в неволе по цене $\$ c$ за единицу времени за медведя. Когда захвачено заданное число $B$ медведей, организуется экспедиция (стоимостью $\$ d$), чтобы вывезти и выпустить их далеко отсюда. Какова средняя стоимость этой политики в долгосрочной перспективе?

Пусть $X = \left\{ X_{n}: n \geq 0\right\}$ — эргодическая марковская цепь на конечном пространстве состояний $S$ со стационарным распределением $\pi$. Пусть $k \in S$, и пусть $T$ — строго положительный момент остановки с конечным средним, такой что $X_{T} = k$. Для $j \in S$ пусть $V_{j}(k)$ — число посещений $j$ цепью, начатой в $k$ и остановленной в момент $T$ (положим $V_{k}(k) = 1$). Используя теорему о вознаграждении при восстановлении, покажите, что $\mathbb {E}\left[V_{j}(k)\right] = \pi_{j} \mathbb {E}_{k}\left[T\right]$.

Для данного типа автомобиля, стоящего $c$ новым, число лет между его изготовлением и разборкой на металлолом равно $X( \geq 1)$, где $X$ — случайная величина с функцией распределения $F$. На $k$-м году после изготовления (при $k \geq 1$) амортизация снизила его продажную стоимость до $c \lambda^{k}$, и в этом году он обходится в $r \mu^{k-1}$ на ремонт и обслуживание, где $\mu \neq 1$. (Обычно $\lambda < 1$ и $\mu > 1$.)

Вы покупаете новый автомобиль сразу, как только старый автомобиль либо списывается, либо достигает возраста $m$ лет, в зависимости от того, что наступит раньше. Покажите, что, продолжая эту политику бесконечно, в долгосрочной перспективе вы минимизируете ожидаемую среднюю стоимость, выбирая $m$ так, чтобы

было как можно меньше, где $G(s) = \mathbb {E}\left[s^{Y}\right]$ и $Y = \min \left\{ m, X\right\}$.