G/M/1

Рассмотрим $\mathrm{G} / \mathrm{M}(\mu ) / 1$ и пусть $\alpha_{j} = \mathbb {E}\left[(\mu X)^{j} e^{-\mu X} / j!\right]$, где $X$ — типичное время между поступлениями. Предположим, что интенсивность трафика $\rho$ меньше 1. Покажите, что равновесное распределение $\pi$ вложенной цепи в моменты поступлений удовлетворяет

Поищите решение вида $\pi_{n} = \theta^{n}$ для некоторого $\theta$ и выведите, что единственное стационарное распределение задаётся формулой $\pi_{j} = (1-\eta ) \eta^{j}$ при $j \geq 0$, где $\eta$ — наименьший положительный корень уравнения $s = M_{X}(\mu (s-1))$.

Рассмотрим очередь $\mathrm{G} / \mathrm{M}(\mu ) / 1$ в состоянии равновесия. Пусть $\eta$ — наименьший положительный корень уравнения $x = M_{X}(\mu (x-1))$, где $M_{X}$ — производящая функция моментов времени между поступлениями. Покажите, что среднее число клиентов впереди нового прибывшего равно $\eta (1-\eta )^{-1}$, а среднее время ожидания равно $\eta \left\{ \mu (1-\eta )\right\}^{-1}$.

Рассмотрим $\mathrm{D}(1) / \mathrm{M}(\mu ) / 1$, где $\mu > 1$. Покажите, что длина очереди $Q(t)$ в непрерывном времени не сходится по распределению при $t \rightarrow \infty$, даже несмотря на то, что вложенная цепь в моменты поступлений эргодична.