Сети очередей

Рассмотрим открытый процесс миграции с $c$ станциями, в котором особи прибывают на станцию $j$ с интенсивностью $v_{j}$, особи перемещаются от $i$ к $j$ с интенсивностью $\lambda_{i j} \phi_{i}\left(n_{i}\right)$, а особи покидают станцию $i$ с интенсивностью $\mu_{i} \phi_{i}\left(n_{i}\right)$, где $n_{i}$ обозначает число особей, находящихся в данный момент на станции $i$. Покажите, что, когда $\phi_{i}\left(n_{i}\right) = n_{i}$ для всех $i$, система ведёт себя так, как будто клиенты перемещаются по сети независимо. Определите явный вид стационарного распределения при условии неприводимости и объясните связь с теоремой Бартлетта из задачи (8.10.6).

Пусть $Q$ — очередь $\mathrm{M}(\lambda ) / \mathrm{M}(\mu ) / s$, где $\lambda < s \mu$, и предположим, что $Q$ находится в состоянии равновесия. Покажите, что процесс отправлений является пуассоновским процессом с интенсивностью $\lambda$, и что отправления до момента времени $t$ независимы от значения $Q(t)$.

Клиенты прибывают по закону пуассоновского процесса с интенсивностью $\lambda$ в магазин с двумя серверами. Времена обслуживания этих серверов независимы и экспоненциально распределены с соответствующими параметрами $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$. Прибывающие клиенты образуют единую очередь, и человек в голове очереди переходит к первому свободному серверу. Когда оба сервера свободны, следующему прибывшему выделяется сервер, выбранный согласно одному из следующих правил:

Рассмотрим очередь $\mathrm{M}(\lambda ) / \mathrm{M}(\mu ) / 1$, изменённую так, что по завершении обслуживания клиент уходит с вероятностью $\delta$ или вновь присоединяется к очереди с вероятностью $1-\delta$. Найдите распределение полного времени, в течение которого клиент обслуживается. Отсюда покажите, что равновесие возможно, если $\lambda < \delta \mu$, и найдите стационарное распределение. Покажите, что в состоянии равновесия процесс отправлений пуассоновский, но если вновь присоединяющийся клиент отправляется в конец очереди, составной процесс поступлений не является пуассоновским.

Рассмотрим открытый процесс миграции в состоянии равновесия. Если не существует пути, по которому особь на станции $k$ могла бы достичь станции $j$, покажите, что поток особей, перемещающихся непосредственно со станции $j$ на станцию $k$, образует пуассоновский процесс.

Покажите, что открытый процесс миграции невзрывной.

Пусть $X$ — неприводимая марковская цепь с непрерывным временем и генератором $\mathbf{G}$ на пространстве состояний $T = S \cup \left\{ \infty \right\}$, где $S$ счётно и непусто. Покажите, что распределение $\vect {\pi }$ на $T$ удовлетворяет $\vect {\pi } \mathbf{G} = \mathbf{0}$ тогда и только тогда, когда для $j \in S, \sum_{i \in T} \pi_{i} g_{i j} = 0$.