Пересечения и сходимость

Дайте разумное определение нисходящего пересечения интервала $[a, b]$ случайной последовательностью $Y_{0}, Y_{1}, \ldots$.

Пусть $(Y, \mathscr {F})$ — супермартингал с конечными средними, и пусть $U_{n}(a, b ; Y)$ — число восходящих пересечений интервала $[a, b]$ до момента времени $n$. Покажите, что

Выведите, что $\mathbb {E} U_{n}(a, b ; Y) \leq a /(b-a)$, если $Y$ неотрицателен и $a \geq 0$.

Пусть $X$ — марковская цепь со счётным пространством состояний $S$ и матрицей переходов $P$. Предположим, что $X$ неприводима и возвратна, и что $\psi : S \rightarrow S$ — ограниченная функция, удовлетворяющая $\sum_{j \in S} p_{i j} \psi (j) \leq \psi (i)$ для $i \in S$. Покажите, что $\psi$ — постоянная функция.

Пусть $Z_{1}, Z_{2}, \ldots$ — независимые случайные величины такие, что:

где $a_{1} = 2$ и $a_{n} = 4 \sum_{j = 1}^{n-1} a_{j}$. Покажите, что $Y_{n} = \sum_{j = 1}^{n} Z_{j}$ задаёт мартингал. Покажите, что $Y = \lim Y_{n}$ существует почти наверное, но что не существует такого $M$, что $\mathbb {E}\left|Y_{n}\right| \leq M$ для всех $n$.

Пусть $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{r} \in \mathbb {R}$, и пусть последовательность $\left\{ X_{n}: n \geq 1\right\}$ случайных величин задана следующим образом. Положим

где $U(n)$ и $V(n)$ равномерно распределены на $\left\{ 1,2, \ldots , n-1\right\}$, а случайные величины $\left\{ U(n), V(n): n > r\right\}$ независимы.

Покажите, что

является мартингалом относительно последовательности $\left\{ X_{n}\right\}$. Энтузиастам, ищущим сложную задачу, предлагается показать, что $M$ сходится почти наверное и в среднем квадратичном к невырожденному пределу.

Пусть $R_{n}$ и $B_{n}$ — числа красных и синих шаров соответственно в урне на $n$-й стадии, и предположим $R_{0} = B_{0} = 1$. На каждой стадии шар вынимается и возвращается вместе с новым шаром другого цвета. Покажите, что $M_{n} = \left(B_{n}-R_{n}\right)\left(B_{n}+R_{n}-1\right)$ задаёт мартингал. Сходится ли он почти наверное?