Неравенство максимума

[1/100%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Задача 12.6.1

(a)(b)(c)

Законы больших чисел для мартингалов. Пусть $M_{n} = \sum_{r = 1}^{n} D_{r}$ — мартингал с нулевым средним, с последовательностью разностей $\left\{ D_{r}: r \geq 1\right\}$ , такой что $\sigma_{r}^{2} = \operatorname {Var}\left(D_{r}\right) < \infty$ . Покажите следующее.

(a)

Имеем $\mathbb {E}\left[D_{r} D_{s}\right] = 0$ при $r \neq s$ .

(b)

Если $n^{-2} \sum_{r = 1}^{n} \sigma_{r}^{2} \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$ , то $D$ удовлетворяет слабому закону больших чисел в том смысле, что $n^{-1} M_{n} \xrightarrow {\mathrm{P}} 0$ .

(c)

Если $\sum_{r} \sigma_{r}^{2} / r^{2} < \infty$ , то $D$ удовлетворяет усиленному закону больших чисел в том смысле, что $n^{-1} M_{n} \xrightarrow {\text{ п.н. }} 0$ .