Задачи

Пусть $Z_{n}$ — размер $n$-го поколения процесса ветвления с иммиграцией, в котором средний размер семьи равен $\mu ( \neq 1)$, а среднее число иммигрантов на поколение равно $m$. Покажите, что

задаёт мартингал.

В возрастно-зависимом ветвящемся процессе каждая особь порождает случайное число потомков в случайные моменты времени. В момент $0$ имеется единственный родоначальник, у которого $N$ детей появляются в последующие моменты $B_{1} \leq B_{2} \leq \cdots \leq B_{N}$; его семью можно описать вектором $(N, B_{1}, B_{2}, \ldots , B_{N})$. Каждый последующий член популяции $x$ имеет семью, описываемую аналогично вектором $(N(x), B_{1}(x), \ldots , B_{N(x)}(x))$, имеющим то же распределение, что и $(N, B_{1}, \ldots , B_{N})$, и независимым от семей всех остальных особей. Число $N(x)$ — это число его потомков, а $B_{i}(x)$ — время между рождением родителя и $i$-го потомка. Пусть $\left\{ B_{n, r}: r \geq 1\right\}$ — моменты рождения особей в $n$-м поколении. Пусть $M_{n}(\theta ) = \sum_{r} e^{-\theta B_{n}, r}$, и покажите, что $Y_{n} = M_{n}(\theta ) / \mathbb {E}\left[M_{1}(\theta )\right]^{n}$ определяет мартингал относительно $\mathcal{F}_{n} = \sigma \left(\left\{ B_{m, r}: m \leq n, r \geq 1\right\} \right)$ при любом значении $\theta$, для которого $\mathbb {E} M_{1}(\theta ) < \infty$.

Пусть $(Y, \mathscr {F})$ — мартингал, для которого $\mathbb {E}\left[Y_{n}\right] = 0$ и $\mathbb {E}\left[Y_{n}^{2}\right] < \infty$ при всех $n$. Покажите, что

Пусть $(Y, \mathscr {F})$ — неотрицательный субмартингал с $Y_{0} = 0$, и пусть $\left\{ c_{n}\right\}$ — невозрастающая последовательность положительных чисел.

Предположим, что последовательность $\left\{ X_{n}: n \geq 1\right\}$ случайных величин удовлетворяет $\mathbb {E}\left[X_{n} \mid X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n-1}\right] = 0$ при всех $n$, а также $\sum_{k = 1}^{\infty } \mathbb {E}\left[\left|X_{k}\right|^{r}\right] / k^{r} < \infty$ для некоторого $r \in [1,2]$. Пусть $S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} Z_{i}$, где $Z_{i} = X_{i} / i$, и покажите, что

Выведите, что $S_{n}$ сходится п.н. при $n \rightarrow \infty$, а следовательно, что $n^{-1} \sum_{1}^{n} X_{k} \xrightarrow {\text{ п.н. }} 0$. [Указание: В случае $1 < r \leq 2$ докажите и используйте тот факт, что $h(u) = |u|^{r}$ удовлетворяет $h(v)-h(u) \leq (v-u) h^{\prime }(u)+2 h((v-u) / 2)$. Для последней части полезна лемма Кронекера.]

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — независимые случайные величины с

Пусть $Y_{1} = X_{1}$, и при $n \geq 2$

Покажите, что $Y_{n}$ — мартингал относительно $\mathscr {F}_{n} = \sigma \left(Y_{1}, Y_{2}, \ldots , Y_{n}\right)$. Покажите, что $Y_{n}$ не сходится почти наверное. Сходится ли $Y_{n}$ каким-либо иным образом? Почему теорема о сходимости мартингалов здесь неприменима?

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — независимые одинаково распределённые случайные величины, и предположим, что $M(t) = \mathbb {E}\left[e^{t X_{1}}\right]$ удовлетворяет $M(t) = 1$ при некотором $t > 0$. Покажите, что $\mathbb {P}\left(S_{k} \geq x\right.$ для некоторого $\left.k\right) \leq e^{-t x}$ при $x > 0$ и таком значении $t$, где $S_{k} = X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{k}$.

Пусть $Z_{n}$ — размер $n$-го поколения ветвящегося процесса с производящей функцией вероятностей числа потомков $G(s)$, и предположим $Z_{0} = 1$. Пусть $\xi$ — наименьший положительный корень уравнения $G(s) = s$. Используя теорему о сходимости мартингалов, покажите, что если $0 < \xi < 1$, то $\mathbb {P}\left(Z_{n} \rightarrow 0\right) = \xi$ и $\mathbb {P}\left(Z_{n} \rightarrow \infty \right) = 1-\xi$.

Пусть $(Y, \mathcal{F})$ — неотрицательный мартингал, и пусть $Y_{n}^{*} = \max \left\{ Y_{k}: 0 \leq k \leq n\right\}$. Покажите, что

Пусть $X = \left\{ X(t): t \geq 0\right\}$ — процесс рождения и гибели с параметрами $\lambda_{i}, \mu_{i}$, где $\lambda_{i} = 0$ тогда и только тогда, когда $i = 0$. Определим $h(0) = 0, h(1) = 1$, и

Пусть $(Y, \mathscr {F})$ — субмартингал, такой что $\mathbb {E}\left[Y_{n}^{+}\right] \leq M$ при некотором $M$ и всех $n$.

Пусть $£ Y_{n}$ — активы страховой компании после $n$ лет деятельности. За каждый год она получает фиксированный суммарный доход $£ P$ в виде страховых премий. В течение $n$-го года она выплачивает в общей сложности $£ C_{n}$ по требованиям. Таким образом, $Y_{n+1} = Y_{n}+P-C_{n+1}$. Предположим, что $C_{1}, C_{2}, \ldots$ — независимые $N\left(\mu , \sigma^{2}\right)$ величины, и покажите, что вероятность окончательного банкротства удовлетворяет

В мешке находятся красные и синие шары, изначально $r$ красных и $b$ синих, где $r b > 0$. Из мешка вынимается шар, его цвет отмечается, после чего он возвращается в мешок вместе с новым шаром того же цвета. Пусть $R_{n}$ — число красных шаров после $n$ таких операций.

Вот модификация предыдущей задачи. Пусть $\left\{ A_{n}: n \geq 1\right\}$ — последовательность случайных величин, каждая из которых является неотрицательным целым числом. Нам дан мешок из Задачи (12.9.13), и мы добавляем шары по следующим правилам. На каждом шаге из мешка вынимается шар, и отмечается его цвет; мы предполагаем, что распределение этого цвета зависит только от текущего содержимого мешка и не зависит от какой-либо дополнительной информации о $A_{n}$. Мы возвращаем этот шар вместе с $A_{n}$ новыми шарами того же цвета. Обозначим через $R_{n}$ и $B_{n}$ числа красных и синих шаров в урне после $n$ операций, и пусть $\mathcal{F}_{n} = \sigma \left(\left\{ R_{k}, B_{k}: 0 \leq k \leq n\right\} \right)$. Покажите, что $Y_{n} = R_{n} /\left(R_{n}+B_{n}\right)$ определяет мартингал. Предположим $R_{0} = B_{0} = 1$, пусть $T$ — число вынутых шаров до появления первого синего шара, и покажите, что

при условии, что $\sum_{n}\left(2+\sum_{i = 1}^{n} A_{i}\right)^{-1} = \infty$ п.н.

Вот игровая система для игры в честную игру. Выберите последовательность $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$ положительных чисел.

Поставьте сумму первого и последнего чисел на ставку с равными шансами. Если вы выигрываете, вычеркните эти два числа; если проигрываете, добавьте их сумму как дополнительный член $x_{n+1}\left( = x_{1}+x_{n}\right)$ в правый конец последовательности.

Вы играете итеративно по указанному правилу. Если в последовательности когда-либо остаётся только один член, вы ставите эту сумму на ставку с равными шансами. Если выигрываете, вычёркиваете этот член, а если проигрываете, добавляете его к последовательности, получая два члена.

Покажите, что с вероятностью $1$ игра завершается прибылью $\sum_{1}^{n} x_{i}$, и что время до завершения имеет конечное среднее.

Это похоже на ещё одну хитроумную стратегию. Покажите, что среднее значение вашего максимального дефицита бесконечно. (Когда Генри Лабушер был отчислен из Тринити-колледжа в Кембридже в 1852 году, его игровые долги превышали $£ 6000$.)

Вот мартингальный подход к вопросу об определении среднего числа подбрасываний монеты до первого появления последовательности HHH. Большое казино содержит бесконечно много игроков $G_{1}, G_{2}, \ldots$, каждый с начальным капиталом $\$ 1$. Крупье многократно подбрасывает монету. Для каждого $n$ игрок $G_{n}$ делает ставку следующим образом. Непосредственно перед $n$-м подбрасыванием он ставит свой $\$ 1$ на событие, что при $n$-м подбрасывании выпадет орёл. Игра предполагается честной, так что он получает в сумме $\$ p^{-1}$, если выигрывает, где $p$ — вероятность выпадения орла. Если он выигрывает эту ставку, то он снова и снова ставит весь свой текущий капитал на орла, с теми же шансами, что и в первой ставке. При первой последующей решке он теряет свой капитал и покидает казино без гроша. Пусть $S_{n}$ — прибыль казино (убытки считаются отрицательными) после $n$-го подбрасывания. Покажите, что $S_{n}$ — мартингал. Пусть $N$ — число подбрасываний до первого появления HHH; покажите, что $N$ — момент остановки, и с его помощью найдите $\mathbb {E}\left[N\right]$.

Теперь адаптируйте эту схему для вычисления среднего времени до первого появления последовательности HTH.

Пусть $\left\{ \left(X_{k}, Y_{k}\right): k \geq 1\right\}$ — последовательность независимых одинаково распределённых случайных векторов, таких что каждое из $X_{k}$ и $Y_{k}$ принимает значения в множестве $\left\{ -1,0,1,2, \ldots \right\}$. Предположим, что $\mathbb {E}\left[X_{1}\right] = \mathbb {E}\left[Y_{1}\right] = 0$ и $\mathbb {E}\left[X_{1} Y_{1}\right] = c$, а также $X_{1}$ и $Y_{1}$ имеют конечные ненулевые дисперсии. Пусть $U_{0}$ и $V_{0}$ — положительные целые числа, и определим $\left(U_{n+1}, V_{n+1}\right) = \left(U_{n}, V_{n}\right)+\left(X_{n+1}, Y_{n+1}\right)$ при каждом $n \geq 0$. Пусть $T = \min \left\{ n: U_{n} V_{n} = 0\right\}$ — момент первого достижения случайным блужданием $\left(U_{n}, V_{n}\right)$ осей $\mathbb {R}^{2}$. Покажите, что $\mathbb {E}\left[T\right] < \infty$ тогда и только тогда, когда $c < 0$, и что в этом случае $\mathbb {E}\left[T\right] = -\mathbb {E}\left[U_{0} V_{0}\right] / c$. [Указание: Можете показать, что $U_{n} V_{n}-c n$ — мартингал.]

Игра «Red Now» может вестись одним игроком с хорошо перетасованной обычной колодой из 52 игральных карт. В моменты $n = 1,2, \ldots , 52$ игрок переворачивает новую карту и отмечает её цвет. Ровно один раз за игру он должен сказать, непосредственно перед тем как открыть карту, «Red Now». Он выигрывает игру, если следующая открытая карта красная. Пусть $R_{n}$ — число красных карт, оставшихся закрытыми после того, как перевёрнута $n$-я карта. Покажите, что $X_{n} = R_{n} /(52-n), 0 \leq n < 52$, определяет мартингал. Покажите, что не существует стратегии игрока, при которой вероятность выигрыша отличалась бы от $\frac{1}{2}$.

У бизнесмена есть неиспользуемое оборудование, которое он выставляет на продажу, приглашая «предложения свыше $£ 1000$». Он предполагает, что каждую неделю в обозримом будущем к нему будет обращаться один потенциальный покупатель, причём предложения на неделе $0,1, \ldots$ составляют $£ 1000 X_{0}, £ 1000 X_{1}, \ldots$, где $X_{0}, X_{1}, \ldots$ — независимые случайные величины с общей функцией плотности $f$ и конечным средним. Хранение оборудования стоит $£ 1000 c$ в неделю, а текущая процентная ставка составляет $\alpha ( > 0)$ в неделю.

Пусть $Z$ — ветвящийся процесс, удовлетворяющий $Z_{0} = 1, \mathbb {E}\left[Z_{1}\right] < 1$, и $\mathbb {P}\left(Z_{1} \geq 2\right) > 0$. Покажите, что $\mathbb {E}\left[\sup_{n} Z_{n}\right] \leq \eta /(\eta -1)$, где $\eta$ — наибольший корень уравнения $x = G(x)$, а $G$ — производящая функция вероятностей $Z_{1}$.

В гардеробе находятся $K$ пальто, принадлежащих $K$ людям, которые пытаются уйти, беря наугад по одному пальто. Те, кто взял своё собственное пальто, уходят, остальные возвращают пальто и пробуют снова наугад. Пусть $N$ — число раундов попыток до того, как все уйдут. Покажите, что $\mathbb {E}\left[N\right] = K$ и $\operatorname {Var}\left(N\right) \leq K$.

Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс, и определим

Покажите, что $M(t)$ — мартингал, и выведите, что ожидаемая площадь под траекторией $W$ до момента, когда он впервые достигает одного из уровней $a( > 0)$ или $b( < 0)$, равна $-\frac{1}{3} a b(a+b)$.

Пусть $W = \left(W_{1}, W_{2}, \ldots , W_{d}\right)$ — $d$-мерный винеровский процесс, где $W_{i}$ — независимые одномерные винеровские процессы с $W_{i}(0) = 0$ и параметром дисперсии $\sigma^{2} = d^{-1}$. Пусть $R(t)^{2} = W_{1}(t)^{2}+W_{2}(t)^{2}+\cdots +W_{d}(t)^{2}$, и покажите, что $R(t)^{2}-t$ — мартингал. Выведите, что среднее время достижения сферы в $\mathbb {R}^{d}$ радиуса $a$ равно $a^{2}$.

Пусть $W$ — стандартный одномерный винеровский процесс, и пусть $a, b > 0$. Пусть $T$ — наименьший момент, в который $W$ посещает одну из двух точек $-a, b$. Покажите, что $\mathbb {P}\left(W(T\right) = b) = a /(a+b)$ и $\mathbb {E}\left[T\right] = a b$. В случае $a = b$ найдите $\mathbb {E}\left[e^{-s T}\right]$ при $s > 0$.

Пусть $\left(a_{n}\right)$ — вещественная последовательность, удовлетворяющая $a_{n} \in (0,1)$, и пусть $\left\{ U_{n}: n \geq 1\right\}$ — независимые случайные величины с равномерным распределением на $(0,1)$. Определим

где $X_{0} = \rho \in (0,1)$.

Экспоненциальное неравенство для винеровского процесса. Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс, и покажите, что

Можете считать, что версия максимального неравенства Дуба (12.6.1) для субмартингалов с непрерывным параметром выполняется.

10.7) — снова. Страховая компания получает премии (за вычетом издержек) с интенсивностью $\rho$ в единицу времени. Требования $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — независимые случайные величины с экспоненциальным распределением с параметром $\mu$, и они поступают в моменты пуассоновского процесса интенсивности $\lambda$ (предполагается обычная независимость, а также $\lambda , \mu , \rho > 0)$. Пусть $Y(t)$ — активы компании в момент $t$, где $Y(0) = y > 0$. Покажите, что

где $\theta = \mu -(\lambda / \rho )$.