Банк задач по математике

Задача 13.10.1

(a)(b)

?

(a)

Пусть $Z$ имеет распределение $N\left(\gamma , \tau^{2}\right)$ . Покажите, что

\mathbb {E}\left[\left(a e^{Z}-K\right)^{+}\right] = a e^{\gamma +\frac{1}{2} \tau ^{2}} \Phi \left(\frac{\log (a / K)+\gamma }{\tau }+\tau \right)-K \Phi \left(\frac{\log (a / K)+\gamma }{\tau }\right)

где $\Phi$ — функция распределения $N(0,1)$ .

(b)

Пусть $\mathbb {Q}$ — вероятностная мера, при которой $\sigma W$ — винеровский процесс со сносом $r-\mu$ и мгновенной дисперсией $\sigma^{2}$ . Покажите, что при $0 \leq t \leq T$

\mathbb {E}_{\mathbb {Q}}\left[\left(S_{T}-K\right)^{+}\right][\mathcal{F}_{t}] = S_{t} e^{r(T-t)} \Phi \left(d_{1}\left(t, S_{t}\right)\right)-K \Phi \left(d_{2}\left(t, S_{t}\right)\right)

где

d_{1}(t, x) = \frac{\log (x / K)+\left(r+\frac{1}{2} \sigma ^{2}\right)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}}, \quad d_{2}(t, x) = d_{1}(t, x)-\sigma \sqrt{T-t}

Задача 13.10.2

(a)(b)(c)

Рассмотрим портфель, который в момент $t$ содержит $\xi (t, S)$ единиц акции и $\psi (t, S)$ единиц облигации, и предположим, что эти величины зависят только от значений $S_{u}$ при $0 \leq u \leq t$ . Найдите функцию $\psi$ , при которой портфель является самофинансируемым, в трёх случаях:

?

(a)

$\xi (t, S) = 1$ при всех $t, S$ ,

(b)

$\xi (t, S) = S_{t}$ ,

(c)

$\xi (t, S) = \int_{0}^{t} S_{v} d v$ .

Задача 13.10.3

(a)(b)(c)(d)

Предположим, что цена акции $S_{t}$ сама является винеровским процессом, а процентная ставка $r$ равна $0$ , так что единица облигации имеет единичную стоимость во всякий момент времени. В обозначениях Упражнения (13.10.2), какие из следующих определяют самофинансируемые портфели?

?

(a)

$\xi (t, S) = \psi (t, S) = 1$ при всех $t, S$ ,

(b)

$\xi (t, S) = 2 S_{t}, \psi (t, S) = -S_{t}^{2}-t$ ,

(c)

$\xi (t, S) = -t, \psi (t, S) = \int_{0}^{t} S_{s} d s$ ,

(d)

$\xi (t, S) = \int_{0}^{t} S_{s} d s, \psi (t, S) = -\int_{0}^{t} S_{s}^{2} d s$ .

Задача 13.10.4

«Американский опцион колл» отличается от европейского опциона колл тем, что он может быть исполнен покупателем в любой момент вплоть до даты истечения. Покажите, что стоимость американского опциона колл совпадает со стоимостью соответствующего европейского опциона колл, и что держателю такого опциона нет никакой выгоды исполнять его строго до истечения срока.

?

Задача 13.10.5

Покажите, что стоимость Блэка-Шоулза в момент 0 европейского опциона колл является возрастающей функцией начальной цены акции, даты исполнения, процентной ставки и волатильности, и убывающей функцией цены исполнения.

?

Ценообразование опционов