Вероятности переходов и потенциалы

Пусть $G$ — замкнутый шар радиуса $\epsilon$ с центром в начале координат $\mathbb {R}^{d}$, где $d \geq 3$. Пусть $\mathbf{W}$ — $d$-мерный винеровский процесс, начинающийся с $\mathbf{W}(0) = \mathbf{w} \notin G$. Покажите, что вероятность того, что $\mathbf{W}$ посетит $G$, равна $(\epsilon / r)^{d-2}$, где $r = \left|\mathbf{w}\right|$.

Пусть $G$ — бесконечный связный граф с конечными степенями вершин. Пусть $\Delta_{n}$ — множество вершин $x$, находящихся на расстоянии $n$ от 0 (то есть кратчайший путь от $x$ до 0 содержит $n$ рёбер), и пусть $N_{n}$ — общее число рёбер, соединяющих пары $x, y$ вершин, где $x \in \Delta_{n}, y \in \Delta_{n+1}$. Покажите, что случайное блуждание на $G$ возвратно, если $\sum_{i} N_{i}^{-1} = \infty$.

Пусть $G$ — связный граф с конечными степенями вершин, и пусть $H$ — связный подграф $G$. Покажите, что случайное блуждание на $H$ возвратно, если случайное блуждание на $G$ возвратно, но что обратное утверждение в общем случае неверно.