Задачи

Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс, то есть процесс с независимыми приращениями и непрерывными траекториями, такой что $W(s+t)-W(s)$ имеет распределение $N(0, t)$ при $t > 0$. Пусть $\alpha$ — положительная постоянная. Покажите, что:

Пусть $X = \left\{ X(t): t \geq 0\right\}$ — гауссовский процесс с непрерывными траекториями, нулевыми средними и автоковариационной функцией $c(s, t) = u(s) v(t)$ при $s \leq t$, где $u$ и $v$ — непрерывные функции. Предположим, что отношение $r(t) = u(t) / v(t)$ непрерывно и строго возрастает, с обратной функцией $r^{-1}$. Покажите, что $W(t) = X\left(r^{-1}(t)\right) / v\left(r^{-1}(t)\right)$ — стандартный винеровский процесс на подходящем промежутке времени.

Если $c(s, t) = s(1-t)$ при $s \leq t < 1$, выразите $X$ через $W$.

Пусть $\beta > 0$, и покажите, что $U(t) = e^{-\beta t} W\left(e^{2 \beta t}-1\right)$ — процесс Орнштейна-Уленбека, если $W$ — стандартный винеровский процесс.

Пусть $V = \left\{ V(t): t \geq 0\right\}$ — процесс Орнштейна-Уленбека с мгновенным средним $a(t, x) = -\beta x$, где $\beta > 0$, с мгновенной дисперсией $b(t, x) = \sigma^{2}$, и с $U(0) = u$. Покажите, что $V(t)$ имеет распределение $N\left(u e^{-\beta t}, \sigma^{2}\left(1-e^{-2 \beta t}\right) /(2 \beta )\right)$. Выведите, что $V(t)$ асимптотически имеет распределение $N\left(0, \frac{1}{2} \sigma^{2} / \beta \right)$ при $t \rightarrow \infty$, и покажите, что $V$ строго стационарен, если $V(0)$ имеет распределение $N\left(0, \frac{1}{2} \sigma^{2} / \beta \right)$.

Покажите, что такой процесс — единственный стационарный гауссовский марковский процесс с непрерывной автоковариационной функцией, и найдите его спектральную плотность.

Диффузионное приближение Феллера для ветвящегося процесса. Пусть $D = \left\{ D(t): t \geq 0\right\}$ — диффузионный процесс с мгновенным средним $a(t, x) = \alpha x$ и мгновенной дисперсией $b(t, x) = \beta x$, где $\alpha$ и $\beta$ — положительные постоянные. Пусть $D(0) = d$. Покажите, что производящая функция моментов $D(t)$ равна

Найдите среднее и дисперсию $D(t)$, и покажите, что $\mathbb {P}\left(D(t\right) = 0) \rightarrow e^{-2 d \alpha / \beta }$ при $t \rightarrow \infty$.

Пусть $D$ — процесс Орнштейна-Уленбека с $D(0) = 0$, и разместим отражающие барьеры в $-c$ и $d$, где $c, d > 0$. Найдите предельное распределение $D$ при $t \rightarrow \infty$.

Пусть $X_{0}, X_{1}, \ldots$ — независимые $N(0,1)$ величины, и покажите, что

определяет стандартный винеровский процесс на $[0, \pi ]$.

Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс с $W(0) = 0$. Разместим поглощающие барьеры в $-b$ и $b$, где $b > 0$, и пусть $W^{\text{a }}$ — процесс $W$, поглощённый на этих барьерах. Покажите, что $W^{\mathrm{a}}(t)$ имеет функцию плотности

которую можно также выразить как

где $a_{n} = b^{-1} \sin \left(\frac{1}{2} n \pi \right)$ и $\lambda_{n} = n^{2} \pi^{2} /\left(8 b^{2}\right)$. Отсюда вычислите $\mathbb {P}\left(\sup_{0 \leq s \leq t}|W(s)| > b\right)$ для неограниченного процесса $W$.

Пусть $D$ — винеровский процесс со сносом $m$, и предположим, что $D(0) = 0$. Разместим поглощающие барьеры в точках $x = -a$ и $x = b$, где $a$ и $b$ — положительные действительные числа. Покажите, что вероятность $p_{a}$ того, что процесс поглощается в $-a$, задаётся как

Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс, и пусть $F(u, v)$ — событие, что $W$ не имеет нулей на интервале $(u, v)$.

Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс. Покажите, что

Положите $t = 2^{n}$ и $w = 2^{2 n / 3}$ и используйте лемму Бореля-Кантелли, чтобы показать, что $t^{-1} W(t) \rightarrow 0$ п.н. при $t \rightarrow \infty$.

Пусть $\mathbf{W}$ — двумерный винеровский процесс с $\mathbf{W}(0) = \mathbf{w}$, и пусть $F$ — единичная окружность. Какова вероятность того, что $\mathbf{W}$ посетит верхнюю полуокружность $G$ окружности $F$ раньше, чем нижнюю полуокружность $H$?

Пусть $W_{1}$ и $W_{2}$ — независимые стандартные винеровские процессы; пара $\mathbf{W}(t) = \left(W_{1}(t), W_{2}(t)\right)$ представляет положение частицы, испытывающей броуновское движение на плоскости. Пусть $l$ — некоторая прямая в $\mathbb {R}^{2}$, и пусть P — точка на $l$, ближайшая к началу координат O. Нарисуйте диаграмму. Покажите, что

Пусть $\phi (x+i y) = u(x, y)+i v(x, y)$ — аналитическая функция на комплексной плоскости с вещественной частью $u(x, y)$ и мнимой частью $v(x, y)$, и предположим, что

Пусть $\left(W_{1}, W_{2}\right)$ — плоский винеровский процесс из Задачи (13.12.13) выше. Покажите, что пара $u\left(W_{1}, W_{2}\right)$, $v\left(W_{1}, W_{2}\right)$ также является плоским винеровским процессом.

Пусть $M(t) = \max_{0 \leq s \leq t} W(s)$, где $W$ — стандартный винеровский процесс. Покажите, что $M(t)-W(t)$ имеет то же распределение, что и $M(t)$.

Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс, $u \in \mathbb {R}$, и пусть $Z = \left\{ t: W(t) = u\right\}$. Покажите, что $Z$ — нулевое множество (то есть имеет лебегову меру нуль) с вероятностью единица.

Пусть $M(t) = \max_{0 \leq s \leq t} W(s)$, где $W$ — стандартный винеровский процесс. Покажите, что $M(t)$ достигается ровно в одной точке $[0, t]$ с вероятностью единица.

Пусть $s_{0} = 0$ и $s_{m} = \sum_{j = 1}^{m} x_{j}$, где $\left(x_{j}: 1 \leq j \leq n\right)$ — заданная последовательность действительных чисел. Среди $n$! перестановок $\left(x_{j}: 1 \leq j \leq n\right)$ пусть $A_{r}$ — число перестановок, при которых ровно $r$ значений из $(s_{m}: 0 \leq m \leq n)$ строго положительны, и пусть $B_{r}$ — число перестановок, при которых максимум $\left(s_{m}: 0 \leq m \leq n\right)$ впервые достигается на $r$-м месте. Покажите, что $A_{r} = B_{r}$ при $0 \leq r \leq n$. [Указание: Используйте индукцию по $n$.]

Для стандартного винеровского процесса $W$ пусть $A$ — количество времени $u$ на интервале времени $[0, t]$, для которого $W(u) > 0$; пусть $L$ — момент последнего посещения начала координат до $t$; и пусть $R$ — момент, когда $W$ достигает своего максимума на $[0, t]$. Покажите, что $A, L$ и $R$ имеют одну и ту же функцию распределения $F(x) = (2 / \pi ) \sin^{-1} \sqrt{x / t}$ при $0 \leq x \leq t$. [Указание: Используйте результаты Задач (13.12.15)-(13.12.18).]

Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс, и пусть $U_{x}$ — количество времени, проведённого ниже уровня $x$ $( \geq 0)$ на интервале времени $(0,1)$, то есть $U_{x} = \int_{0}^{1} I_{\left\{ W(t) < x\right\} } d t$. Покажите, что $U_{x}$ имеет функцию плотности

Покажите также, что

имеет то же распределение, что и $U_{x}$.

Пусть $\operatorname {sign}(x) = 1$, если $x > 0$, и $\operatorname {sign}(x) = -1$ в остальных случаях.

После того как уровень промышленного процесса установлен на желаемое значение, он начинает случайным образом отклоняться. Чтобы противодействовать этому, процесс периодически возвращают к этому желаемому значению, в моменты $0, T, 2 T, \ldots$. Если $W_{t}$ — отклонение от желаемого уровня, спустя $t$ единиц времени после сброса, то $\left\{ W_{t}: 0 \leq t < T\right\}$ можно моделировать стандартным винеровским процессом. Поведение процесса после сброса не зависит от его поведения до сброса. Пока $W_{t}$ находится вне диапазона $(-a, a)$, выход процесса неудовлетворителен, и издержки начисляются со скоростью $C$ в единицу времени. Стоимость каждого сброса равна $R$. Покажите, что период $T$, минимизирующий средние долгосрочные издержки в единицу времени, равен $T^{*}$, где

Экономика управляется моделью Блэка-Шоулза, в которой цена акции ведёт себя как геометрическое броуновское движение с волатильностью $\sigma$, и имеется постоянная процентная ставка $r$. Инвестор предпочитает держать постоянную долю $\gamma (\in (0,1))$ текущей стоимости своего самофинансируемого портфеля в акциях, а остаток — в облигациях. Покажите, что функция стоимости её портфеля имеет вид $V_{t} = f(t) S_{t}^{\gamma }$, где $f(t) = c \exp \left\{ (1-\gamma )\left(\frac{1}{2} \gamma \sigma^{2}+r\right) t\right\}$ при некоторой постоянной $c$, зависящей от её начального капитала.

Пусть $u(t, x)$ дважды непрерывно дифференцируема по $x$ и один раз по $t$, при $x \in \mathbb {R}$ и $t \in [0, T]$. Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс. Покажите, что $u$ является решением уравнения теплопроводности

тогда и только тогда, когда процесс $U_{t} = u\left(T-t, W_{t}\right), 0 \leq t \leq T$, имеет нулевой снос.