Стохастическое исчисление

Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс, и покажите, что

Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс. Зафиксируем $t > 0, n \geq 1$, и пусть $\delta = t / n$. Покажите, что $Z_{n} = \sum_{j = 0}^{n-1}\left(W_{(j+1) \delta }-W_{j \delta }\right)^{2}$ удовлетворяет $Z_{n} \rightarrow t$ в среднеквадратичном при $n \rightarrow \infty$.

Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс. Зафиксируем $t > 0, n \geq 1$, и пусть $\delta = t / n$. Пусть $V_{j} = W_{j \delta }$ и $\Delta_{j} = V_{j+1}-V_{j}$. Найдите пределы следующих выражений при $n \rightarrow \infty$:

Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс. Покажите, что $U(t) = e^{-\beta t} W\left(e^{2 \beta t}\right)$ определяет стационарный процесс Орнштейна-Уленбека.

Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс. Покажите, что $U_{t} = W_{t}-\beta \int_{0}^{t} e^{-\beta (t-s)} W_{s} d s$ определяет процесс Орнштейна-Уленбека.