Случайные величины

Пусть $X$ — случайная величина на заданном вероятностном пространстве, и пусть $a \in \mathbb {R}$. Покажите, что

Случайная величина $X$ имеет функцию распределения $F$. Какова функция распределения $Y = a X+b$, где $a$ и $b$ — вещественные константы?

Правильная монета подбрасывается $n$ раз. Покажите, что при разумных предположениях вероятность выпадения ровно $k$ орлов равна $\binom {n}{k}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$. Какова соответствующая величина, если орёл выпадает с вероятностью $p$ при каждом подбрасывании?

Покажите, что если $F$ и $G$ — функции распределения и $0 \leq \lambda \leq 1$, то $\lambda F+(1-\lambda ) G$ — тоже функция распределения. Является ли произведение $F G$ функцией распределения?

Пусть $F$ — функция распределения, а $r$ — натуральное число. Покажите, что следующие функции являются функциями распределения:

Говорят, что случайная величина, которая с равной вероятностью принимает любое значение из конечного множества $S$, имеет равномерное распределение на $S$. Если $U$ — такая случайная величина и $\varnothing \neq R \subseteq S$, покажите, что распределение $U$ при условии $\left\{ U \in R\right\}$ равномерно на $R$.