Дискретные и непрерывные переменные

Пусть $X$ — случайная величина с функцией распределения $F$, и пусть $a = \left(a_{m}:-\infty < m < \infty \right)$ — строго возрастающая последовательность вещественных чисел, удовлетворяющая условиям $a_{-m} \rightarrow -\infty$ и $a_{m} \rightarrow \infty$ при $m \rightarrow \infty$. Определим $G(x) = \mathbb {P}\left(X \leq a_{m}\right)$ при $a_{m-1} \leq x < a_{m}$, так что $G$ — функция распределения дискретной случайной величины. Как ведёт себя функция $G$, когда последовательность $a$ выбирается таким образом, что $\sup_{m}\left|a_{m}-a_{m-1}\right|$ становится всё меньше и меньше?

Пусть $X$ — случайная величина, и пусть $g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна и строго возрастает. Покажите, что $Y = g(X)$ является случайной величиной.

Пусть $X$ — случайная величина с функцией распределения

Пусть $F$ — функция распределения, непрерывная и строго возрастающая. Покажите, что $Y = F^{-1}(X)$ является случайной величиной с функцией распределения $F$. Обязательно ли, чтобы $F$ была непрерывной и/или строго возрастающей?

Покажите, что если $f$ и $g$ — функции плотности и $0 \leq \lambda \leq 1$, то $\lambda f+(1-\lambda ) g$ — тоже плотность. Является ли произведение $f g$ функцией плотности?

Какие из следующих функций являются функциями плотности? Найдите $c$ и соответствующую функцию распределения $F$ для тех, которые являются таковыми.