Задачи

При каждом подбрасывании монеты орёл выпадает с вероятностью $p$. Монета подбрасывается до тех пор, пока не выпадет первый орёл. Пусть $X$ — общее число подбрасываний. Чему равно $\mathbb {P}\left(X > m\right)$? Найдите функцию распределения случайной величины $X$.

Пусть $X$ имеет функцию распределения

и пусть $Y = X^{2}$. Найдите

Пусть $X$ имеет функцию распределения

Изобразите эту функцию и найдите:

Автобусы прибывают с интервалом в десять минут, начиная с полудня. Мужчина приходит на автобусную остановку через случайное число $X$ минут после полудня, где $X$ имеет функцию распределения

Какова вероятность того, что он ждёт автобус менее пяти минут?

Авиакомпании обнаруживают, что каждый пассажир, забронировавший место, не является на рейс с вероятностью $\frac{1}{10}$ независимо от других пассажиров. Авиакомпания EasyPeasy всегда продаёт 10 билетов на свой самолёт с 9 местами, тогда как авиакомпания RyeLoaf всегда продаёт 20 билетов на свой самолёт с 18 местами. Какая из них чаще сталкивается с перепроданными местами?

Ярмарочный артист утверждает, что обладает способностью к телекинезу. Толпа бросает монеты, а он силой мысли заставляет их падать орлом вверх. Ему это удаётся пять раз из шести. Каковы были бы его шансы добиться такого же или лучшего результата, если бы у него не было сверхъестественных способностей?

Выразите функции распределения

Покажите, что $F_{X}(x)$ непрерывна в точке $x = x_{0}$ тогда и только тогда, когда $\mathbb {P}\left(X = x_{0}\right) = 0$.

Вещественное число $m$ называется медианой функции распределения $F$, если $\lim_{y \uparrow m} F(y) \leq \frac{1}{2} \leq F(m)$.

Функция $d: S \times S \rightarrow \mathbb {R}$ называется метрикой на $S$, если:

(i) $d(s, t) = d(t, s) \geq 0$ для всех $s, t \in S$,

(ii) $d(s, t) = 0$ тогда и только тогда, когда $s = t$, и

(iii) $d(s, t) \leq d(s, u)+d(u, t)$ для всех $s, t, u \in S$.

Установите в следующих случаях, является ли $F$ совместной функцией распределения некоторой пары $(X, Y)$ случайных величин. Если ваш вывод положительный, найдите функции распределения $X$ и $Y$ по отдельности.

Требуется расставить в определённом порядке $n$ книг $B_{1}, B_{2}, \ldots , B_{n}$ на библиотечной полке таким образом, чтобы читатели, просматривающие полку слева направо, в среднем тратили как можно меньше времени. Предполагая, что каждому читателю требуется книга $B_{i}$ с вероятностью $p_{i}$, найдите такой порядок книг, который минимизирует $\mathbb {P}\left(T \geq k\right)$ для всех $k$, где $T$ — (случайное) число просмотренных названий до обнаружения искомой книги.

Три монеты — каждая показывает орла с вероятностью $\frac{3}{5}$ и решку в противном случае. Первая даёт 10 очков за орла и 2 за решку, вторая даёт 4 очка как за орла, так и за решку, а третья даёт 3 очка за орла и 20 за решку.

Вы и ваш противник каждый выбираете монету; вы не можете выбрать одну и ту же монету. Каждый из вас бросает свою монету, и тот, у кого счёт больше, выигрывает $£ 10^{10}$. Что бы вы предпочли: выбирать монету первым или вторым?

До появления радаров, инерциальной навигации и GPS перелёты на удалённые острова (например, из Лос-Анджелеса на Гавайи) были в некотором роде делом случая. В плотной облачности или ночью приходилось лететь по счислению пути, а затем осматривать поверхность. С помощью радио пилот имел хорошее представление о том, вдоль какого большого круга следует вести поиск, но не мог быть уверен, какое из двух направлений вдоль этого большого круга правильное (поскольку сильный попутный ветер мог отнести самолёт за цель). Представьте, что вы пилот и вычисляете, что можете совершить $n$ поисковых заходов, прежде чем у самолёта закончится топливо. При каждом поиске вы обнаружите остров с вероятностью $p$ (если он действительно находится в направлении поиска) независимо от результатов других поисков; изначально вы оцениваете, что вероятность того, что остров находится впереди вас, равна $\alpha$. Какую стратегию следует принять при выборе направлений ваших различных поисков, чтобы максимизировать вероятность обнаружения острова?

Восемь пешек расставлены случайным образом на шахматной доске, не более одной на клетку. Какова вероятность того, что:

Какие из следующих функций являются функциями распределения? Для тех, что являются, укажите соответствующую функцию плотности $f$.

Пусть $X$ равномерно распределена на интервале $[0,1]$, и представим $X$ в виде непрерывной дроби так:

Покажите, что совместная функция вероятностей $Y_{1}$ и $Y_{2}$ равна

Пусть $V$ — векторное пространство размерности $n$ над конечным полем $\mathbb {F}$ с $q$ элементами. Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{m}$ — независимые случайные величины, каждая из которых равномерно распределена на $V$.

Случайная величина $X$ с функцией распределения $F$ называется унимодальной относительно моды $M$, если $F$ выпукла на $(-\infty , M)$ и вогнута на $(M, \infty )$. Покажите, что если $F$ унимодальна относительно $M$, то выполняется следующее.