Индикаторы и соответствие

Урна содержит $n$ шаров, пронумерованных $1,2, \ldots , n$. Мы извлекаем $k$ шаров случайным образом (без возвращения) и складываем их номера. Найдите среднее и дисперсию суммы.

Из $2 n$ человек в данном собрании из $n$ пар ровно $m$ умирают. Предполагая, что эти $m$ были выбраны случайным образом, найдите среднее число выживших пар. Эта задача была сформулирована Даниилом Бернулли в 1768 году.

Урна R содержит $n$ красных шаров, а урна B содержит $n$ синих шаров. На каждом шаге из каждой урны случайным образом выбирается по шару, и они меняются местами. Покажите, что среднее число красных шаров в урне $R$ после шага $k$ равно $\frac{1}{2} n\left\{ 1+(1-2 / n)^{k}\right\}$. Эта 'диффузионная модель' была описана Даниилом Бернулли в 1769 году.

Рассмотрим квадрат с диагоналями, с различными источником и стоком. Каждое ребро представляет компонент, который работает исправно с вероятностью $p$, независимо от всех остальных компонентов. Запишите выражение для булевой функции, которая равна 1 тогда и только тогда, когда существует работающий путь от источника к стоку, через индикаторные функции $X_{i}$ событий $\left\{ \text{ребро }i\text{ работает}\right\}$, где $i$ пробегает множество рёбер. Затем вычислите надёжность сети.

Система называется системой '$k$ из $n$', если она содержит $n$ компонентов и работает, когда работают $k$ или более из этих компонентов. Предположим, что каждый компонент работает с вероятностью $p$, независимо от остальных компонентов, и пусть $X_{c}$ — индикаторная функция события, что компонент $c$ работает. Найдите, через $X_{c}$, индикаторную функцию события, что система работает, и выведите надёжность системы.

Пусть $G = (V, E)$ — конечный граф. Для любого множества $W$ вершин и любого ребра $e \in E$ определим индикаторную функцию

Положим $N_{W} = \sum_{e \in E} I_{W}(e)$. Покажите, что существует $W \subseteq V$, такое что $N_{W} \geq \frac{1}{2}\left|E\right|$.

Всего $n$ полосовых магнитов размещены в линию друг за другом со случайными независимыми ориентациями. Соседние одноимённые полюса отталкиваются, концы с противоположной полярностью соединяются, образуя блоки. Пусть $X$ — число блоков соединённых магнитов. Найдите $\mathbb {E}\left[X\right]$ и $\operatorname {Var}\left(X\right)$.

В аудитории присутствуют $n$ студентов, родившихся в 2011 году, и они родились в независимые, равномерно распределённые дни. Вычислите среднее числа $B$ пар студентов, у которых совпадает день рождения, и покажите, что $\mathbb {E}\left[B\right] > 1$ тогда и только тогда, когда $n \geq 28$. Сравните это с результатом Задачи (1.8.30). Найдите дисперсию $B$.

Покажите, что любое множество из 10 точек на плоскости $\mathbb {R}^{2}$ может быть покрыто подходящим расположением непересекающихся открытых единичных дисков. [Подсказка: рассмотрите бесконечный массив единичных дисков, центры которых образуют треугольную решётку.]

Дни бывают дождливыми или сухими, и, при известной сегодняшней погоде, завтрашняя такая же, как сегодняшняя, с вероятностью $p$, и иная в противном случае. Пусть $w_{n}$ — вероятность того, что погода через $n$ дней от сегодняшнего дня будет дождливой. Покажите, что $w_{n+1} = 1-p+(2 p-1) w_{n-1}$, и найдите $w_{n}$. Каково среднее число дождливых дней на следующей неделе?

Урна содержит $b$ шаров, из которых $g$ зелёных. Шары извлекаются из урны случайным образом, один за другим. После извлечения шара его цвет отмечается, и он выбрасывается. Найдите среднее и дисперсию числа зелёных шаров в выборке размера $n( \leq b)$.

Пусть $n( \geq 2)$ гетеросексуальных пар случайным образом рассаживаются за круглым столом, подчиняясь лишь правилу, что полы чередуются. Не требуется, чтобы супруги сидели вместе. Пусть $X$ — число пар, сидящих рядом. Покажите, что $\mathbb {E}\left[X\right] = 2$ и $\operatorname {Var}\left(X\right) = 2-2 /(n-1)$.