Банк задач по математике

Задача 3.7.1

Покажите следующее:

?

(a)

$\mathbb {E}\left[a Y+b Z \mid X\right] = a \mathbb {E}\left[Y \mid X\right]+b \mathbb {E}\left[Z \mid X\right]$ для $a, b \in \mathbb {R}$ ,

(b)

$\mathbb {E}\left[Y \mid X\right] \geq 0$ , если $Y \geq 0$ ,

(c)

$\mathbb {E}\left[1 \mid X\right] = 1$ ,

(d)

если $X$ и $Y$ независимы, то $\mathbb {E}\left[Y \mid X\right] = \mathbb {E}\left[Y\right]$ ,

(e)

('свойство протаскивания') $\mathbb {E}\left[Y g(X\right] \mid X) = g(X) \mathbb {E}\left[Y \mid X\right]$ для любой подходящей функции $g$ ,

(f)

('свойство башни') $\mathbb {E}\left[\mathbb {E}\left[Y \mid X, Z\right] \mid X\right] = \mathbb {E}\left[Y \mid X\right] = \mathbb {E}\left[\mathbb {E}\left[Y \mid X\right] \mid X, Z\right]$ .

Задача 3.7.2

Предположим, что $X$ и $Y$ — дискретные случайные величины, и что $\phi (X)$ и $\psi (X)$ — две функции от $X$ , удовлетворяющие

\mathbb {E}\left[\phi (X\right] g(X)) = \mathbb {E}\left[\psi (X\right] g(X)) = \mathbb {E}\left[Y g(X\right])

для любой функции $g$ , для которой все математические ожидания существуют. Покажите, что $\phi (X)$ и $\psi (X)$ почти наверное равны, то есть $\mathbb {P}\left(\phi (X\right) = \psi (X)) = 1$ .

?

Задача 3.7.3

Предположим, что условное математическое ожидание $Y$ при заданном $X$ определено как (почти наверное) единственная функция $\psi (X)$ , такая что $\mathbb {E}\left[\psi (X\right] g(X)) = \mathbb {E}\left[Y g(X\right])$ для всех функций $g$ , для которых математические ожидания существуют. Покажите пункты (a)-(f) Задачи (3.7.1) выше (с добавлением иногда выражения 'с вероятностью $1$ ').

?

Задача 3.7.4

Как следует определить $\operatorname {Var}\left(Y \mid X\right)$ , условную дисперсию $Y$ при заданном $X$ ? Покажите, что $\operatorname {Var}\left(Y\right) = \mathbb {E}\left[\operatorname {Var}\left(Y \mid X\right)\right]+\operatorname {Var}\left(\mathbb {E}\left[Y \mid X\right]\right)$ .

?

Задача 3.7.5

(a)(b)

Время жизни машины (в днях) — случайная величина $T$ с функцией вероятностей $f$ . Если известно, что машина работает по прошествии $t$ дней, каково среднее оставшееся время жизни машины, когда:

?

(a)

$f(x) = (N+1)^{-1}$ для $x \in \left\{ 0,1, \ldots , N\right\}$ ,

(b)

$f(x) = 2^{-x}$ для $x = 1,2, \ldots$ (Может быть полезна первая часть Задачи (3.11.13).)

Задача 3.7.6

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — одинаково распределённые случайные величины со средним $\mu$ и дисперсией $\sigma^{2}$ , и пусть $N$ — случайная величина, принимающая значения в неотрицательных целых числах и независимая от $X_{i}$ . Пусть $S = X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N}$ . Покажите, что $\mathbb {E}\left[S \mid N\right] = \mu N$ , и выведите отсюда, что $\mathbb {E}\left[S\right] = \mu \mathbb {E}\left[N\right]$ . Найдите $\operatorname {Var}\left(S\right)$ через первые два момента $N$ , используя формулу условной дисперсии из Задачи (3.7.4).

?

Задача 3.7.7

Фабрика произвела $n$ роботов, каждый из которых бракован с вероятностью $\phi$ . К каждому роботу применяется тест, который обнаруживает брак (если он есть) с вероятностью $\delta$ . Пусть $X$ — число бракованных роботов, а $Y$ — число, обнаруженное как бракованные. Считая обычные предположения независимости выполненными, покажите, что

\mathbb {E}\left[X \mid Y\right] = \left\{ n \phi (1-\delta )+(1-\phi ) Y\right\} /(1-\phi \delta )

?

Задача 3.7.8

(a)(b)

Каждый ребёнок с равной вероятностью может быть мальчиком или девочкой, независимо от всех остальных детей.

?

(a)

Покажите, что в семье заранее определённого размера ожидаемое число мальчиков равно ожидаемому числу девочек. Было ли необходимо предположение независимости?

(b)

Случайно выбранный ребёнок — мальчик; равно ли ожидаемое число его братьев ожидаемому числу его сестёр? Что происходит, если не требовать независимости?

Задача 3.7.9

Пусть $X$ и $Y$ независимы со средним $\mu$ . Объясните ошибку в следующем равенстве:

{ }^{\prime } \mathbb {E}\left[X \mid X+Y = z\right] = \mathbb {E}\left[X \mid X = z-Y\right] = \mathbb {E}\left[z-Y\right] = z-\mu ^{\prime }

?

Задача 3.7.10

Монета выпадает орлом с вероятностью $p$ . Пусть $X_{n}$ — число бросков, необходимых для получения серии из $n$ подряд идущих орлов. Покажите, что $\mathbb {E}\left[X_{n}\right] = \sum_{k = 1}^{n} p^{-k}$ .

?

Задача 3.7.11

Дайте определение условной ковариации $\Cov {X, Y \mid Z}$ . Покажите, что

\Cov {X, Y} = \mathbb {E}\left[\operatorname {cov}(X, Y \mid Z\right])+\Cov {\mathbb {E}\left[X \mid Z\right], \mathbb {E}\left[Y \mid Z\right]}

?

Задача 3.7.12

Урна изначально содержит $b$ синих шаров и $r$ красных шаров, где $b, r \geq 2$ . Шары извлекаются один за другим без возвращения. Покажите, что среднее число извлечений до первого повторения ранее выпавшего цвета равно 3.

?

Задача 3.7.13

(a)(b)

?

(a)

Пусть $X$ равномерно распределена на $\left\{ 0,1, \ldots , n\right\}$ . Покажите, что $\operatorname {Var}\left(X\right) = \frac{1}{12} n(n+2)$ .

(b)

Студент сдаёт два экзамена, получая соответственно $X$ и $Y$ баллов. В интересах экономии и справедливости экзаменатор определяет, что $X$ равномерно распределена на $\left\{ 0,1, \ldots , n\right\}$ , и что при условии $X = k$ , $Y$ имеет биномиальное распределение $\operatorname {bin}(n, k / n)$ .

(i) Покажите, что $\mathbb {E}\left[Y\right] = \frac{1}{2} n$ , и $\operatorname {Var}\left(Y\right) = \frac{1}{12}\left(n^{2}+4 n-2\right)$ .

(ii) Найдите $\mathbb {E}\left[X+Y\right]$ и $\operatorname {Var}\left(X+Y\right)$ .

Задача 3.7.14

Пусть $X, Y$ — дискретные целочисленные случайные величины с совместной функцией вероятностей

f(x, y) = \frac{\lambda ^{y} e^{-2 \lambda }}{x!(y-x)!}, \quad 0 \leq x \leq y < \infty

Покажите, что $X$ и $Y$ каждая имеют пуассоновское распределение, и что условное распределение $X$ при заданном $Y$ является биномиальным.

?

Условные распределения и условное математическое ожидание